3.2简单的三角恒等变换(3个课时) 一、课标要求: 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中 的应用 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的.通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比 分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及 变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提 高学生的推理能力 三、教学目标 通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程 中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使 用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力 四、教学重点与难点 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公式 的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三 角变换的特点,提高推理、运算能力 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高 从整体上把握变换过程的能力. 五、学法与教学用具 学法:讲授式教学 六、教学设想: 学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具,从而使三角变换的 内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能力提供了新的平台.下面我们以习题 课的形式讲解本节内容 例1、试以COsa表示Sn2,cos1 解:我们可以通过二倍角coSa=2cos2-1和cosa=1-2sin2a来做此题 因为coa=1-2sim2,可以得到sm2a=1-osa 因为cosa=2cos2-1,可以得到cos2a1+cosa sIn 又因为tan2== 2a 1+cos a 思考:代数式变换与三角变换有什么不同?
3.2 简单的三角恒等变换（3 个课时） 一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中 的应用． 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、 分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及 变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提 高学生的推理能力． 三、教学目标 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程 中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使 用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式 的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三 角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高 从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想： 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的 内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题 课的形式讲解本节内容． 例 1、试以 cos 表示 2 2 2 sin ,cos , tan 2 2 2 ． 解：我们可以通过二倍角 2 cos 2cos 1 2 = − 和 2 cos 1 2sin 2 = − 来做此题． 因为 2 cos 1 2sin 2 = − ，可以得到 2 1 cos sin 2 2 − = ； 因为 2 cos 2cos 1 2 = − ，可以得到 2 1 cos cos 2 2 + = ． 又因为 2 2 2 sin 1 cos 2 tan 2 1 cos cos 2 − = = + ． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不 仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差 异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换 的重要特点 例2、求证 (1), sina cos B=5[sin(a+B)+sin(a-B) (2)、sinb+sinq=2 6+o 0- 2 证明:(1)因为sin(a+B)和sin(a-B)是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边 着手 sin(a+B)=sinacos B+cosasin B: sin(a-B)=sina cos B-cos asin B 两式相加得2 sina cos B=sin(a+B)+sin(a-B); Ep sina cosB=5[sin(a+B)+sin(a-B)] (2)由(1)得sin(a+B)+sin(a-)=2 sina cos B①;设a+B=0,a-B= 6+Q 那么a=2 6+ 把a,B的值代入①式中得sinb+sinq=2sin cOS 思考:在例2证明中用到哪些数学思想? 例2证明中用到换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化积的形式,在 后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式 例3、求函数y=sinx+√3cosx的周期,最大值和最小值 解:y=sinx+√3cosx这种形式我们在前面见过 y=sin x+ 3 cos x=2-sin x+cosx=2sin x+ 所以,所求的周期T==2丌,最大值为2,最小值为-2 点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数 y=Asn(ox+q)的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不 仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差 异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换 的重要特点． 例２、求证： （１）、 ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 = + + − ； （２）、 sin sin 2sin cos 2 2 + − + = ． 证明：（１）因为 sin( + ) 和 sin( − ) 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边 着手． sin sin cos cos sin ( + = + ) ； sin sin cos cos sin ( − = − ) ． 两式相加得 2sin cos sin sin = + + − ( ) ( ) ； 即 ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 = + + − ； （２）由（１）得 sin sin 2sin cos ( + + − = ) ( ) ①；设 + = − = , ， 那么 , 2 2 + − = = ． 把 , 的值代入①式中得 sin sin 2sin cos 2 2 + − + = ． 思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在 后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例３、求函数 y x x = + sin 3 cos 的周期，最大值和最小值． 解： y x x = + sin 3 cos 这种形式我们在前面见过， 1 3 sin 3 cos 2 sin cos 2sin 2 2 3 y x x x x x = + = + = + ， 所以，所求的周期 2 T 2 = = ，最大值为２，最小值为−2 ． 点 评 ： 例 ３ 是 三 角 恒 等 变 换 在 数 学 中 应 用 的 举 例 ， 它 使 三 角 函 数 中 对 函 数 y A x = + sin( ) 的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
小结:此节虽只安排一到两个课时的时间,但也是非常重要的内容,我们要对变换过程中体 现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用 作业: 1571158 三角恒等变换》复习课(2个课时) 、教学目标 进一步掌握三角恒等变换的方法,如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式, 对三角函数式进行化简、求值和证明: 知识与方法 1.11个三角恒等变换公式中,余弦的差角公式是其它公式的基础,由它出发,用-β代 替β、二±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗? cos(a-B)=cos a cos B +sin a sin B sin (a+B)=sin a cos B +cos a sin B cos (a+B)=cos a cos B sin B sin(a-B)=sin a cos B cos a sin B tan (a+B)=tan a+ tank I-tan a tan B tan(a-B) tan a-tan B I+tan a tan B cos? a =cos2 a-sin2 a tanga tan a+ tan B 1-tan a tan B
小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体 现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业： P P 157 158 − T T 1 4 − 《三角恒等变换》复习课（2 个课时） 一、教学目标 进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式， 对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法： 1. 11 个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代 替β、 2 ±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？ cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ tan（α+β）= 1 tan tan tan tan − + tan（α-β）= 1 tan tan tan tan + − sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α =2cos2α-1=1-2 sin2α tan2α= 1 tan tan tan tan − +
2.化简,要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽 量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的求出值来 3.求值,要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响,较难的问题需要根 据上三角函数值进一步缩小角的范围 4.证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于,或都将左右进行 变换使其左右相等。 5.三角恒等变换过程与方法,实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换,即(1)找 差异:角、名、形的差别;(2)建立联系:角的和差关系、倍半关系等,名、形之间可以 用哪个公式联系起来;(3)变公式:在实际变换过程中,往往需要将公式加以变形后运用 或逆用公式,如升、降幂公式,cosa= cos B cos(a-B)- sin b sin(a-B),1=sin2 a tcos?,1+tan30°=tan45+tan309an(453+30)等 1-tan30°1-tan45°tan30° 例题 例1已知sin(a+B)=2,sin(a-B)=,求加的值 B 例2求值:cos24°-sin6°-cos72° 例3化简(1)√31:(2)sin2asin2t s"B--cos2 a cos2 B sin20° 例4设为锐角,且3sin2a+2inB=1,3sin2a-25in2B=0,求证:a+2B=z。 例5如图所示,某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与 水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m,渠深8米。则水渠壁的倾角a应为多少时, 方能使修建的成本最低? 分析:解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型,作出横A 断面的图形,要减少水与水渠壁的接触面只要使水与 水渠断面周长最小,利用三角形的边角关系将倾角为 a和横断面的周长L之间建立函数关系,求函数的最 小值
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽 量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来； 3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根 据上三角函数值进一步缩小角的范围。 4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行 变换使其左右相等。 5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找 差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以 用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用 或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2 α+cos2α， 0 0 1 tan 30 1 tan 30 − + = 0 0 0 0 1 tan 45 tan 30 tan 45 tan 30 − + =tan（450 +300）等。 例题 例 1 已知 sin（α+β）= 3 2 ，sin（α-β）= 5 1 ，求 tan tan 的值。 例 2 求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72° 例 3 化简（1） 0 0 sin 70 1 sin 20 3 − ；（2）sin2αsin2β+cos2αcos 2β- 2 1 cos2αcos2β。 例 4 设为锐角，且 3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β= 2 。 例 5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与 水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值 m，渠深 8 米。则水渠壁的倾角 应为多少时， 方能使修建的成本最低？ 分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横 断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与 水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为 和横断面的周长 L 之间建立函数关系，求函数的最 小值 8 A E D B C