三角函数模型的简单应用 【知识梳理】 1.三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某 点处的函数值,进而使实际问题得到解决 步骤可记为:审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问 这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数 然后写出具体的三角函数解析式 2.三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行数据拟合, 从而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题 【常考题型】 题型一、函数解析式与图像对应问题 【例1】函数y=x+sn,x∈[-T,m的大致图像是() [解析]由奇偶性的定义可知函数y=x+ sinr,x∈[-π,r既不是奇函数也不是偶函数选 项A,D中图像表示的函数为奇函数,B中图像表示的函数为偶函数,C中图像表示的函数既 不是奇函数也不是偶函数 [答案]C 【类题通法】 解决函数图像与解析式对应问题的策略 (1)解决此类问题的一般方法是根据图像所反映出的函数性质来解决,如函数的奇偶性、周
三角函数模型的简单应用 【知识梳理】 1．三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某 点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问 题． 这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数， 然后写出具体的三角函数解析式． 2．三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合， 从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 【常考题型】 题型一、函数解析式与图像对应问题 【例 1】 函数 y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图像是( ) [解析] 由奇偶性的定义可知函数 y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选 项 A，D 中图像表示的函数为奇函数，B 中图像表示的函数为偶函数，C 中图像表示的函数既 不是奇函数也不是偶函数． [答案] C 【类题通法】 解决函数图像与解析式对应问题的策略 (1)解决此类问题的一般方法是根据图像所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周
期性、图像的对称性、单调性、值域,此外零点也可以作为判断的依据 (2)利用图像确定函数y=Asn(ωx+g)的解析式,实质就是确定其中的参数A,o,p其中A 由最值确定;ω由周期确定,而周期由特殊点求得;φ由点在图像上求得,确定φ时,注意它 的不唯一性,一般是求p中最小的p 【对点训练】 函数fx)= cos. tan x在区 5)上的大致图像为() 2 翌 解析:选C八x)= cos x tan x(2<r snx,xπ, sin x r 题型二、三角函数在物理中的应用 【例2】单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间单位:s) 的函数关系式为s=6sn(2x+2) (1)作出函数的图像 (2)当单摆开始摆动(=0)时,离开平衡位置的距离是多少? (3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少? (4)单摆来回摆动一次需多长时间? [解](1)利用“五点法”可作出其图像 s(cm) (2)因为当t=0时 所以此时离开平衡位置3cm (3)离开平衡位置6cm (4因为7=2=1
期性、图像的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据． (2)利用图像确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数 A，ω，φ.其中 A 由最值确定；ω 由周期确定，而周期由特殊点求得；φ 由点在图像上求得，确定 φ 时，注意它 的不唯一性，一般是求|φ|中最小的 φ. 【对点训练】 函数 f(x)＝cos x·|tan x|在区间 π 2 ， 3π 2 上的大致图像为( ) 解析：选 C f(x)＝cos x·|tan x| π 2 <x< 3π 2 ＝ －sin x， π 2 <x<π， sin x，π≤x< 3π 2 . 题型二、三角函数在物理中的应用 【例 2】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 s(单位：cm)和时间 t(单位：s) 的函数关系式为 s＝6sin 2πt＋ π 6 . (1)作出函数的图像； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ [解] (1)利用“五点法”可作出其图像． (2)因为当 t＝0 时， s＝6sinπ 6 ＝3， 所以此时离开平衡位置 3 cm. (3)离开平衡位置 6 cm. (4)因为 T＝ 2π 2π＝1
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s 【类题通法】 三角函数在物理中的应用 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有 关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法 【对点训练】 交流电的电压段单位V与时间单位9的关系可用E=210m+来表示,求 (1)开始时电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔 (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间 解:(1)当t=0时,E=113(V 即开始时的电压为1103V (2)7=-2x 100π s),即时间间隔为0.02s (3)电压的最大值为2203V 00+6=2,即=ms时第次取得最大值 题型三、三角函数在实际生活中的应用 【例3】心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒 张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数12080mmHg为标准值.设某人的血压满足 函数式p(1)=115+25sn160,其中p(n)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题 (1)求函数p(1)的周期 (2)求此人每分钟心跳的次数 (3)画出函数p()的草图 (4)求出此人的血压在血压计上的读数 解()于=160入周期公式r=i可得=160x=80min),所以函数p的周 期为 (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率
所以单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s. 【类题通法】 三角函数在物理中的应用 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有 关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法． 【对点训练】 交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E＝220 3sin 100πt＋ π 6 来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解：(1)当 t＝0 时，E＝110 3(V)， 即开始时的电压为 110 3 V. (2)T＝ 2π 100π＝ 1 50(s)，即时间间隔为 0.02 s. (3)电压的最大值为 220 3 V， 当 100πt＋ π 6 ＝ π 2 ，即 t＝ 1 300 s 时第一次取得最大值. 题型三、三角函数在实际生活中的应用 【例 3】 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒 张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足 函数式 p(t)＝115＋25sin 160πt，其中 p(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数 p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数 p(t)的草图； (4)求出此人的血压在血压计上的读数． [解] (1)由于 ω＝160π，代入周期公式 T＝ 2π |ω| ，可得 T＝ 2π 160π＝ 1 80(min)，所以函数 p(t)的周 期为 1 80 min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率
f==80次) (3)列表 15140115 描点、连线并向左右扩展得到函数p(1)的简图妇图所示 而而易南 (4)由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg 【类题通法】 解三角函数应用问题的基本步骤 读懂题目中的“文字”、“图像”、“符号” 审清题意→等语言,理解所反映的实际问题的背 景,提炼出相应的数学问题 整理数据,引入变量,找出变化规律 建立函运用已掌握的三角函数知识、物理知 模型识及其他相关知识建立关系式,即建 立三角函数模型 解答函利用所学的三角函数知识解答得到的 数模型 角函数模型,求得结果 得出结论→将所得结论邂译成实际问题的答案,」 【对点训练】 如图所示,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要12分钟 包 其中心O距离地面405米,半径为40米,如果你从最低处登上摩天轮,团 那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始 计时,请回答下列问题: (1)求出你与地面的距离y(米)与时间(分钟)的函数关系式 (2)当你第4次距离地面60.5米时,用了多长时间? 解:()可以用余弦函数来表示该函数的关系式,由已知可设y=40.5-40c0so,1≥0,由 周期为12分钟可知当1=6时摩天轮第1次到达最高点即此函数第1次取得最大值所以60
f＝ 1 T ＝80(次)． (3)列表： t 0 1 320 1 160 3 320 1 80 p(t) 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数 p(t)的简图如图所示： (4)由图可知此人的收缩压为 140 mmHg，舒张压为 90 mmHg. 【类题通法】 解三角函数应用问题的基本步骤 【对点训练】 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要 12 分钟， 其中心 O 距离地面 40.5 米，半径为 40 米，如果你从最低处登上摩天轮， 那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始 计时，请回答下列问题： (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式； (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时，用了多长时间？ 解：(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设 y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由 周期为 12 分钟可知当 t＝6 时，摩天轮第 1 次到达最高点，即此函数第 1 次取得最大值，所以 6ω
兀,即0=6,所以y=405-402(≥0 (2)设转第1圈时,第分钟时距地面60.5米, 由605=45402得= 所以=3或 解得1=4或8 所以t=8(分钟)时第2次距地面605米故第4次距离地面605米时用了12+8=20分 钟) 【练习反馈】 1如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 △ 周期后,乙的位置将移至() A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定 解析:选C相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点 2.如图所示为一简谐运动的图像,则下列判断正确的是 A.该质点的振动周期为07s B.该质点的振幅为-5cm C.该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大 D.该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零 解析:选D该质点的振动周期为T=2×(0.7-0.3)=0.8s,故A是错误的;该质点的振 幅为5cm,故B是错误的;该质点在0.1s和0.5s时的振动速度是零,所以C是错误的,D正 3.某人的血压满足函数关系式f)=24sin160+110,其中,f0为血压,t为时间,则此 人每分钟心跳的次数是 解析:∵7=271 160n=80,J=7=80 答案:80
＝π，即 ω＝ π 6 ，所以 y＝40.5－40cosπ 6 t(t≥0)． (2)设转第 1 圈时，第 t0 分钟时距地面 60.5 米， 由 60.5＝40.5－40cosπ 6 t0，得 cos π 6 t0＝－ 1 2 ， 所以π 6 t0＝ 2π 3 或 π 6 t0＝ 4π 3 ， 解得 t0＝4 或 8， 所以 t＝8(分钟)时，第 2 次距地面 60.5 米，故第 4 次距离地面 60.5 米时，用了 12＋8＝20(分 钟)． 【练习反馈】 1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过1 2 周期后，乙的位置将移至( ) A．x 轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定 解析：选 C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点． 2．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是 ( ) A．该质点的振动周期为 0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时的振动速度最大 D．该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的加速度为零 解析：选 D 该质点的振动周期为 T＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故 A 是错误的；该质点的振 幅为 5 cm，故 B 是错误的；该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时的振动速度是零，所以 C 是错误的，D 正 确. 3．某人的血压满足函数关系式 f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t 为时间，则此 人每分钟心跳的次数是________． 解析：∵T＝ 2π 160π＝ 1 80，∴f＝ 1 T ＝80. 答案：80
4如图,电流强度Ⅳ(单位:安)随时间(单位:秒)变化的函数 Q+y,0的图像,则当/=秒时,电流强度是ol 女 解析:由图像可知,A=10,周期7=2×(4-·1)=,所 2=100x,所以=10in(100+6) 当(请秒时,1=102x+)=安 答案:5 5如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量 在此两值之间依正弦型曲线变化 ()求出种群数量y关于时间的函数表达式:(其中以年初以来的月123a6 为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量 解:(1)设种群数量y关于r的解析式为 y=Asin(@t+o)+b(A>0, @>0), A+b=700, 解得A=100,b=800 又周期r=2×(6-0)=12,0= y=100sn(1+)+80 又当t=6时,y=900, 900=100sin×6+g+800 sin(π+q)=1,∴sinp=-1,取 +80 (2当1=2时,y=100n(4×2-5)+800=750
4.如图，电流强度 I(单位：安)随时间 t(单位：秒)变化的函数 I ＝ Asin ωt＋ π 6 (A>0，ω≠0)的图像，则当 t＝ 1 50秒时，电流强度是 ________安． 解析：由图像可知，A＝10，周期 T＝2× 4 300－ 1 300 ＝ 1 50，所 以 ω ＝ 2π T ＝100π，所以 I＝10sin 100πt＋ π 6 . 当 t＝ 1 50秒时，I＝10sin 2π＋ π 6 ＝5(安)． 答案：5 5.如图，某动物种群数量 1 月 1 日低至 700,7 月 1 日高至 900，其总量 在此两值之间依正弦型曲线变化． (1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式；(其中 t 以年初以来的月 为计量单位) (2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量． 解：(1)设种群数量 y 关于 t 的解析式为 y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)， 则 －A＋b＝700， A＋b＝900， 解得 A＝100，b＝800. 又周期 T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝ 2π T ＝ π 6 ， ∴y＝100sin π 6 t＋φ ＋800. 又当 t＝6 时，y＝900， ∴900＝100sin π 6 ×6＋φ ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取 φ＝－ π 2 ， ∴y＝100sin π 6 t－ π 2 ＋800. (2)当 t＝2 时，y＝100sin π 6 ×2－ π 2 ＋800＝750
即当年3月1日种群数量约是750
即当年 3 月 1 日种群数量约是 750