1.6三角画数楳到的筒单应用 角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决实际 问题和物理问题中有着广泛的应用
1.6三角函数模型的简单应用 三角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决实际 问题和物理问题中有着广泛的应用
例1(1)作出函数y=|cosx的图象,判断 其奇偶性、周期性并写出单调区间. (2)作出函数y=sinx的图象并判断其周 期性. y y=sinar 32m/-m0 2at 3TT x
例 1 (1)作出函数 y＝|cos x|的图象，判断 其奇偶性、周期性并写出单调区间． (2)作出函数 y＝sin|x|的图象并判断其周 期性．
练习求下列函数的周期: (1)y=si;(2m/l, y 2613 By=tan 2x. (1)=2:(73x T =4;(3)/ 2 ①y=sinx的周期是π;②=|cosx的周期是π;③y=tanx 的周期是;④D=sm(x+94≠0的周期是;= 2丌 Asin(ox+q)+k(ok≠0)的周期是
练习 求下列函数的周期： (1)y＝|sin 2x|； (2)y＝ sin 1 2 x＋ π 6 ＋ 1 3 ； (3)y＝|tan 2x|. (1)T＝ π 2；(2)T＝ 2π 1 2 ＝4π；(3)T＝ π 2 . ①y＝|sin x|的周期是 π；②y＝|cos x|的周期是 π；③y＝|tan x| 的周期是 π；④y＝|Asin(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是 π |ω| ；⑤y＝ |Asin(ωx＋φ)＋k|(Aωk≠0)的周期是2π |ω|
例2.如图,某地一天从61时的温度变化曲线近似满足 函数y=Asin(omx+)+b.yTc (1)求这一天的最大温度差; (2)写出这段曲线的函数解析式 解:(1)由图可知,这段时间 的最大温度差是20°C (2)从图中可看出,从61时的 6 图象是函数的半个周期的图象, 1014X t/ h 故y=Ain(x+q)+b 30-10 30+10 12丌 A =10.b= 20 =14-6..O= 2 3元 将x=6,y=10代入上式解得4=43+20,x∈[614 综上,所求解析式达10sin(。x+)
例2. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足 函数 (1)求这一天的最大温度差; (2)写出这段曲线的函数解析式. y = Asin(x +) +b. 30 20 10 y x T/°C t/ h 6 10 14 解:(1)由图可知,这段时间 的最大温度差是20°C; (2)从图中可看出,从6~14时的 图象是函数的半个周期的图象, 故 将x=6,y=10代入上式,解得 综上,所求解析式为 y = Asin(x +) + b 20, 2 30 10 10, 2 30 10 = + = = − A = b . 8 14 6, 2 2 1 = − = 4 3 = 3 10sin( ) 20, . 8 4 y x x [6,14] = + +
总结: y=Asin(ox+p)+b(A>0,a>o A=f(xmx-f(min] 2 b=lf(mx+f(xmin] 利用T 2丌 ,求得 选择的点要认清其属“五点法”中的哪 位置点,并能正确代人列式,求得
总结: ( ) ( ) max min 2 1 A = f x − f x y A x b A = + + sin( ) 0, 0 ( ) ( ) ( ) max min 2 1 b = f x + f x 利用 ，求得 2 T = 选择的点要认清其属“五点法”中的哪 一位置点，并能正确代人列式，求得
变式下图表示电流Ⅰ与时间t的函数关系式: =An(o+)e在同一周期内的图象 (1)据图象写出Ⅰ=Asin(ot+)的解析式; (2)为使/=Asi(o+g)中t在任意一段100的时间内电流能 同时取得最大值和最小值,那么正整数o的最小值是多少? 丌 ()=30sn100+3)300 (2)(nm=629 1 0 300 150 -300
变式 下图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式： I＝Asin(ωt＋φ) |φ|<π 2 在同一周期内的图象． (1)据图象写出 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)为使 I＝Asin(ωt＋φ)中 t 在任意一段 1 100的时间内电流 I 能 同时取得最大值和最小值，那么正整数 ω 的最小值是多少？ (1 300sin 100 ) 3 I t = + ( ) min 2 629 =
例3某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小 时)的函数,下面是水深数据: 小时)03691215182124 y(米)10013.09.97.010.013010.17.0100 据上述数据描成的曲线如图所 (米) 示,经拟合,该曲线可近似的 13↑个 看成正弦函数模型y= Asin ot1o B的图象 (1)试根据数据表和曲线,求出 3915以(小时) y= Asin ot-+B的解析式 元 y=3sin+10(0≤t≤24)
例 3 某港口水深 y(米)是时间 t (0≤t≤24，单位：小 时)的函数，下面是水深数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 据上述数据描成的曲线如图所 示，经拟合，该曲线可近似的 看成正弦函数模型 y＝Asin ωt ＋B 的图象． (1)试根据数据表和曲线，求出 y＝Asin ωt＋B 的解析式； 3sin 10 0 24 ( ) 6 y t t = +
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于 45米是安全的,如果某船的吃水度船底与水面的距 离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若 该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能 超过多长时间?(忽略离港所用的时间) (2)由题意,水深y≥4.5+7, 即 =3sinx1+10≥11.5,t∈[0,24], ∴sint≥),g(∈2kx+6,2x+6,k=0,1, ∴∈[1,5]或t∈[13,17], 所以,该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距 离)为 7 米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若 该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能 超过多长时间？(忽略离港所用的时间) (2)由题意，水深 y≥4.5＋7， 即 y＝3sinπ 6 t＋10≥11.5，t∈[0,24]， ∴sinπ 6 t≥ 1 2 ， π 6 t∈ 2kπ＋ π 6 ，2kπ＋ 5π 6 ，k＝0,1， ∴t∈[1,5]或 t∈[13,17]， 所以，该船在 1∶00 至 5∶00 或 13∶00 至 17∶00 能安全进港．
变式:如图所示,一个摩天轮半径 为10m,轮子的底部在地面上2m 处,如果此摩天轮按逆时针转动, 每30s转一圈,且当摩天轮上某人 经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时 (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于 地面的高度不小于17m
变式：如图所示，一个摩天轮半径 为 10 m，轮子的底部在地面上 2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动， 每 30 s 转一圈，且当摩天轮上某人 经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时． (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于 地面的高度不小于 17 m
解(1)在ts时,摩天轮上某人在高hm处.这时 此人所转过的角为301=15t,故在s时,此人相对 于地面的高度为h=10sin16t+12(t≥0 ()由10 sin 1st+1217,得sin15t≥2 25 ≤t≤ 故此人有10s相对于地面的高度不小于17m
解 (1)设在 t s 时，摩天轮上某人在高 h m 处．这时 此人所转过的角为2π 30 t＝ π 15 t，故在 t s 时，此人相对 于地面的高度为 h＝10sin π 15 t＋12(t≥0)． (2)由 10sin π 15t＋12≥17，得 sin π 15t≥ 1 2 ， 则 5 2 ≤t≤ 25 2 . 故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m