人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(5)

一、课题导入 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图3.1-1所 示小山高BC约为30米在地平面上有一点A测得A,C两点 间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角≌CAD) 约为45。求这座电视发射塔的高度。 D 解:设电视塔高CD=x米,∠CAB=则sna 30在 RtAABD中, 67 X tan(45+a x+30 60 能否用sna把tn(45+a) 4567 C C 表示出来呢? 30 A 3.1-1 B

某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图3.1-1所 示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A，C两点 间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（ ） 约为 。求这座电视发射塔的高度。 CAD 45 A B C D 45  67 30 x 3.1-1 解:设电视塔高CD= 米， = 则 = 在 中， x CAB  sin 67 30 RtABD 60 30 tan(45 ) + +  x   能否用 把 表示出来呢？ sin tan(45 +)  一、课题导入

般地说,对于任意角a,B,能不能 用a,B的三角函数值把+B或者-B 的三角函数值表示出来呢? 下面我们来研究如何用任意角C,B 的正弦、余弦值来表示cos(x-B)的间 题

一般地说，对于任意角 ， ，能不能 用 ， 的三角函数值把 或者 的三角函数值表示出来呢？      +   −  下面我们来研究如何用任意角 ， 的正弦、余弦值来表示 的问 题。   cos( − )

二、新课讲解 cos(a-B)=cos a-coS B A? %很明显:COs(60-c0s30)≠coS60-c030 所以对任意的a、B,cos(a-B)=cosa-cos6 不成立。 思考:CO2(-B)=5

二、新课讲解 cos( − ) = cos − cos  吗？ 很明显： 所以对任意的 、 ， 不成立。     cos(60 −cos30 )  cos60 −cos30   cos( − ) = cos − cos  思考： cos( − ) = ?

证法一、用单位圆上的三角函数线证明y 如右图:设角O的终边与 单位圆的交点为P1∠pOp1=B 则∠pOx=a-B 过点P作PM垂直于x轴,垂 aa 足为M,那么OM是角a-B B Mx 的余弦线。 思考:如何用角,B的正弦线、余 弦线来表示OM? 过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂 直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为 C。则OA=cosa,AP=smB并且puc= EPOx=a 于是OM=OB+BM =OB+CP =OAcoS a +APSin a=cos B cos a+sin Bsin a

y O x 1 p  p   −  M A B C 证法一、用单位圆上的三角函数线证明 如右图：设角 的终边与 单位圆的交点为 ， 则  1 p pop1 =  pox = −  过点P作PM垂直于x轴，垂 足为M，那么OM是角 的余弦线。  −  思考：如何用角 ， 的正弦线、余 弦线来表示OM？   过点P作PA垂直于O ，垂足为A，过点A作AB垂 直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为 C。则OA= ，AP= 并且 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OA +AP = 1 p cos sin  pac = p1 ox = cos sin cos  cos + sin  sin 

Bp cos(a-B)=cos B cos a+sin Bsin a 证法二、用向量的方法证明 A B B 如右图:则 OA=(cos a, sin a), OB=(cos B, sin B) 由向量数量积的定义,有 OA-OB-=OA.OB cos(a-B)=cos(a-B)(D 由向量数量积的坐标表示,有 OA OB=(cos a, sin a)(cos B, sin B) = coS a cos B+sin asin B (2)

即 cos( − ) = cos  cos + sin  sin  证法二、用向量的方法证明 x y O   A B 1 如右图：则 OA = (cos，sin ),OB = (cos ,sin ) 由向量数量积的定义，有 由向量数量积的坐标表示，有 OAOB = OA  OB cos( − ) = cos( − ) （1）         cos cos sin sin (cos ,sin ) (cos ,sin ) = + OAOB =  （2）

由(1)和(2)得 cos(a-B)=cos Bcos+sin Bsin a 由向量数量积概念知:0≤a-B≤x 但B都是任意角,a-B也是任意角, 那么证法二正确吗? 当O-B是任意角时,由诱导公式, 总可以找到一个角∈[0,2z),使 COS6=c0s(a-B)则

由（1）和（2）得 cos( − ) = cos  cos + sin  sin  由向量数量积概念知： 0  −    但 都是任意角， 也是任意角， 那么证法二正确吗？    −  当 是任意角时，由诱导公式， 总可以找到一个角 ，使 则  −   0,2 ) cos = cos( − )

当∈z时,则OAOB=cosO=cos-B) 当O∈[z,2n)时,则2n-O∈0z)且 O4·OB=c0(2-6)=c0b=cos(-B) (一)两角差的余弦公式 对于任意角a,β都有 cos(a-B)=cos B cos a+sin Bsin a C(a-B) 作用:知cosa,cosβ,sna,snβ的值可 求 cos(a-B)

当  0, 时，则 OAOB = cos = cos( − ) 当  ,2 ) 时，则 2 − 0,) 且 OAOB = cos(2 −) = cos = cos( − )  对于任意角  ，  都有 cos( − ) = cos  cos + sin  sin  （ c( − ) ） （一）两角差的余弦公式 作用：知 ， ， ， 的值可 求cos( − ) cos cos  sin sin 

例1利用差角余弦公式求cOS15的值。 想一想:解法一: 有几种拆 分方法?COs15°= Cos(45-30) =cos45°cos30+sin45sin30° 2√3√21 —×一 2222 6+√2 4

例1 利用差角余弦公式求 的值。  cos15 想一想： 有几种拆 分方法？ 解法一： cos15 cos(45 30 )    = −     = cos 45 cos30 + sin 45 sin 30 2 1 2 2 2 3 2 2 =  +  4 6 + 2 =

解法二: cos15=cos(60-45) Cos 60 cos 45+sin 60 sin 45 2 2 √2+√6 4 但吧吧

解法二： cos15 cos(60 45 )    = −     = cos60 cos 45 + sin 60 sin 45 4 2 6 2 2 2 3 2 2 2 1 + = =  + 

思考:你会求sm75的值吗? si75=sim(90-15)=c0s15 例2、已知Sna=,C∈ I l cos B=-4,B 是第三象限角,求oS(a-B)的值。 联系公式C(a-B)和本题的条 件,要计算cos(α-β),应作 哪些准备?

思考：你会求 sin 75 的值吗？     sin 75 = sin( 90 −15 ) = cos15 例2、已知 是第三象限角，求 的值。       , 13 5 , ,cos 2 , 5 4 sin  = −      =  cos( − ) 联系公式 和本题的条 件，要计算 ，应作 哪些准备？ c( − ) cos( − )