§1.2应用举例(一) 课时目标 1.了解数学建模的思想; 2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题 知识梳理● 基线的定义:在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段 叫做基线.一般来说,基线越长,测量的精确度越高 N东 2.方位角:指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所 成的水平角.如图中的A点的方位角为a 3.计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的 重要应用之 作业设计 选择题 1.若点P在点Q的北偏西45°10′方向上,则点Q在点P的() A.南偏西45°10′ B.南偏西44°50′ C.南偏东45°10 D.南偏东44°50′ 答案C 2.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于akm,灯塔 A在观测站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观测站C的南偏东40° 方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为( a km B.√3akm C.√2akn d. 2a km 答案B 解析∠ACB=120°,AC=BC=a, ∴由余弦定理得AB=y3a 3.海上有A、B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛 成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B、C间的距 离是() A.10√3 n mile 106 3 n mile
1 §1.2 应用举例(一) 课时目标 1．了解数学建模的思想； 2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题． 1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段 叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所 成的水平角．如图中的 A 点的方位角为 α. 3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的 重要应用之一． 一、选择题 1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( ) A．南偏西 45°10′ B．南偏西 44°50′ C．南偏东 45°10′ D．南偏东 44°50′ 答案 C 2．已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观测站 C 的北偏东20°方向上，灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40° 方向上，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A．a km B. 3a km C. 2a km D．2a km 答案 B 解析 ∠ACB＝120°，AC＝BC＝a， ∴由余弦定理得 AB＝ 3a. 3．海上有 A、B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛 成 60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B、C 间的距 离是( ) A．10 3 n mile B. 10 6 3 n mile
C.5V2 n mile D.5√6 n mile 答案D 解析在△ABC中,∠C=180°-60°-75°=45 BC AB 由正弦定理得: in a sin B B 10 sin60°sin4 解得BC=5V√6. 4.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧 在A所在的河岸边选定一点G,测出AC的距离为50m,∠ACB=450 CAB=105°后,就可以计算A、B两点的距离为() A.50 B.50 √3 C.25 D. 答案A 解析由题意知∠BC=30°,由正弦定理,AC AB sin∠ ABC sin∠ACB 么、4C.sin∠6m50 sin∠ABC 5.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15° 与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟 后到达M处,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为() A.20(6+√2)海里/小时 B.20( 2)海里/小时 C.20(6+√3)海里/小时 D.20(6-√3)海里/小时 答案B 解析由题意
2 C．5 2 n mile D．5 6 n mile 答案 D 解析 在△ABC 中，∠C＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得： BC sin A ＝ AB sin B ∴ BC sin 60°＝ 10 sin 45° 解得 BC＝5 6. 4．如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧， 在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°， ∠CAB＝105°后，就可以计算 A、B 两点的距离为( ) A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D. 25 2 2 m 答案 A 解析 由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理 AC sin∠ABC ＝ AB sin∠ACB ， ∴AB＝ AC·sin∠ACB sin∠ABC ＝ 50× 2 2 1 2 ＝50 2 (m)． 5．如图，一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°， 与灯塔 S 相距 20 海里，随后货轮按北偏西 30°的方向航行 30 分钟 后到达 N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( ) A．20( 6＋ 2) 海里/小时 B．20( 6－ 2) 海里/小时 C．20( 6＋ 3) 海里/小时 D．20( 6－ 3) 海里/小时 答案 B 解析 由题意
∠SM=45°,∠SMW/=105°,∠MSM=30 由正弦定理得 MN MS sin 30 SIn MSsin30° 10 ∴MV= sin10°6+=10(6-√2 则v=20(6-√2)海里/小时 6.甲船在岛B的正南A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米 的速度向正北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北 偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时 间是() 150 A.分钟 B.小时 C.21.5分钟 D.2.15分钟 答案A 解析设行驶x小时后甲到点C,乙到点D,两船相距ykm, 则∠DBC=180°-60°=120 ∴y2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6xcos120° 28x2-20x+100 28(x2--x)+100=28x -+100 当x=5(小时)=150(分钟)时, 14 y2有最小值.∴y最小 、填空题 7.如图,A、B两点间的距离为 答案32-2 8.如图,A、M两点之间的距离为 答案403
3 ∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°. 由正弦定理得 MN sin 30°＝ MS sin 105°. ∴MN＝ MSsin 30° sin 105° ＝ 10 6＋ 2 4 ＝10( 6－ 2)． 则 v 货＝20( 6－ 2) 海里/小时． 6．甲船在岛 B 的正南 A 处，AB＝10 千米，甲船以每小时 4 千米 的速度向正北航行，同时，乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北 偏东 60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时 间是( ) A. 150 7 分钟 B. 15 7 小时 C．21.5 分钟 D．2.15 分钟 答案 A 解析 设行驶 x 小时后甲到点 C，乙到点 D，两船相距 y km， 则∠DBC＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x) 2＋(6x) 2－2(10－4x)·6xcos 120° ＝28x 2－20x＋100 ＝28(x 2－ 5 7 x)＋100＝28 x－ 5 14 2－ 25 7 ＋100 ∴当 x＝ 5 14(小时)＝ 150 7 (分钟)时， y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题 7．如图，A、B 两点间的距离为________． 答案 3 2－ 2 8．如图，A、N 两点之间的距离为________． 答案 40 3
9.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望 对岸标记物C,测得 ∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为」 答案60m 解析在△ABC中,∠CB=30°,∠CBA=75°, ∴∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.∴AC=AB=120m 作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度 由正弦定理得,4C CD sin∠ ADC sin∠CAD 120 CD in90°sin30° ∴CD=60(m) ∴河的宽度为60m 10.太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车 测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,汽车行驶1km后,又测得 小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是 答案 6 解析 如图,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105° ∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1km 由正弦定理得 BC AB sin∠ Cab sin∠ACB ·sin15° N6-2 ∴BC (km) 2 设C到直线AB的距离为d 则d=BC·sin75 =6-2.6+12￥5(m 2 4 6
4 9．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 A、B，望 对岸标记物 C，测得 ∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______． 答案 60 m 解析 在△ABC 中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120 m. 作 CD⊥AB，垂足为 D，则 CD 即为河的宽度． 由正弦定理得 AC sin∠ADC ＝ CD sin∠CAD ， ∴ 120 sin 90°＝ CD sin 30°， ∴CD＝60(m) ∴河的宽度为 60 m. 10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车 测得小岛在公路的南偏西 15°的方向上，汽车行驶 1 km 后，又测得 小岛在南偏西 75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km. 答案 3 6 解析 如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°， ∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km. 由正弦定理得 BC sin∠CAB ＝ AB sin∠ACB ∴BC＝ 1 sin 60°·sin 15°＝ 6－ 2 2 3 (km)． 设 C 到直线 AB 的距离为 d， 则 d＝BC·sin 75°＝ 6－ 2 2 3 · 6＋ 2 4 ＝ 3 6 (km)．
解答题 11.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离 为126 n mile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8y3 n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120° 方向上,求: 20° (1)A处与D处的距离; 2)灯塔C与D处的距离 解(1)在△ABD中,∠ADB=60°,∠B=45°,由正弦定理得 ABsin B n mile sin∠ADB 2)在△ADC中,由余弦定理得 CDP=AD+AC2-2AD·AC·cos30°, 解得CD=8V3≈14( n mile) 即A处与D处的距离为24 n mile, 灯塔C与D处的距离约为14 n mile. 12.如图,为测量河对岸A、B两点的距离,在河的这边测出CD 的长为、km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45° 求A、B两点间的距离 230° 解在△BDC中,∠CBD=180°-30°-105°=45° CD 由正弦定理得。 sin 30 in 45 Csin30°√6 则BC (km) sin 45 在△ACD中,∠CAD=180 60°=60
5 三、解答题 11．如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75°，距离 为 12 6 n mile，在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30°，距离为 8 3 n mile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在北偏东 120° 方向上，求： (1)A 处与 D 处的距离； (2)灯塔 C 与 D 处的距离． 解 (1)在△ABD 中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得 AD＝ ABsin B sin ∠ADB ＝ 12 6× 2 2 3 2 ＝24(n mile)． (2)在△ADC 中，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD·AC·cos 30°， 解得 CD＝8 3≈14(n mile)． 即 A 处与 D 处的距离为 24 n mile， 灯塔 C 与 D 处的距离约为 14 n mile. 12．如图，为测量河对岸 A、B 两点的距离，在河的这边测出 CD 的长为 3 2 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°， 求 A、B 两点间的距离． 解 在△BDC 中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得 BC sin 30°＝ CD sin 45°， 则 BC＝ CDsin 30° sin 45° ＝ 6 4 (km)． 在△ACD 中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°
∴△ACD为正三角形.∴AC=CmD=(km) 在△ABC中,由余弦定理得 AB=AC2+BC2-2AC·BC·cos45° 36 162X √6 ∴AB=(km) 答河对岸A、B两点间距离为 [能力提升 13.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动, 离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处, B城市处于危险区内的持续时间为() A.0.5小时 B.1小时 C.1.5小时 D.2小时 答案B 解析设t小时时,B市恰好处于危险区,则由余弦定理得: (20t)2+402-2×20t×40·cos45°=302 化简得:4-8V2+7=0, ∴t1+t2=22,t1·t= 从而|t-t2 t1+t22-4t1t2=1. 14.如图所示,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A处时,乙船位于甲船的 北偏西105°方向的B处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分 钟到达A处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B处,此时两 船相距102海里.问乙船每小时航行多少海里? 解如图所示,连结AB2 6
6 ∴△ACD 为正三角形．∴AC＝CD＝ 3 2 (km)． 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos 45° ＝ 3 4 ＋ 6 16－2× 3 2 × 6 4 × 2 2 ＝ 3 8 ， ∴AB＝ 6 4 (km)． 答 河对岸 A、B 两点间距离为 6 4 km. 能力提升 13．台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动， 离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 千米处， B 城市处于危险区内的持续时间为( ) A．0.5 小时 B．1 小时 C．1.5 小时 D．2 小时 答案 B 解析 设 t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t) 2＋402－2×20t×40·cos 45°＝302 . 化简得：4t 2－8 2t＋7＝0， ∴t1＋t2＝2 2，t1·t2＝ 7 4 . 从而|t1－t2|＝ t1＋t2 2－4t1t2＝1. 14．如图所示，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行， 乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的 北偏西 105°方向的 B1处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分 钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2处，此时两 船相距 10 2海里．问乙船每小时航行多少海里？ 解 如图所示，连结 A1B2
由已知AB=102, 20 AA2=302×c=102,∴AA=AB 又∠A1AB=180°-120°=60° ∴△AAB2是等边三角形, ∴AB=A4=10√2. 由已知,AB=20,∠BAB=105°-60°=45°, 105°4A1 在△ABB中,由余弦定理, BB=A1B+AB2-2AB·AB·Cos45° 2×20×102× √2 202+(10 ∴BB=102 因此,乙船速度的大小为 10 √2 ×60=30√2(海里/小时) 答乙船每小时航行302海里 ◎反思感悟 1.解三角形应用问题的基本思路是: 际闯题画图数学间题账三角形数学间题的解检验实际问题 2.测量距离问题:这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相 隔的两点间的距离”,在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基 线长度,测量工具要有较高的精确度
7 由已知 A2B2＝10 2， A1A2＝30 2× 20 60＝10 2，∴A1A2＝A2B2， 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10 2. 由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理， B1B 2 2＝A1B 2 1＋A1B 2 2－2A1B1·A1B2·cos 45° ＝202＋(10 2) 2－2×20×10 2× 2 2 ＝200. ∴B1B2＝10 2. 因此，乙船速度的大小为 10 2 20 ×60＝30 2(海里/小时)． 答 乙船每小时航行 30 2海里． 1．解三角形应用问题的基本思路是： 实际问题――画图→数学问题解三角形 ――→ 数学问题的解――检验→实际问题 的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相 隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基 线长度，测量工具要有较高的精确度．