3.2简单的三角恒等变换 【学习目标]1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2 了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒 等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 1问题导学 知识点一.半角公式 思考1.我们知道倍角公式中,“倍角是相对的”,那么对余弦的二倍角公式,若用2a替换 a,结果怎样? 答案结果是cosa=2c0s2a-1=1-2sin2a=cos2-sin 思考2.根据上述结果,试用sina,cosa表示sin,cos 1+cos a 答案.∵cos cOS 2 sIn 同理sin=± cOS -cos a 1+cos a 思考3利用1m0a=0乙和倍角公式又能得到tmn2与sna,cosa怎样的关系 sin-·2cos 2 sin a 答案.tanz=a=aa a 1+cos COS CoS a SIn sin-·2sin sin a COS COS 梳理 sIn 1+cos a cos a sin a tan 1+cos a 1+cos a
.. .. 3.2 简单的三角恒等变换 学习目标 .1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒 等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. 知识点一.半角公式 思考1.我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换 α，结果怎样？ 答案.结果是 cos α＝2cos2α 2 －1＝1－2sin2α 2 ＝cos 2α 2 －sin2α 2 . 思考 2.根据上述结果，试用 sin α，cos α 表示 sin α 2 ，cos α 2 ，tan α 2 . 答案.∵cos2α 2 ＝ 1＋cos α 2 ，∴cos α 2 ＝± 1＋cos α 2 ， 同理 sin α 2 ＝± 1－cos α 2 ，∴tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝± 1－cos α 1＋cos α . 思考 3.利用 tan α＝ sin α cos α 和倍角公式又能得到 tan α 2 与 sin α，cos α 怎样的关系？ 答案. tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝ sin α 2 ·2cos α 2 cos α 2 ·2cos α 2 ＝ sin α 1＋cos α ， tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝ sin α 2 ·2sin α 2 cos α 2 ·2sin α 2 ＝ 1－cos α sin α . 梳理 sin α 2 ＝± 1－cos α 2 ，... cos α 2 ＝± 1＋cos α 2 ， tan α 2 ＝ ± 1－cos α 1＋cos α ＝ sin α 1＋cos α ＝
1-cos a sin a 知识点二.辅助角公式 思考1. asin X+ bcos x化简的步骤有哪些? 答案.(1)提常数,提出+b得到 sin x+ CCos X a2+b2 a2+b2 (2)定角度,确定一个角满足: b coS (或sin0= √+b cos 0= 一般0为特 a2+b2 a2+b2 +b 殊,3则得到+(mm00+(mm+o 0 cos x)) (3)化简、逆用公式得ainx+osx=a+bsin(x+0)(或ainx+kosx=Va+b 思考2.在上述化简过程中,如何确定所在的象限? 答案.θ所在的象限由a和b的符号确定 梳理.辅助角公式: asin X+ bcos x=ya+bsin(x+0).(其中tanO 题型探究 类型一.应用半角公式求值 例1.已知sinO <b<3丌,求COS一和 且 2<0<3丌, 0 1+cos 由cos0=2cos2--1,得cos2 5丌03丌 cos ,·COS 2 1+cos 6
.. .. 1－cos α sin α . 知识点二.辅助角公式 思考 1.asin x＋bcos x 化简的步骤有哪些？ 答案.(1)提常数，提出 a 2＋b 2得到 a 2＋b 2 a a 2＋b 2 sin x＋ b a 2＋b 2 cos x . (2)定角度，确定一个角 θ 满足： cos θ＝ a a 2＋b 2 ，sin θ＝ b a 2＋b 2 (或 sin θ＝ a a 2＋b 2 ，cos θ＝ b a 2＋b 2 ).一般 θ 为特 殊角 π 4 ， π 3 等 ，则得到 a 2＋b 2 (cos θsin x＋sin θcos x)(或 a 2＋b 2 (sin θsin x＋cos θcos x)). (3)化简、逆用公式得 asin x＋bcos x＝ a 2＋b 2 sin(x＋θ)(或 asin x＋bcos x＝ a 2＋b 2 cos(x－θ)). 思考 2.在上述化简过程中，如何确定 θ 所在的象限？ 答案.θ 所在的象限由 a 和 b 的符号确定. 梳理.辅助角公式： asin x＋bcos x＝ a 2＋b 2 sin(x＋θ).(其中 tan θ＝ b a ) 类型一.应用半角公式求值 例 1.已知 sin θ＝ 4 5 ， 5π 2 ＜θ＜3π，求 cos θ 2 和 tan θ 2 . 解.∵sin θ＝ 4 5 ，且5π 2 ＜θ＜3π，∴cos θ＝－ 1－sin2θ ＝－ 3 5 . 由 cos θ＝2cos2θ 2 －1，得 cos 2θ 2 ＝ 1＋cos θ 2 ＝ 1 5 . ∵ 5π 4 ＜ θ 2 ＜ 3π 2 ，∴cos θ 2 ＝－ 1＋cos θ 2 ＝－ 5 5 . tan θ 2 ＝ sin θ 1＋cos θ ＝2
反思与感悟.(1)若没有给出角的范围,则根号前的正负号需要根据条件讨论 (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤: ①先化简所求的式子 ②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手) 8 3 跟踪训练1.已知sina 17 且π<a<。,求 cos一和tan x232,:2 15 cos a …s1n2 +cos a CoS 17 sIn a tan COS 类型二.三角恒等式的证明 1+sin 4 0-cos 4 0 1+sin 40+cos 4 8 例2.求证 tan 8 1-tan2 0 1+sin 4 8 48 tan 6 证明.要证原式,可以证明 1+sin 4 0 4 6 1-tan ∴左边=51n40+(1-cos40) sin 40+(1+cos 40) 2sin 2 cos 20+2sin 2 0 2sin 2 cos 26+2cos 2 8 2sin 2 0(cos 2 0+sin 20) 2cos 2 0(sin 2 6+cos 2o)tan 2 0, 右边 tan B tan 20, ∴左边=右边 原式得证 反思与感悟.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归一 或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左 边,也可以用左右归一,变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法
.. .. 反思与感悟.(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子； ②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手). 跟踪训练 1.已知 sin α＝－ 8 17，且 π<α< 3π 2 ，求 sin α 2 ，cos α 2 和 tan α 2 . 解.∵sin α＝－ 8 17，π<α< 3π 2 ，∴cos α＝－ 15 17. 又∵π<α< 3π 2 ，∴ π 2 < α 2 < 3π 4 ， ∴sin α 2 ＝ 1－cos α 2 ＝ 1＋ 15 17 2 ＝ 4 17 17 ， cos α 2 ＝－ 1＋cos α 2 ＝－ 1－ 15 17 2 ＝－ 17 17 ， tan α 2 ＝ sin α 2 cos α 2 ＝－4. 类型二.三角恒等式的证明 例 2.求证：1＋sin 4θ－cos 4θ 2tan θ ＝ 1＋sin 4θ＋cos 4θ 1－tan2θ . 证明.要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ 1＋sin 4θ＋cos 4θ ＝ 2tan θ 1－tan2θ . ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ) sin 4θ＋(1＋cos 4θ) ＝ 2sin 2θcos 2θ＋2sin2 2θ 2sin 2θcos 2θ＋2cos2 2θ ＝ 2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) 2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ) ＝tan 2θ， 右边＝ 2tan θ 1－tan2θ ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证. 反思与感悟.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一 或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左 边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法
“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法 跟踪训练2证明:+n n a+1 n a+ 1=1 1+tan 证明.∵左边= stan 2 I-tan 2 1+ an--+tan -+1 1+tan+2tan -+l-tan tan -+2 --tan ∴原等式成立 类型三.利用辅助角公式研究函数性质 例3.已知函数f(x)=V3sin2 6 +251(12/(x∈R) (1)求函数f(x)的最小正周期 (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合 解.(1)∵f(x)=√3sin(2x一)+2 n(1+1-c-) 4264-副]24-司+1 3 f(x)的最小正周期为7=-=m
.. .. “1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 跟踪训练 2.证明： sin α＋1 1＋sin α＋cos α ＝ 1 2 tan α 2 ＋ 1 2 . 证明.∵左边＝ 2tan α 2 1＋tan2α 2 ＋1 1＋ 2tan α 2 1＋tan2 α 2 ＋ 1－tan2α 2 1＋tan2α 2 ＝ tan2α 2 ＋2tan α 2 ＋1 1＋tan2α 2 ＋2tan α 2 ＋1－tan2α 2 ＝ tan α 2 ＋1 2 2tan α 2 ＋2 ＝ 1 2 tan α 2 ＋1 ＝ 1 2 tan α 2 ＋ 1 2 ＝右边， ∴原等式成立. 类型三.利用辅助角公式研究函数性质 例 3.已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－ π 6 ＋2sin2 x－ π 12 (x∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. 解.(1)∵f(x)＝ 3sin(2x－ π 6 )＋2sin2 x－ π 12 ＝ 3sin[2 x－ π 12 ]＋1－cos 2 x－ π 12 ＝2 3 2 sin 2 x－ π 12 － 1 2 cos 2 x－ π 12 ＋1 ＝2sin 2 x－ π 12 － π 6 ＋1 ＝2sin 2x－ π 3 ＋1， ∴f(x)的最小正周期为 T＝ 2π 2 ＝π
(2)当f(x)取得最大值时,sin2x-31, 32kπ+,即x=kx+ (k∈Z) 所求x的集合为{x|x=k+ 5丌 Z 反思与感悟.(1)为了研究函数的性质,往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型) 函数,这是解决问题的前提 (2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异,减少角的 种类和函数式的项数,为讨论函数性质提供保障 跟踪训练3已知函数(=+),(-=2-1 (1)求函数f(x)的最小正周期 (2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值时x的集合 4.(1)(x)=icos r-y3sin x]- ( icos x+ v3s -cos X"SIn X 1+cos 2x 3(1-cos 2x) f(x)的最小正周期为7== (2)h(x)=f(x)-g(x)=cos 2x-csin 2x 2(<×、分 当2x+4=2k五(k∈Z)时,(x)有最大值2 此时x的取值集合为x|x=k 类型四.三角函数在实际问题中的应用 例4.如图,ABCD是一块边长为100m的正方形地皮,其中AS是半径为90m的扇形小山 其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点P在ST上 相邻两边QCR正好落在正方形的边BC、CD上,求矩形停车场PQC面积的最大值和最小
.. .. (2)当 f(x)取得最大值时，sin 2x－ π 3 ＝1， 有 2x－ π 3 ＝2kπ＋ π 2 ，即 x＝kπ＋ 5π 12 (k∈Z)， ∴所求 x 的集合为{x|x＝kπ＋ 5π 12 ，k∈Z}. 反思与感悟.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型) 函数，这是解决问题的前提. (2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的 种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. 跟踪训练 3.已知函数 f(x)＝cos π 3 ＋x ·cos π 3 －x ，g(x)＝ 1 2 sin 2x－ 1 4 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值时 x 的集合. 解.(1)f(x)＝ 1 2 cos x－ 3 2 sin x · 1 2 cos x＋ 3 2 sin x ＝ 1 4 cos 2 x－ 3 4 sin2 x ＝ 1＋cos 2x 8 － 3(1－cos 2x) 8 ＝ 1 2 cos 2x－ 1 4 ， ∴f(x)的最小正周期为 T＝ 2π 2 ＝π. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝ 1 2 cos 2x－ 1 2 sin 2x ＝ 2 2 cos 2x＋ π 4 ， 当 2x＋ π 4 ＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值 2 2 . 此时 x 的取值集合为 x|x＝kπ－ π 8 ，k∈Z . 类型四.三角函数在实际问题中的应用 例 4.如图，ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮，其中 AST 是半径为 90 m 的扇形小山， 其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P 在 ST 上， 相邻两边 CQ、CR 正好落在正方形的边 BC、CD 上，求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小 值
解.如图连接AP,设∠PAB=0(0°≤0≤90°),延长RP交AB于M 则AM=90cos0,M=90sin0 所以PQ=MB=100-90cos PR-MR- MP=100-90sin B 所以S矩形=PQ·PR (100-90cos0)(100-90sinO) =10000-9000(sinO+cos0) +8 100sin cos 0 令t=sinO+cos0(1≤t≤V2), 则 sin ecos b= 所以S矩形=10000-9000t+8100· 8100-10 )2+950. 故当t=。时,Sm形w有最小值950m:当t=V时,Sm形w有最大值(1400900V2)m 反思与感悟.此类问题关键在于构建函数模型,首先要选准角,有利于表示所需线段,其次 要确定角的范围. 跟踪训练4.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方 形桌面,若扇形的半径长为1m,求割出的长方形桌面的最大面积(如图) 解.连接OC,设∠COB=0
.. .. 解.如图连接 AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长 RP 交 AB 于 M， 则 AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以 PQ＝MB＝100－90cos θ， PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR＝PQ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ) ＋8 100sin θcos θ. 令 t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)， 则 sin θcos θ＝ t 2－1 2 . 所以 S 矩形 PQCR＝10 000－9 000t＋8 100· t 2－1 2 ＝ 8 100 2 (t－ 10 9 ) 2＋950. 故当t＝ 10 9 时，S 矩形PQCR有最小值950 m2；当t＝ 2时，S 矩形PQCR有最大值(14 050－9 000 2) m2 . 反思与感悟.此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次 要确定角的范围. 跟踪训练 4.某工人要从一块圆心角为 45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方 形桌面，若扇形的半径长为 1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图). 解.连接 OC，设∠COB＝θ
则0°0,cos 2.已知tan=3,则cosb等于(..) 答案.B cos --sin 解析.cosθ cos -+sin
.. .. 则 0°0，cos α 2 ＝ 1＋cos α 2 ＝ 6 3 . 2.已知 tan θ 2 ＝3，则 cos θ 等于(..) A. 4 5 B.－ 4 5 C. 4 15 D.－ 3 5 答案.B 解析.cos θ＝ cos 2θ 2 －sin2θ 2 cos 2θ 2 ＋sin2θ 2
1+tan 201+35 3函数(x)=sinx+ sin xcos x在区间,万上的最大值是() B.2 D.3 答案.C 解析.f(x) 1-cos 2x 6+2 42 ∴f(x)m=1+==,故选C. 4.函数f(x)=sinx-cosx, 0,。的最小值为 答案.-1 解析.f(x)= 么(x)2 ∴(x)nm=2in(-x)=-1 (+sin a+cos a)l sin 5.化简 (180°<a<360°) +2cos a 2o2+2 sin 2 cos2人sinz-2 解.原式 2cos COS +sin Cos
.. .. ＝ 1－tan2θ 2 1＋tan2θ 2 ＝ 1－3 2 1＋3 2＝－ 4 5 . 3.函数 f(x)＝sin2 x＋ 3sin xcos x 在区间 π 4 ， π 2 上的最大值是(..) A.1 B.2 C. 3 2 D.3 答案.C 解析.f(x)＝ 1－cos 2x 2 ＋ 3 2 sin 2x＝sin 2x－ π 6 ＋ 1 2 ， ∵x∈ π 4 ， π 2 ， ∴2x－ π 6 ∈ π 3 ， 5π 6 ， ∵sin 2x－ π 6 ∈ 1 2 ，1 ， ∴f(x)max＝1＋ 1 2 ＝ 3 2 ，故选 C. 4.函数 f(x)＝sin x－cos x，x∈ 0， π 2 的最小值为 . 答案.－1 解析.f(x)＝ 2sin x－ π 4 ，x∈ 0， π 2 . ∵－ π 4 ≤x－ π 4 ≤ π 4 ， ∴f(x)min＝ 2sin － π 4 ＝－1. 5.化简： (1＋sin α＋cos α) sin α 2 －cos α 2 2＋2cos α .(180°<α<360°) 解.原式＝ 2cos2α 2 ＋2sin α 2 cos α 2 sin α 2 －cos α 2 4cos2α 2 ＝ 2cos α 2 cos α 2 ＋sin α 2 sin α 2 －cos α 2 2 cos α 2
cos sin coS cos -cos a 因为180°<a<360°,所以90°<<180° 所以cos<0,所以原式=cosa 规律与方法 1.学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借助 前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式 2.辅助角公式 asin x+bosx=√a+bsin(x+),其中φ满足:①φ与点(a,b)同象 b 3.研究形如f(x)= asin X+bosx的函数性质,都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦 函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式,也是 高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a,b应熟练掌握, 例如sinx±cosx=y2sin(x土 sinx士3cosx=2sinx士 课时作业 、选择题 1+tan 1.若cosa=-5,a是第三象限角,则 等于(.) 答案.A 解析.∴a是第三象限角,cosa≈~
.. .. ＝ cos α 2 sin2α 2 －cos 2α 2 cos α 2 ＝ －cos α 2 cos α cos α 2 . 因为 180°<α<360°，所以 90°< α 2 <180°， 所以 cos α 2 <0，所以原式＝cos α. 1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助 前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式. 2.辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a 2＋b 2 sin(x＋φ)，其中 φ 满足： ①φ 与点(a，b)同象 限；②tan φ＝ b a (或 sin φ＝ b a 2＋b 2，cos φ＝ a a 2＋b 2 ). 3.研究形如 f(x)＝asin x＋bcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦 函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是 高考常考的考点之一.对一些特殊的系数 a，b 应熟练掌握， 例如 sin x±cos x＝ 2sin x± π 4 ； sin x± 3cos x＝2sin x± π 3 等. 课时作业 一、选择题 1.若 cos α＝－ 4 5 ，α 是第三象限角，则 1＋tan α 2 1－tan α 2 等于(..) A.－ 1 2 B. 1 2 C.2 D.－2 答案.A 解析.∵α 是第三象限角，cos α＝－ 4 5
a sIn 2 31+ta CoS . Sin a l-tan sIn cos cos -+sin- 2 cOs tsin 2 cos -+sir sIn cos -SIn cos -+sin +sin a cos a 3π cosi a 2.若tana=2tan,则 10等于() A.1B.2C.3D.4 答案.C 3丌 cos a a 解析 sin acos-+cos asin ta sin a cos---cos a sin 3.已知180°<a<360°,则cos。的值等于(.) -cos a cos a 1+ 2 答案.C 4在△ABC中,若 sin asin b=cos2,则△ABC是(.) A.等边三角形 B.等腰三角形
.. .. ∴sin α＝－ 3 5 ，∴ 1＋tan α 2 1－tan α 2 ＝ 1＋ sin α 2 cos α 2 1－ sin α 2 cos α 2 ＝ cos α 2 ＋sin α 2 cos α 2 －sin α 2 ＝ cos α 2 ＋sin α 2 cos α 2 －sin α 2 · cos α 2 ＋sin α 2 cos α 2 ＋sin α 2 ＝ 1＋sin α cos α ＝ 1－ 3 5 － 4 5 ＝－ 1 2 . 2.若 tan α＝2tan π 5 ，则 cos α－ 3π 10 sin α－ π 5 等于(..) A.1 B.2 C.3 D.4 答案.C 解析. cos α－ 3π 10 sin α－ π 5 ＝ sin π 2 ＋α－ 3π 10 sin α－ π 5 ＝ sin α＋ π 5 sin α－ π 5 ＝ sin αcos π 5 ＋cos αsin π 5 sin αcos π 5 －cos αsin π 5 ＝ tan α tan π 5 ＋1 tan α tan π 5 －1 ＝ 2＋1 2－1 ＝3. 3.已知 180°<α<360°，则 cos α 2 的值等于(..) A.－ 1－cos α 2 B. 1－cos α 2 C.－ 1＋cos α 2 D. 1＋cos α 2 答案.C 4.在△ABC 中，若 sin Asin B＝cos 2C 2 ，则△ABC 是(..) A.等边三角形 B.等腰三角形