第一章1.2第1课时距离问题 课时作业学案≥ EaSHIaZUOmYE-XUE- A级基础巩固 选择题 1.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120 则A、C两地的距离为(D) V5 [解析]在△ABC中,AB=10,BC=20,∠ABC=120°,则由余弦定理,得 AC=ABF+BC2-2AB·BCos∠ABC=100+400-2×10×20cos120° 100+400-2×10×20×(-)=700, AC=10√7,即A、C两地的距离为107km 2.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是(D) A. y,c, B. b, D. b y [解析]本题中a、C、β这三个量不易直接测量,故选D 3.一船向正北航行,看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线 上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75° 方向上,则这艘船的速度是每小时(C) B D.10 [解析]如图,依题意有∠BAC=60°,∠BA=75°, ∴∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10, 在Rt△ABC中,求得AB=5
1 第一章 1.2 第 1 课时 距离问题 A 级 基础巩固 一、选择题 1．已知 A、B 两地的距离为 10 km，B、C 两地的距离为 20 km，现测得∠ABC＝120°， 则 A、C 两地的距离为( D ) A．10 km B． 3 km C．10 5 km D．10 7 km [解析] 在△ABC 中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－ 1 2 )＝700， ∴AC＝10 7，即 A、C 两地的距离为 10 7 km． 2．如图，在河岸 AC 测量河的宽度 BC，测量下列四组数据，较适宜的是( D ) A．γ，c，α B．b，c，α C．c，α，β D．b，α，γ [解析] 本题中 a、c、β 这三个量不易直接测量，故选 D． 3．一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线 上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°方向上，另一灯塔在船的南偏西 75° 方向上，则这艘船的速度是每小时( C ) A．5 n mlie B．5 3 n mlie C．10 n mlie D．10 3 n mlie [解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， ∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10， 在 Rt△ABC 中，求得 AB＝5
这艘船的速度是a=10 n mlie/h) 4.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m,测得灯塔A在观察站C北 偏东30°,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A、B间的距离为(C) A.500m B.600m D.800m [解析]根据题意画出图形如图 在△ABC中,BC=500,AC=300,∠ACB=120°, 由余弦定理得,AB=AC+BC2-2AC·Bos120 3002+5002-2×300×500×( =490000,∴AB=700(m) 5.要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行),由于受地理条件和测量工具的 限制,可采用如下办法:如图所示,在河的一岸边选取A、B两点,观察对岸的点C,测得 ∠CAB=45°,∠CBA=75°,且AB=120m由此可得河宽为(精确到1m)(C A.170 B.98 m [解析]在△ABC中,AB=120,∠CAB=45°,∠CBA=75°,则∠ACB=60°,由正弦 120sin45° 定理,得BC= 40 设△ABC中,AB边上的高为h,则h即为河宽, ∴h=BC·sin∠CBA=406×sin75°≈95(m) 甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同 时乙船从B岛出发,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15min时,两船的 距离是(B) B.√13k 2
2 ∴这艘船的速度是 5 0.5＝10(n mlie/h)． 4．某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 m 和 500 m，测得灯塔 A 在观察站 C 北 偏东 30°，灯塔 B 在观察站 C 正西方向，则两灯塔 A、B 间的距离为( C ) A．500 m B．600 m C．700 m D．800 m [解析] 根据题意画出图形如图． 在△ABC 中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－ 1 2 ) ＝490 000，∴AB＝700(m)． 5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的 限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取 A、B 两点，观察对岸的点 C，测得 ∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且 AB＝120 m 由此可得河宽为(精确到 1m)( C ) A．170 m B．98 m C．95 m D．86 m [解析] 在△ABC 中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦 定理，得 BC＝ 120sin45° sin60° ＝40 6． 设△ABC 中，AB 边上的高为 h，则 h 即为河宽， ∴h＝BC·sin∠CBA＝40 6×sin75°≈95(m)． 6．甲船在湖中 B 岛的正南 A 处，AB＝3 km，甲船以 8 km/h 的速度向正北方向航行，同 时乙船从 B 岛出发，以 12 km/h 的速度向北偏东 60°方向驶去，则行驶 15 min 时，两船的 距离是( B ) A． 7 km B． 13 km C． 19 km D． 10－3 3 km
[解析]由题意知AM=8× B=12×=3,MB=AB-AM=3-2=1,所以由余 弦定理,得M=MF+BF-2B·Bos120°=1+9-2×1×3×(-)=13,所以M=V13 填空题 7.在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C 两点之间的距离是√6km [解析]如图所示,由题意易知C=45°, A2∞ 由正弦定理得 sin45°从而A=2.3 8.一只蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10cm捕 提到另一只小虫,这时它向右转135爬行回它的出发点,则x=1 [解析]如图 A105 由题意知,∠BAC=75°,∠ACB=45°.∠B=60°, 由正弦定理,得 in∠ AcB si
3 [解析] 由题意知 AM＝8× 15 60＝2，BN＝12× 15 60＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余 弦定理，得 MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－ 1 2 )＝13，所以 MN＝ 13 km． 二、填空题 7．在相距 2km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则 A，C 两点之间的距离是__ 6__km． [解析] 如图所示，由题意易知 C＝45°， 由正弦定理得 AC sin60°＝ 2 sin45°，从而 AC＝ 2 2 2 · 3 2 ＝ 6(km)． 8．一只蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转 105°，爬行 10 cm 捕 捉到另一只小虫，这时它向右转 135°爬行回它的出发点，则 x＝__ 10 6 3 __cm． [解析] 如图， 由题意知，∠BAC＝75°，∠ACB＝45°.∠B＝60°， 由正弦定理，得 x sin∠ACB ＝ 10 sinB
10sin∠ACB10×sin45 sinB sin60° 三、解答题 9.如图,我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面点C和D处,已知CD=6000 m.∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°,∠BDC=15° 求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号) C 45°:6000 [解析]在△ACD中,∠CAD=60° CD·sin45°V6 在△BD中,∠CMD=15,BD=C,sio=2a ∠ADB=90° 在R△D中,A=m+=y2m =10y42(m) 10.一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20 的方向,30min后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向,已知距离此灯塔 6.5 n mile以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗? 西十东 [解析]在△ASB中,∠SBA=115°,∠S=45°.由正弦定理,得SB AB5in20° 6.1sin20° ≈7.787( n mile).设点S到直线AB的距离为b,则h= Sein65°≈7.06( le) ∵砂6.5 n mile,∴此船可以继续沿正北方向航行 B级素养提升 选择题 1.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km,船B在灯塔C西偏北25°且
4 ∴x＝ 10sin∠ACB sinB ＝ 10×sin45° sin60° ＝ 10 6 3 ． 三、解答题 9．如图，我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面 B 处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°. 求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号) [解析] 在△ACD 中，∠CAD＝60°， AD＝ CD·sin45° sin60° ＝ 6 3 CD． 在△BCD 中，∠CBD＝135°，BD＝ CD·sin30° sin135° ＝ 2 2 CD， ∠ADB＝90°． 在 Rt△ABD 中，AB＝ AD 2＋BD 2＝ 42 6 CD ＝1 000 42(m)． 10．一艘船以 32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 20° 的方向，30 min 后航行到 B 处，在 B 处看灯塔在船的北偏东 65°的方向，已知距离此灯塔 6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ [解析] 在△ASB 中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得 SB＝ ABsin20° sin45° ＝ 16.1sin20° sin45° ≈7.787(n mile)．设点 S 到直线 AB 的距离为 h，则 h＝SBsin65°≈7.06(n mile)． ∵h>6.5 n mile，∴此船可以继续沿正北方向航行． B 级 素养提升 一、选择题 1．已知船 A 在灯塔 C 北偏东 85°且到 C 的距离为 2 km，船 B 在灯塔 C 西偏北 25°且
到C的距离为km,则A、B两船的距离为(D) B.32 D. V13 ki [解析]如图可知∠ACB=85°+(90°-25°)=150°, Ac=2, BC= ∴AB=AC2+BC-2AC·BC·cos150°=13 ∴AB=V13 2.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile 的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的M处,则这只船的航行速度为(A) 6 2 n mile/h n mile/h 12 [解析]如图所示,在△PM中,y sin45°sin120° √3 n=-2=NV6 (n mile/h) 3.如图,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线 的水平角)为140°的方向航行.为了确定船的位置,船在B点观测灯塔A的方位角为110°, 航行h到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是 0°
5 到 C 的距离为 3 km，则 A、B 两船的距离为( D ) A．2 3 km B．3 2 km C． 15 km D． 13 km [解析] 如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°， AC＝2，BC＝ 3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos150°＝13， ∴AB＝ 13． 2．一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 n mile 的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为( A ) A． 17 6 2 n mile/h B．34 6 n mile/h C． 17 2 2 n mile/h D．34 2 n mile/h [解析] 如图所示，在△PMN 中， PM sin45°＝ MN sin120°， ∴MN＝ 68× 3 2 2 2 ＝34 6，∴v＝ MN 4 ＝ 17 6 2 (n mile/h)． 3．如图，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线 的水平角)为 140°的方向航行．为了确定船的位置，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°， 航行1 2 h 到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是 ( B )
B.1 D.152k [解析]在△ABC中,BC=40×=20(km),∠ABC=140°-110°=30°,∠ACB= (180°-140°)+65°=105 则A=180°-(30°+105°)=45° 由正弦定理,得 BC·sin∠ABC20·sin30° sin45° 10y2(km) 填空题 4.海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船,在商船的正 东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10√ 7 mile, 20min后测得海盗船距观测站20nmie,再过3-min,海盗船到达商船 [解析]如下图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处,20min后, 海盗船到达D处,在△ADC中,AC=10√7,AD=20,CD=30,由余弦定理,得 AD+CD-AC400+900-7001 coS∠AC= 2AD·CD 2×20×302 ∴∠AD=60°,在△ABD中,由已知得∠ABD=30 ∠BAD=60°-30°=30 B=MD=20,20×60=40 5.如图,一艘船上午8:00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正 北方向匀速航行,上午8:30到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它 相距42 n mile,则此船的航行速度是_16 n mile/h [解析]在△ABS中,∠A=30°,∠ABS=105° ∴∠ASB=45°
6 A．10 km B．10 2 km C．15 km D．15 2 km [解析] 在△ABC 中，BC＝40× 1 2 ＝20( km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝ (180°－140°)＋65°＝105°， 则 A＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得 AC＝ BC·sin∠ABC sinA ＝ 20·sin30° sin45° ＝10 2( km)． 二、填空题 4．海上一观测站测得方位角 240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正 东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时 90 n mile.此时海盗船距观测站 10 7 n mile， 20 min 后测得海盗船距观测站 20 n mlie，再过__ 40 3 __min，海盗船到达商船． [解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于 A、B、C 处，20 min 后， 海盗船到达 D 处，在△ADC 中，AC＝10 7，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得 cos∠ADC＝ AD 2＋CD 2－AC 2 2AD·CD ＝ 400＋900－700 2×20×30 ＝ 1 2 ． ∴∠ADC＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD＝30°， ∠BAD＝60°－30°＝30°， ∴BD＝AD＝20， 20 90×60＝ 40 3 (min)． 5．如图，一艘船上午 8∶00 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处，之后它继续沿正 北方向匀速航行，上午 8∶30 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处，且与它 相距 4 2 n mile，则此船的航行速度是__16__n mile/h． [解析] 在△ABS 中，∠A＝30°，∠ABS＝105°， ∴∠ASB＝45°
sina sin∠ASB BS·sin∠ASB sina 上午8:00在A地,8:30在B地 ∴航行0.5小时的路程为8 n mile, ∴此船的航速为16 n mile/h. 三、解答题 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量 已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C 处测得水深CF=110m,求∠DEF的余弦值 [解析]由题意可得DF=502+1202=1302 DF=1702+302=29800 EF=1202+902=1502, 由余弦定理,得cos∠、16 C级能力拔高 1.为了测量两山顶M、N间的距离,飞机沿水平方向在A、B两点进行测量,A、B、M N在同一个铅垂平面内(如图).能够测量的数据有俯角和A、B间的距离.请设计一个方案, 包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出):②用文字和公式写出计算M N间的距离的步骤 [解析]方案一:①需要测量的数据有:点A到点M、N的俯角a1、B1:点B到点M N的俯角a2、B2;A、B间的距离d(如图)
7 ∵BS＝4 2， BS sinA ＝ AB sin∠ASB ， ∴AB＝ BS·sin∠ASB sinA ＝ 4 2× 2 2 1 2 ＝8， ∵上午 8∶00 在 A 地，8∶30 在 B 地， ∴航行 0.5 小时的路程为 8 n mile， ∴此船的航速为 16 n mile/h． 三、解答题 6．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行测量， 已知 AB＝50 m，BC＝120 m，于 A 处测得水深 AD＝80 m，于 B 处测得水深 BE＝200 m，于 C 处测得水深 CF＝110 m，求∠DEF 的余弦值． [解析] 由题意可得 DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29 800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得 cos∠DEF＝ 16 65． C 级 能力拔高 1．为了测量两山顶 M、N 间的距离，飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量，A、B、M、 N 在同一个铅垂平面内(如图)．能够测量的数据有俯角和 A、B 间的距离．请设计一个方案， 包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算 M、 N 间的距离的步骤． [解析] 方案一：①需要测量的数据有：点 A 到点 M、N 的俯角 α1、β1；点 B 到点 M、 N 的俯角 α2、β2；A、B 间的距离 d(如图)．
②第一步:计算A.由正弦定理,得M=-1na2 第二步:计算AM,由正弦定理,得AN= dsin B2 B2-8 第三步:计算M,由余弦定理,得 M=√AH+AM-2AM· ACos a1-B1 方案二:①需要测量的数据有:点A到点从M的俯角a1、B1;点B到点MN的俯角 a2、B2;A、B间的距离d(如图) ②第一步:计算BM,由正弦定理,得BM=-.1n 第二步:计算BM,由正弦定理,得BN= dsin BI sin B2-B 第三步:计算MM,由余弦定理,得 M=yBMF+ BN +2BM. BNcos B2+ a2 2.已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上,A、B相距10 n mile,小船甲从海岛B 以2 n mile/h的速度沿直线向海岛A移动,同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15°方向也 以2 n mile/h的速度移动 (1)经过1h后,甲、乙两小船相距多少海里? (2)在航行过程中,小船甲是否可能处于小船乙的正东方向?若可能,请求出所需时间 若不可能,请说明理由 [解析]经过1h后,甲船到达M点,乙船到达N点, AM=10-2=8,AN=2,∠MAN=60°, 所以M=4+AN-2M.As6°=64+4-2×8×2×1 所以M=
8 ②第一步：计算 AM，由正弦定理，得 AM＝ dsinα2 sin α1＋α2 ； 第二步：计算 AN，由正弦定理，得 AN＝ dsinβ2 sin β2－β1 ； 第三步：计算 MN，由余弦定理，得 MN＝ AM 2＋AN 2－2AM·ANcos α1－β1 ． 方案二：①需要测量的数据有：点 A 到点 M、N 的俯角 α1、β1；点 B 到点 M、N 的俯角 α2、β2；A、B 间的距离 d(如图)． ②第一步：计算 BM，由正弦定理，得 BM＝ dsinα1 sin α1＋α2 ； 第二步：计算 BN，由正弦定理，得 BN＝ dsinβ1 sin β2－β1 ； 第三步：计算 MN，由余弦定理，得 MN＝ BM 2＋BN 2＋2BM·BNcos β2＋α2 ． 2．已知海岛 B 在海岛 A 的北偏东 45°方向上，A、B 相距 10 n mile，小船甲从海岛 B 以 2 n mile/h 的速度沿直线向海岛 A 移动，同时小船乙从海岛 A 出发沿北偏西 15°方向也 以 2 n mile/h 的速度移动． (1)经过 1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？ (2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间， 若不可能，请说明理由． [解析] 经过 1 h 后，甲船到达 M 点，乙船到达 N 点， AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°， 所以 MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2× 1 2 ＝52． 所以 MN＝2 13．
所以经过1h后,甲、乙两小船相距2√13海里 2)设经过t(0<t5)h小船甲处于小船乙的正东方向,则甲船与A距离为AE=(10-2t)n mile,乙船与A距离为AF=2 tn mile,∠EAF=60°,∠EFA=75°,则由正弦定理,得 2t10-2t sin45°sin75° 10sin45° 则t= 2sin75°+2sin45°3+ 答;经过53-15小时小船甲处于小船乙的正东方向
9 所以经过 1 h 后，甲、乙两小船相距 2 13海里． (2)设经过 t(0<t<5)h 小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与 A 距离为 AE＝(10－2t)n mile，乙船与 A 距离为 AF＝2t n mile，∠EAF＝60°，∠EFA＝75°，则由正弦定理，得 AF sin45° ＝ AE sin75°，即 2t sin45°＝ 10－2t sin75°， 则 t＝ 10sin45° 2sin75°＋2sin45°＝ 10 3＋ 3 ＝ 5 3－ 3 3 <5． 答：经过5 3－ 3 3 小时小船甲处于小船乙的正东方向．