正弦定理、余弦定理的应用 2021/1/31
2021/1/31 正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理: b C sin a sinb sin c =2R(R为△ABC外接圆的半径) 正弦定理的一些常见变形 )a=2 rsin 4. 6=2 Rsin b,c=2 rsin c(边化角公式) (2)sind=n,Sinb、bc sin c (角化边公式) 2R 2R2R 3a b c=sin a: sin b sin c (4 asin b= bsin a. asin c= csin 4. bsin c=csin B 2021/1/31
2021/1/31 正弦定理： 2 ( sin sin sin a b c R R ABC A B C = = = 为 外接圆的半径） 正弦定理的一些常见变形： （1 2 sin , 2 sin , 2 sin ）a R A b R B c R C = = = (边化角公式） 2 sin ,sin ,sin 2 2 2 a b c A B C R R R （ ） = = = (角化边公式） （3 : : sin :sin :sin ）a b c A B C = （4 sin sin , sin sin , sin sin ）a B b A a C c A b C c B = = =
余弦定理 a=b+c-2bc cos a b2 a cos B C-=a+b-2ab cos C b2+c2-a2 COS 2bc cosB=c+ab2 角化边公式 C a2+b2-c2 COS C 2021/1/31 2ab
2021/1/31 2 c = 2 b = cos A= 2 2 a b ab C + − 2 cos 2 2 a c ac B + − 2 cos 2 a = 2 2 b c bc A + − 2 cos 2 2 2 2 b c a bc + − cosB = 2 2 2 2 c a b ca + − cosC = 2 2 2 2 a b c ab + − 余弦定理： 角化边公式
解三角形 正弦定理:解两类三角形的问题: (1)已知两角及任一边(AS、ASA)。 (2)已知两边和一边的对角(“S”)。 B A B A B 2021/1/31
2021/1/31 正弦定理：解两类三角形的问题： （1）已知两角及任一边(AAS、ASA)。 （2）已知两边和一边的对角（“SSA”）。 A B C b A B C c A B C b a 一 . 解三角形
余弦定理:解两类三角形的问题 (1)已知两边及夹角(SAS) (2)已知三边(s)。 B A 2021/1/31
2021/1/31 余弦定理：解两类三角形的问题： （1）已知两边及夹角(SAS)。 （2）已知三边（SSS）。 A B C C A B
例1、在△ABC中,已知b=2, c=1,B-=45°,求a,A,C的值. C=30.A=105 已知两边和其中一边对角,求另一边及另两角 注:解决这类问题可有两种方法 (1)正弦定理 (2)用方程的思想,引出含第三边为未知量 的方程,间接利用余弦定理解决问题 2021/1/31
2021/1/31 注：解决这类问题可有两种方法: (1)正弦定理 (2)利用方程的思想，引出含第三边为未知量 的方程, 间接利用余弦定理解决问题 例1、在△ABC中，已知b= ， c=1， B=45° ，求a,A,C的值. 2 已知两边和其中一边对角，求另一边及另两角 6 2 , 30 , 105 . 2 a C A + = = =
解三角形时常用结论 Da+>c, b+c>a, a+c>6 (即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) A+B C (2)A+B+C=T, A+B=T-C 222 ()sin(A+ B)=sin C, cos(A+ B)=-coS C atB C A+B c sIn 2COS. c0S- -sIn- (4)在△BC中,A>B分a> be sin a>sinB (即大边对大角,大角对大边) x0(5)正弦定理和余弦定理
2021/1/31 解三角形时常用结论 (1) , , ( a b c b c a a c b + + + 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） (2) , , 2 2 2 A B C A B C A B C + + + = + = − = − (3)sin( ) sin ,cos( ) cos sin cos ,cos sin 2 2 2 2 A B C A B C A B C A B C + = + = − + + = = (4) sin sin ( 在 ABC A B a b A B 中， 即大边对大角，大角对大边） (5)正弦定理和余弦定理
二,判断三角形形状 一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为边与边之间的关系,通过因式分解 等方法化简得到边与边关系式,从而判断 出三角形的形状;(角化边) 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为角与角之间三角函数的关系,通过 三角恒等变形以及三角形内角和定理得到 内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。 (边化角) 2021/1/31
2021/1/31 二. 判断三角形形状 判断三角形的形状的途径有两条： 一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为边与边之间的关系，通过因式分解 等方法化简得到边与边关系式，从而判断 出三角形的形状；（角化边） 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为角与角之间三角函数的关系，通过 三角恒等变形以及三角形内角和定理得到 内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。 （边化角）
二.判断三角形形状 (1) a cos a= bcos b;等腰三角形或直角三角形 a b 等边三角形 COs A COSB COS C (3)b=a cos C 直角三角形 (4)sinA=2 Sin B cos c等腰三角形 2021/1/31
2021/1/31 ; cos cos cos (2) C c B b A a = = (3)b = a cosC 等腰三角形或直角三角形 等边三角形 直角三角形 (1) cos cos ; a A b B = (4) sin 2sin cos A B C = 等腰三角形 二. 判断三角形形状
.证明三角形中有关等式 例3在△ABC中,求证 Da=bcos C+ccos b (2 )6=CCOS A+acos C (c=acos B+bcos A 2021/1/31
2021/1/31 三. 证明三角形中有关等式 3. (1) cos cos ; (2) cos cos ; (3) cos cos . ABC a b C c B b c A a C c a B b A = + = + = + 例 在 中，求证：