正、余弦定理在三角形中的应用 A组基础巩固 CosA b 4 1.在△ABC中,若 0sBa=3,则△ABC是( A.直角三角形 等腰三角形 C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形 b sinB cosa 解析:根据正弦定理 a sinA cosB 因此 sinBcosb= sinuosa,即sin2B sIn B=A或2升+2=x,由于=三,所以2+2=x成立,即叶=票 答案 2.△ABC中,AB=√,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于() B 解析 ∴sinC2…0°<∠(180°,∴∠C=60°或120°.(1)当∠C 60°时,∠A=90° ∴BC=2.此时S△ABC= (2)当∠C=120°时,∠A=30°, 此时S△m=a×3×1×sin30° 答案:D 3.在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则S△AC的值为() B C 解析:8=248,AC,sk 答案:B 4.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△A=,则边BC的长为()
正、余弦定理在三角形中的应用 A 组 基础巩固 1．在△ABC 中，若cosA cosB ＝ b a ＝ 4 3 ，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：根据正弦定理b a ＝ sinB sinA ＝ cosA cosB ，因此 sinBcosB＝sinAcosA，即 sin2B＝sin2A，所 以 B＝A 或 2B＋2A＝π，由于b a ＝ 4 3 ，所以 2B＋2A＝π 成立，即 B＋A＝ π 2 . 答案：A 2．△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2 或 3 D. 3 2 或 3 4 解析： 1 sin30°＝ 3 sinC ，∴sinC＝ 3 2 .∵0°<∠C<180°，∴∠C＝60°或 120°.(1)当∠C ＝60°时，∠A＝90°， ∴BC＝2.此时 S△ABC＝ 3 2 . (2)当∠C＝120°时，∠A＝30°， 此时 S△ABC＝ 1 2 × 3×1×sin30°＝ 3 4 . 答案：D 3．在△ABC 中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则 S△ABC的值为( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 3 D．2 3 解析：S△ABC＝ 1 2 AB·AC·sinA＝ 3 2 . 答案：B 4．在△ABC 中，A＝60°，AB＝2，且△ABC 的面积 S△ABC＝ 3 2 ，则边 BC 的长为( ) A. 3 B．3 C. 7 D．7
解析:∵S△AC=AB· Asina ∴AC=1 由余弦定理可得 BC=AB+AC-2AB· ACCOsT =4+1-2×2×1×cos60°=3 即BC= 答案:A 5.若△ABC的周长等于20,面积是103,B=60°,则边AC的长是() A.5B.6 解析:设△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、C,已知B=60°,由题意,得 costa 0°=x+c=B 2ac actin60°=10 B=a+c-ac a+b+c=20 解得b=7,∴边AC的长为7 答案:C 6.在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD2AB=V5BD,BC=2B,则sinC的值为( 16 6 6 解析:设AB=AD=V, 则BD=2AB=2,BC=2BD=4, 3 在△ABD中利用余弦定理得
解析：∵S△ABC＝ 1 2 AB·ACsinA＝ 3 2 ， ∴AC＝1， 由余弦定理可得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcosA ＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3. 即 BC＝ 3. 答案：A 5．若△ABC 的周长等于 20，面积是 10 3，B＝60°，则边 AC 的长是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：设△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 B＝60°，由题意，得 cos60°＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ， 1 2 acsin60°＝10 3， a＋b＋c＝20， 即 b 2＝a 2＋c 2－ac， ac＝40， a＋b＋c＝20. 解得 b＝7，∴边 AC 的长为 7. 答案：C 6．在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB＝AD,2AB＝ 3BD，BC＝2BD，则 sinC 的值为( ) A. 3 3 B. 3 6 C. 6 3 D. 6 6 解析：设 AB＝AD＝ 3， 则 BD＝ 2 3 AB＝2，BC＝2BD＝4， 在△ABD 中利用余弦定理得
cosA= 3×3 sina BC AB 在△ABC中利用正弦定理得 sinA sinc .故选 D 答案 7.在△ABC中,已知a=5,b=3,角C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根,则第三边 的长为 解析:5x2+7x-6=0可化为(5x-3)(x+2)=0 ==,2=-2(舍去) ∴cosC= 根据余弦定理, C2=a2+b2-2 abcess=52+32-2×5×3×y=16 ∴c=4,即第三边长为4 答案:4 8.已知△ABC的三个内角A,B,C满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则BC边上的中线 AD的长为 解析:∵2B=A+C,∴A+B+C=3B=180°, ∴B=60°,∵BC=4,∴BD=2,∴在△ABD中 AD=yAB+BF-2AB·BDos60° 12+22-2×1× 答案:√3 9.在锐角三角形中,边a、b是方程x2-2V3x+2=0的两根,角A、B满足:2sin(A+ B-√3=0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积 解:由23m(什+b-√=0,得sm(4= △ABC为锐角三角形 ∴A+B=120°,C=60°, 又∵a、b是方程x2-23x+2=0的两根
cosA＝ 3 2＋ 3 2－2 2 2× 3× 3 ＝ 1 3 ， ∴sinA＝ 1－ 1 3 2＝ 2 2 3 . 在△ABC 中利用正弦定理得 BC sinA ＝ AB sinC ， ∴sinC＝ ABsinA BC ＝ 3× 2 2 3 4 ＝ 6 6 ，故选 D. 答案：D 7．在△ABC 中，已知 a＝5，b＝3，角 C 的余弦值是方程 5x 2＋7x－6＝0 的根，则第三边 c 的长为________． 解析：5x 2＋7x－6＝0 可化为(5x－3)(x＋2)＝0. ∴x1＝ 3 5 ，x2＝－2(舍去)． ∴cosC＝ 3 5 . 根据余弦定理， c 2＝a 2＋b 2－2abcosC＝5 2＋3 2－2×5×3× 3 5 ＝16. ∴c＝4，即第三边长为 4. 答案：4 8．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 满足 2B＝A＋C，且 AB＝1，BC＝4，则 BC 边上的中线 AD 的长为________． 解析：∵2B＝A＋C，∴A＋B＋C＝3B＝180°， ∴B＝60°，∵BC＝4，∴BD＝2，∴在△ABD 中， AD＝ AB 2＋BD 2－2AB·BDcos60° ＝ 1 2＋2 2－2×1×2cos60°＝ 3. 答案： 3 9．在锐角三角形中，边 a、b 是方程 x 2－2 3x＋2＝0 的两根，角 A、B 满足：2sin(A＋ B)－ 3＝0，求角 C 的度数，边 c 的长度及△ABC 的面积． 解：由 2sin(A＋B)－ 3＝0，得 sin(A＋B)＝ 3 2 ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A＋B＝120°，C＝60°， 又∵a、b 是方程 x 2－2 3x＋2＝0 的两根
a+b=2 ab=2. ∴c=a2+b-2 abcess=(a+b)2-3ab=12-6=6, ..C- 2sinC=×2 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证: ab cos b 证明:由余弦定理的推论得c0sb=+d2-b Cos小的 +c2-a2 2bc 代入等式右边,得 a+c-b b+c 右边 zabc 2a-2ba2-b2 b B B组能力提升 1.在平行四边形ABD中,对角线AC=65,BD=17,周长为18,则这个平行四边形 的面积为() A.16B. 解析 如右图,设AB=CD=a,AD=BC=b, b=18, +17=2a2+b2 b=9, a2+b2=41 解得 ∴Cos∠BAD= 52+42-17_3 2×5×45 ∴sin∠BAD==,从而Saa=4×5×=16
∴a＋b＝2 3，ab＝2. ∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC＝(a＋b) 2－3ab＝12－6＝6， ∴c＝ 6，S△ABC＝ 1 2 absinC＝ 1 2 ×2× 3 2 ＝ 3 2 . 10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，求证： a b － b a ＝c cosB b － cosA a . 证明：由余弦定理的推论得 cosB＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ， cosA＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ，代入等式右边，得 右边＝c a 2＋c 2－b 2 2abc － b 2＋c 2－a 2 2abc ＝ 2a 2－2b 2 2ab ＝ a 2－b 2 ab ＝ a b － b a ＝左边， ∴ a b － b a ＝c cosB b － cosA a . B 组 能力提升 11．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC＝ 65，BD＝ 17，周长为 18，则这个平行四边形 的面积为( ) A．16 B. 35 2 C．18 D．32 解析： 如右图，设 AB＝CD＝a，AD＝BC＝b， 则 2 a＋b ＝18， 65＋17＝2 a 2＋b 2 ， 即 a＋b＝9， a 2＋b 2＝41， 解得 a＝4， b＝5， 或 a＝5， b＝4， ∴cos∠BAD＝ 5 2＋4 2－17 2×5×4 ＝ 3 5 ， ∴sin∠BAD＝ 4 5 ，从而 S▱ABCD＝4×5× 4 5 ＝16
答案:A 12.若三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足等式n+ b,则 解析:·a+bb+c a-6+c+ab-ab+cb-bc-abc=0 Bp (at b+c(a+c-b-ac=0 又∵a,b,C表示边长,∴a+b+c≠0, a2+c2-b2 由余弦定理的推论得c0sB=1 ∴B=60° 答案:60° 13.在△ABC中,内角,B,C的对边分别为a,b,c,且 sina= acos B (1)求角B的大小 (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值 解:(1)由in/=50sB及正弦定理1=得siB=ost 所以tanB= 所以B= (2)由sinC=2in及sin=inc得c=2a 由b=3及余弦定理b=a+c2-2 accos B,得9=a2+c2-aC, 所以a=V3,c=2N 14.在△ABC中,求证:asin2B+bsin2A=2 absinC 证明:法一:左边=a2·2 sinbcosB+b·2 sinUosa 2b a+c-b b+c-d +b 2R zac 2he 2h(a2+2-b+b+c2-a) 2R =右边 所以原式得证
答案：A 12．若三角形 ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足等式 c 2 a＋b ＋ a 2 b＋c ＝b，则 B＝________. 解析：∵ c 2 a＋b ＋ a 2 b＋c ＝b， ∴a 3－b 3＋c 3＋a 2 b－ab 2＋c 2 b－b 2 c－abc＝0， 即(a＋b＋c)(a 2＋c 2－b 2－ac)＝0. 又∵a，b，c 表示边长，∴a＋b＋c≠0， ∴a 2＋c 2－b 2－ac＝0， 由余弦定理的推论得 cosB＝ 1 2 ， ∴B＝60°. 答案：60° 13．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA＝ 3acosB. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sinC＝2sinA，求 a，c 的值． 解：(1)由 bsinA＝ 3acosB 及正弦定理 a sinA ＝ b sinB ，得 sinB＝ 3cosB， 所以 tanB＝ 3， 所以 B＝ π 3 . (2)由 sinC＝2sinA 及 a sinA ＝ c sinC ，得 c＝2a. 由 b＝3 及余弦定理 b 2＝a 2＋c 2－2accosB，得 9＝a 2＋c 2－ac， 所以 a＝ 3，c＝2 3. 14．在△ABC 中，求证：a 2 sin2B＋b 2 sin2A＝2absinC. 证明：法一：左边＝a 2·2sinBcosB＋b 2·2sinAcosA ＝a 2· 2b 2R · a 2＋c 2－b 2 2ac ＋b 2· 2a 2R · b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ ab 2Rc ·(a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2 ) ＝ ab 2Rc ·2c 2＝2ab· c 2R ＝2absinC ＝右边． 所以原式得证．
法二:asin2B+bsin2A =(2 Sina2·2 sancos B+(2sinB2·2 sinUosa 8RsinAsinB(sinAcosB+cosAs inB) 8RsinAsinBsin(A+B) =8RsinAsinbsinC =2·2inA·2hinB·sinC =absin 所以原式得证
法二：a 2 sin2B＋b 2 sin2A ＝(2RsinA) 2·2sinBcosB＋(2RsinB) 2·2sinAcosA ＝8R 2 sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB) ＝8R 2 sinAsinBsin(A＋B) ＝8R 2 sinAsinBsinC ＝2·2RsinA·2RsinB·sinC ＝2absinC. 所以原式得证．精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有