人教版高中数学必修4 八多课件
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换
复习 和(差)角公式 倍角公式
复习 倍角公式 和(差)角公式
例1试用cosa表示8,cs"n 2 C C an 解a是2的二倍角 在公式cos2a=1-2sin2a中,以a代替2a,以代替a, cos a=1-2 sin 2 a 2 Sin2 a 1-cosa ① 在公式cos2a=2cos2a-1中,以a代替2a,以代替a, C cos a=2 cos 2 1+cos a COS
例1 . 2 , tan 2 ,cos 2 cos sin 2 2 2 试用 表示 解 . 2 是 的二倍角 , 2 cos 2 1 2sin , 2 , 2 在公式 = − 中 以代替 以 代替 2 cos 1 2sin 2 = − ① 2 1 cos 2 sin 2 − = , 2 cos 2 2cos 1 , 2 , 2 在公式 = − 中 以代替 以 代替 1 2 cos 2cos 2 = − ② 2 1 cos 2 cos 2 + =
得 an21-c0Sa可表示为 2-1+ cos a sin a=±1-gsg 2 cOS 2+/1+cos a C 1-cos a tan-=± 1+cos a 称为半角公式符号 由所在象限决定
得 ② ① 1 cos 1 cos 2 tan 2 + − = . 2 , 1 cos 1 cos 2 tan 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin : 由 所在象限决定 称为半角公式 符号 可表示为 + − = + = − =
例2求证 Osin a cos B=sin(a+B)+sn(a-B)E Isin 0 +sin =2sin COS 2 2 解(1)si(+β和sin(x.)是我们学过的知识,所 以从右边着手 sin(+β)= sinacosB+ cousinβB sin(a-B)=sinacosB-cosasinB 两式相加得 sin(a+B)+ sin(a-B)=2sinacosB sin a cos B=-sin(a+B)+sn(a
例2 求证 ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 cos 2 2 sin sin 2sin sin sin ; 2 1 1 sin cos + − + = = + + − 解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所 以从右边着手 sin(+) ＝ sincos+cossin sin(-) ＝ sincos-cossin 两式相加,得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos = sin ( + )+ sin ( − ) 2 1 sin cos
(2)由(1)可得 sin(a+B)+ sin(a-B)=2sinacosB 设a+B=0,0-6= 6+q 0- 2 把αβ的值代入①即得 sin 0+sin =2sin 8+o 8-o COS 2
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos ① 设 +=, -= 2 , 2 − = + = 把,的值代入①,即得 . 2 cos 2 sin sin 2sin + − + =
思考在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法 例2证明中用到换元思想, ①式是积化和差的形式, ②式是和差化积的形式; 在后面的练习当中还有六个关于积化和差 和差化积的公式
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式； 在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式． 思考 在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例3求函数y=smx+√3cosx的周期,最大值和最 分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求 应的值 解y=snx+√3cosx 点评:例3是三角 恒等变换在数学中 =2-sin x+coSx 应用的举例,它使 三角函数中对函数 丌)的性质研究得到延 sin x cos-+ cos x sin 3丿伸,体现了三角变 换在化简三角函数 =2Sin x+ 式中的作用 所求的周期为2元,最大值为2,最小值为-2
例3 求函数y = sin x + 3 cos x的周期，最大值和最小值 分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值. 解 y = sin x + 3 cos x = x + cos x 2 3 sin 2 1 2 = + 3 cos sin 3 2 sin cos x x = + 3 2sin x 所以,所求的周期为2 ,最大值为2,最小值为-2. 点评：例３是三角 恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数 的性质研究得到延 伸，体现了三角变 换在化简三角函数 式中的作用
例4如图,已知OPQ是半径为圆心角为的扇形,C是k 弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=a 当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积 分析:要求当角α取何值时,矩形ABCD的面积 S最大,可分二步进行 ①找出S与a之间的函数关系 ②由得出的函数关系,求S的最大值
例4 , ABCD ? . . COP , 3 1 当角 取何值时 矩形 的面积最大 并求出最大面积 ， 扇形的内接矩形 记 求 ， ， 弧上的动点 是 = 如图，已知 是半径为 圆心角为 的扇形 是扇形 ABCD OPQ C 分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值