312两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
④复习 cosa-B) =cosa cosB+ sinsing cos(a+B)=? cosa cosB -sina sing sin(a+B)=? sin(a-B)=?
cos cos – sin sin cos ( – ） =cos cos + sinsin sin( ) ? + = sin( ) ? − = cos( ) ? + = 复习
公式的推导 sin la+ sin(a-B)=? COS z-(a+m)用-B代B COS a -B 元 COS -2π2 a cos B+Sin a sin B sin a cos B-cosa sin B
cos ( ) 2 = − + = − − cos 2 sin 2 cos sin 2 cos + − = − = sin cos + cos sin sin ( + ) 二、公式的推导 sin( ) ? − = 用− 代 -
两角和与差的正弦公式 sina+ B)=sin a cos B+cos a B 简记:S sin(a-B)=?用-B代B sin(a-B)=sin(a-B)I=sina cos(B)+cos a sin(-B sin(a-B)=sin a cos B cos aSin 简记:3(a-B
用− 代 sin ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) ( − = − − = − + − sin ) sin cos cos sin ( − = − sin( + ) = + sin cos cos sin sin( ) ? − = 两角和与差的正弦公式 简记： ( ) S + 简记： ( ) S −
两角和的正切公式: tan(a+h sin(a+B) cos (a+B) sin a cos b +cos a sin B coS a cos B-sin a sin B 当 cos a cos B≠O时,分子分母同时除以 corcos B tan(a+β) tan a+tan B 1-tan a tan B a+B)
两角和的正切公式： = sinαcosβ+ cosαsinβ cosαcosβ- sinαsinβ sin(α+β) cos(α+β) 当cos cos 0 时，分子分母同时除以cos cos tanα+ tanβ tan(α+β) = 1- tanαtanβ tan( ) + = 记： ( ) + T
tan(a+B)= tan a+ tan B 1-tan a tan B 上式中以β代β得 tana+(B) tan a+ tan(B) tan a-tan B I-tan a tan(B) 1+tan a tan B tan( a-B tan a-tan B 1+ tan a tan B (a-B)
上式中以−代得 tanα+ tanβ tan(α+β) = 1- tanαtanβ tan tan( ) tan[ ( )] 1 tan tan( ) + − + − = − − tanα- tanβ = 1+ tanαtanβ tanα- tanβ ∴tan(α-β) = 1+ tanαtanβ 记 ( ) - T
两角和与差的正切公式 tan(a+β)= tana+tanβ 1- tan a tanβ tan(a-β)= tana-tanβ 1+ tan a tanβ 注意:1°必须在定义域范围内使用上述公式 即:tana,tanβ,tan(a±β)只要有一个不存 在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱 导公式来解。如:已知tano=2,求tan(4-a)不 能用T (a-B) 2注意公式的结构,尤其是符号
tanα tanβ tan(α β) = 1 tan + + - αtanβ tanα tanβ tan(α β) = 1 tan - - + αtanβ 注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。 2注意公式的结构，尤其是符号。 即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存 在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱 导公式来解。如:已知tan =2,求 不 能用 tan( ) 2 − T( ) − 两角和与差的正切公式
公式应用 例:不查表求sin105、sin15、tan15 解:(1)sin105=sin(60°+45 sin60°cos45°+cos60°sin45° 2222 √6+ √6-√2 (2)sin15° 4
例1：不查表求sin105、sin15、tan15 . sin sin sin cos 45 cos 60 sin 45 3 2 1 2 2 2 2 2 6 2 4 = + + = + + = （1） 105 （60 45） = 60 解： 6 2 sin 4 − （2） 15 = 三 、公式应用
解:tanl5°=tan(45°-30°= tan45°-tan30 1+tan45°tan30° √3 12-6√3 2-3 √3 3+√3 6 1+
解： tan15= tan(45−30)= 3 1 3 3 3 12 6 3 2 3 3 3 3 6 1 3 − − − = = = = − + + = o o o o tan45 - tan30 1+ tan45 tan30
公式应用 例:已知sma2=-3a是第四象限的角,求sm(-a 无法显示该图片 cos(+a), tan(a )的值 解:由sina=-°,a是第四象限的角,得 cosa=√1-sin2a=/1-( 所以tana SIn a 4 于是有 sIn OA=si—cos=cos—sihD 4 4 /
3 sin , sin( ), 5 4 cos( ), tan 4 2 ( ) 4 a = − − + − 例 ：已知 是第四象限的角，求 的值。 , 3 解：由sin =- 是第四象限的角，得 5 2 2 3 5 4 cos 1 sin 1 ( ) , 5 = − = − − = sin 3 tan cos 4 所以 = = − ) sin cos cos sin 4 4 4 − = − 于是有 sin( 2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10 = − − = 三 、公式应用