12正弦定理和余弦定理应用举例(学生版) 知识梳理 (1)正弦定理:套一个三角形中各边和定所对角的正弦的比想等 2R,其中R为该三角形外接圆的半径 a sinb sin c (2)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍 Bp: c=a+b-2abcosC, a=b+c-2bc cosA, b=a+c-2accosC (3)面积公式:SABC-2 absin acsin b=-bcsin a 证明:过点C作CAB天Q欺时有CD=bsnA,SBC=c·CD= bcsin a, 同理可得SB=- ab sinC= actin B=- bcsin a 2.正弦定理和余弦定理的应甩 考点1:三角形面积公式的应用 【例1】在△ABC中,已知A=30°,a=8,b=8V3,求△ABC的面积 练习1.已知△ABC的面积为,且b=2,c=√3,则() 30°B.A=60°C.A=309或150°D.A=60°或120° 2.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于() 3.在△ABC中,已知b=1,c=3,A=60,则S△ABC= 4.在△ABC中,若a=7,b=3,C=8,则其面积等于 √3 考点2:判断三角形的形状 【例2】(1)已知△ABC的三边的长度分别为5、7、8,试判断△ABC的形状 (2)已知(a+b+c)a+b-c)=3ab且2 cosAsinB=sinC,试判断此三角形 的形状
1.2 正弦定理和余弦定理应用举例（学生版） 【知识梳理】 （1）正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等． 即： 2 sin sin sin a b c R A B C = = = ，其中 R 为该三角形外接圆的半径． （2）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍． 即： 2 2 2 c a b ab C = + − 2 cos ， 2 2 2 a b c bc A = + − 2 cos ， 2 2 2 b a c ac C = + − 2 cos ． （3）面积公式： 1 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 2 ABC S ah ab C ac B bc A = = = = ． 证明：过点 C 作 CD⊥AB 于 D，此时有 CD b A = sin ， 1 1 sin 2 2 ABC S c CD bc A = = ， 同理可得 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C ac B bc A = = = ． 2．正弦定理和余弦定理的应用 考点 1：三角形面积公式的应用 【例 1】在△ABC 中，已知 A＝30°，a＝8，b＝8 3，求△ABC 的面积． 练习 1．已知△ABC 的面积为3 2 ，且 b＝2，c＝ 3，则( ) A．A＝30° B．A＝60° C．A＝30°或 150° D．A＝60°或 120° 2．在△ABC 中，AB＝2，BC＝5，△ABC 的面积为 4，则 cos∠ABC 等于( ) A. 3 5 B．± 3 5 C．－ 3 5 D．± 2 5 3．在△ABC 中，已知 b=1，c=3，A=600，则 S△ABC= 。 4．在△ABC 中，若 a = 7,b = 3,c = 8 ，则其面积等于（ ） A．12 B． 2 21 C． 28 D．6 3 考点 2：判断三角形的形状 【例 2】（1）已知△ABC 的三边的长度分别为 5、7、8，试判断△ABC 的形状． （2）已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab 且 2cosAsinB＝sinC，试判断此三角形 的形状．
练习1.在AABC中, bcos a= acos B,则△ABC是() A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角 形 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=√3ac, 则角B的值为 B D 3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2 acos B=c,则△ABC的形状() A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形D.等腰直角三角形 4.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围. 【反思】本题实质上是求2a+1,a,2a-1能构成钝角三角形的充要条件, 除了要保证三边长均为正数外,还应满足“两边之和大于第三边” 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 bosc=(2a-c)cosB (1)求角B的大小;(2)若b2=ac,试确定△ABC的形状 考点3:测量距离 类型1:设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离 【例3】测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是10√3,∠BAC= 45°,∠ACB=75°,求A、B两点间的距离
练习 1．在 ABC 中，b A a B cos cos = ，则 ABC 是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角 形 2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，若(a 2＋c 2－b 2 )tanB＝ 3ac， 则角 B 的值为( ) A. π 6 B. π 3 C. π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3 3．在 ABC 中， abc , , 分别为角 A B C , , 的对边，若 2 cos a B c = ，则 ABC 的形状（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 4．设 2a＋1，a,2a－1 为钝角三角形的三边长，求实数 a 的取值范围． 【反思】 本题实质上是求 2a＋1，a,2a－1 能构成钝角三角形的充要条件， 除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边”． 5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC＝(2a－c)cosB. (1)求角 B 的大小；(2)若 b 2＝ac，试确定△ABC 的形状． 考点 3：测量距离 类型 1：设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 【例 3】测量者在 A 的同测，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 10 3 ，∠BAC＝ 45o， ∠ACB＝75o，求 A、B 两点间的距离．
类型2:A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量两点间的距离的方法 【例4】如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在岸边定一基线CD,现已 测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求AB 的长 练习1.隔河可以看到对岸两目标A、B,但不能到达,现在岸边取相距√3m的C、D两点 测得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,∠ADB=45(A、B、C、D在同一 平面内),求两目标A、B间的距离 B 45° 练习2.如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点A、 B,观察对岸的点C,测得∠CAB=75,∠CBA=45,且AB=100米 (1)求sin75;(2)求该河段的宽度 考点4:测量高度 【例5】如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=60,在塔底CB 处测得A处的俯角β=45.已知铁塔BC部分的高为10m,求出山高C D
类型 2：A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。 【例 4】 如图，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，在岸边定一基线 CD，现已 测出 CD＝a 和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求 AB 的长． 练习 1．隔河可以看到对岸两目标 A 、B ,但不能到达，现在岸边取相距 3km 的 C 、D 两点， 测得 = ACB 75 ， = BCD 45 ， = ADC 30 ， = ADB 45 （ A 、 B 、C 、 D 在同一 平面内），求两目标 A 、 B 间的距离. 练习 2.如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 A 、 B ，观察对岸的点 C ，测得 = CAB 75 ， = CBA 45 ,且 AB =100 米． （1）求 sin 75 ；（2）求该河段的宽度． 考点 4：测量高度 【例 5】 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 = 60 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 = 45 . 已知铁塔 BC 部分的高为 10 m，求出山高 CD
练习1:如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔 底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得 塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB. 练习2.如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D仰 角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角,小王向前走了1200m到达M处, 测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,则电视塔CD的高度 在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°,再向塔底方向前进100m,又 测得塔尖的仰角为60°,则此电视塔高约为 A.237m C.247m D.257 4.为测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30° 测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高度为多少m? 考点5:测量角度 【例6】如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船 乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 a的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上 (1)求渔船甲的速度;(2)求sina的值
练习 1：如图，为了测量河对岸的塔高 AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔 底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D，测得 CD＝200 米，在 C 点和 D 点测得 塔顶 A 的仰角分别是 45°和 30°，且∠CBD＝30°，求塔高 AB. 练习 2．如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 仰 角为 30°，塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15°角，小王向前走了 1200m 到达 M 处， 测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角，则电视塔 CD 的高度 为 ． 3.在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45，再向塔底方向前进 100 m，又 测得塔尖的仰角为 60 ，则此电视塔高约为( ) A．237 m B．227 m C．247 m D．257 m 4. 为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°， 测得塔基 B 的俯角为 45°，则塔 AB 的高度为多少 m？ 考点 5：测量角度 【例 6】如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船 乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上． （1）求渔船甲的速度；（2）求 sin 的值． 60 A B C 东 南 西 北
考点6三角形中的恒等式证明问题 【例7】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,证明:=b=Sm4-B) 练习1.在△ABC中,求证:a=ccB=sinB b-c. cosa sinA 2.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且osB_b COS (1)求角B的大小:(2)若b=l3,a+c=4,求△ABC的面积
考点 6 三角形中的恒等式证明问题 【例 7】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，证明：a 2－b 2 c 2 ＝ sin(A－B) sinC ． 练习 1．在△ABC 中，求证：a－c·cosB b－c·cosA ＝ sinB sinA . 2．在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且cos B cos C ＝－ b 2a＋c . (1)求角 B 的大小；(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
3.在△ABC中,求证:c( acos B- bcos a)=a2-b2 4.在△ABC中,求证:a= bosc+cosB,b= CCOs A+ a cos C,c= acos B+ bcos a Ki 课时作业 1.在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°,则塔高为 4005m 200 B. 2.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为() 8 7 3.如图,在一幢20m高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为60°,塔基的俯角为45°, 则这座塔的高度是() 4+)mB.20+5mc.m5+m D.206+2)m 4.海上有A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从 B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C之间的距离为()
3．在△ABC 中，求证： 2 2 c a B b A a b ( cos cos ) − = − ． 4．在△ABC 中，求证： a b C c B b c A a C c a B b A = + = + = + cos cos , cos cos , cos cos ． 1．在 200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30 和 60 ，则塔高为（ ） A． 200 3 3 m B． 400 3 3 m C． 400 3 m D． 200 3 m 2．如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，则它的顶角的余弦值为( ) A．－ 7 8 B. 7 8 C．－ 8 7 D. 8 7 3．如图，在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为 60°，塔基的俯角为 45°， 则这座塔的高度是( ) A．20 1＋ 3 3 m B．20(1＋ 3) m C．10( 6＋ 2) m D．20( 6＋ 2) m 4．海上有 A，B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B，C 之间的距离为( )
A 10 3 n mile B 3 n mile C 5\2 mile 5√6 n mile 5.如图,要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分),可在岸边一建筑物AB上进行有 关的测量.已知AB=20米,且测出∠CAD=G,∠ACB=,则灯塔CD的高度为 A.203-3)米 V6-√2)米 C.10V2米 03 +y2)米 6.一艘轮船从A出发,沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C如果下次航行直接从A出 发到C,此船航行的方向和路程(海里)分别为() 北偏东80°,20(6+√2) B.北偏东65°,20(3+√2) C.北偏东65,20(6+2 D.北偏东80°,20(3+√2) 7.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30°的方向航行3h后,又测得灯塔在货轮的东北方向, 则货轮的速度为() 10N6+ n mile/h 10( B n mile/h mile/h 8.在△ABC中, ,则△ABC是 osB A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形D.等 腰直角三角形 9.△ABC中,AB=3,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于( B 3 D.y或 10.在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则S△ABC的值为(B) B 3 23 11.已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 12.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点 测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°; 从C点测得∠MCA=60°已知山高BC=100m,则山高MN 3.某海岛周围38海里有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方 向,航行30海里后,测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船触礁 的危险.(填“有”或“没有”) 14.已知△ABC的三个内角A,B,C满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则BC 边上的中线AD的长为
A．10 3 n mile B. 10 6 3 n mile C．5 2 n mile D．5 6 n mile 5．如图，要测量湖中一灯塔的高 CD(水上部分)，可在岸边一建筑物 AB 上进行有 关的测量．已知 AB＝20 米，且测出∠CAD＝ π 3 ，∠ACB＝ π 4 ，则灯塔 CD 的高度为 ( ) A．20(3－ 3)米 B．20( 6－ 2)米 C．10 2米 D．20( 3 ＋ 2)米 6．一艘轮船从 A 出发，沿南偏东 70°的方向航行 40 海里后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 35°的方向航行了 40 2海里到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出 发到 C，此船航行的方向和路程(海里)分别为( ) A．北偏东 80°，20( 6＋ 2) B．北偏东 65°，20( 3＋ 2) C．北偏东 65°，20( 6＋ 2) D．北偏东 80°，20( 3＋ 2) 7．一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°方向上，与灯塔 S 相距 20 n mile，随后货轮按北偏西 30°的方向航行 3 h 后，又测得灯塔在货轮的东北方向， 则货轮的速度为( ) A. 10( 6＋ 2) 3 n mile/h B. 10( 6－ 2) 3 n mile/h C. 10( 6＋ 3) 3 n mile/h D. 10( 6－ 3) 3 n mile/h 8．在△ABC 中，若cosA cosB ＝ b a ＝ 4 3 ，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等 腰直角三角形 9．△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2 或 3 D. 3 2 或 3 4 10．在△ABC 中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则 S△ABC 的值为( B ) A. 1 2 B. 3 2 C. 3 D．2 3 11．已知 △ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________． 12．如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点．从 A 点 测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°； 从 C 点测得∠MCA＝60°.已知山高 BC＝100 m，则山高 MN＝___________m. 13．某海岛周围 38 海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东 60°方 向，航行 30 海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁 的危险．(填“有”或“没有”) 14．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 满足 2B＝A＋C，且 AB＝1，BC＝4，则 BC 边上的中线 AD 的长为________．
15.如图,为了解某海域海底构造,对海平面内一条直线上的A,B,C三点进行 测量.已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水 深BE=200m,于C处测得水深CF=110m,求∠DEF的余弦值. 16.一只船以20海里/时的速度向正东航行,它在A点时测得灯塔P在船的北偏 东60°方向,2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向,求: (1)船在B点时与灯塔P的距离 (2)已知以P点为圆心,55海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么此船继续向 正东航行,有无触礁的危险? 17.某货船在索马里海域航行中遭海盜袭击,发出呼叫信号,如图,我海军护航 舰在A处获悉后,立即测出该货船在方位角为45°,距离为10海里的C处,并测 得货船正沿方位角为105°的方向,以10海里/小时的速度向前行驶,我海军护航舰 立即以10√3海里小时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时间
15．如图，为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行 测量．已知 AB＝50 m，BC＝120 m，于 A 处测得水深 AD＝80 m，于 B 处测得水 深 BE＝200 m，于 C 处测得水深 CF＝110 m，求∠DEF 的余弦值． 16．一只船以 20 海里/时的速度向正东航行，它在 A 点时测得灯塔 P 在船的北偏 东 60°方向，2 小时后船到达 B 点时测得灯塔 P 在船的北偏东 45°方向，求： (1)船在 B 点时与灯塔 P 的距离； (2)已知以 P 点为圆心，55 海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么此船继续向 正东航行，有无触礁的危险？ 17．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航 舰在 A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为 45°，距离为 10 海里的 C 处，并测 得货船正沿方位角为 105°的方向，以 10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰 立即以 10 3海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sina=3 acos (1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sin4,求a,c的值 19.如图,在树丛中为了测量河对岸A、B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从C点可 以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可 以观察到点B,C.并测量得到图中的一些数据,此外 ∠CDA=∠CEB=60° (1)求△ABC的面积 (2)求A、B两点之间的距离 16m 90 30° 16
18．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA＝ 3acosB. (1)求角 B 的大小；(2)若 b＝3，sinC＝2sinA，求 a，c 的值． 19． 如图，在树丛中为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离，观察者找到一个点 C，从 C 点可 以观察到点 A，B；找到一个点 D，从 D 点可以观察到点 A，C；找到一个点 E，从 E 点可 以观察到点 B ，C. 并测量得到图中的一些数据，此外， = = CDA CEB 60 . （1）求 ABC 的面积； （2）求 A、B 两点之间的距离
