高考数学 83.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
§3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 高考数学
知识清单 1函数y=Asin(ox+)和y=4cos(ox+g)的最小正周期都是① 2函数 y=Atan(ox+)的最小正周期是② 3y=Asi(ox+a)的有关概念 y=A4sn(ox+)(4振幅周期 频率 相位初相 >0,>0),x∈[0, +∞)表示一个振 动量时 T
1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是① . 2.函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期是② . 3.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 2 | | ω | | ω 知识清单
4用五点法画y=Asin(ox+)个周期内的简图 用五点法画yAsi(ox+o)个周期内的简图时,要找五个关键点如下表 所示 T 2丌-q 20( T 3丌 (ox+ 2丌 =Asin(ax+p )0A 0 5确定y=Asin(ox+)+k(4>0.,0>0,-)中的参数的方法 在由图象求解析式时,若最大值为M最小值为m,则A M-m M+m 2 2 由周期确定,即由ω=求出,φ由特殊点的坐标确定
4.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表 所示: 5.确定y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π)中的参数的方法: 在由图象求解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A= ,k= ,ω 由周期T确定,即由ω= 求出,φ由特殊点的坐标确定. 2 M m− 2 M m+ 2 T
方法技巧 方法1根据图象确定函数解析式 求函数y=Asin(ox+g)+B(A>0.,0>0,l-π)的解析式的步骤: (1)求A、B,确定函数的最大值M和最小值m,则4 2,B-+m M-m M 2 2丌 (2)求O确定函数的周期7则a (3)求,常用代入法 例1已知函数(x)=si(ax+)(A>0.o>0,l7x∈R)的部分图象如 图所示
根据图象确定函数解析式 求函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|0,ω>0,|φ|< ,x∈R 的部分图象如 图所示. 2 M m− 2 M m+ 2 T 2 方法技巧 方法 1
(1)求x)的解析式; (2)若g(x)=3x-+x)且tana=3,求g(a)的值
(1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)= 3 f +f(x)且tan α=3,求g(α)的值. 4 x −
解析(1)由已知得A=1 ∴7=元 23(6)2 由 sn2× z+=0.0x得0=z .fx)sin 2x+ 丌 (2)∵八x)=sin|2x+ ..g(x)=3sin 2 x-Z+T +sin( 2x √sin|2x 兀\+Sn2x+ 3π3 T +sin 2xcosI +cos 2xsinT sin zx cos coS 2xsin
解析 (1)由已知得A=1, = - = ,∴T=π, ∴ω= =2. 由sin =0,|φ|< ,得φ= . ∴f(x)=sin . (2)∵f(x)=sin , ∴g(x)= sin +sin = sin +sin = +sin 2xcos +cos 2xsin 2 T 3 6 − 2 2 T 2 6 φ − + 2 3 2 3 x + 2 3 x + 3 2 4 3 x − + 2 3 x + 3 2 6 x − 2 3 x + 3 sin 2 cos cos2 sin 6 6 x x − 3 3
22sin 2x tan a-3 4sin acos 4 tan a 12 6 ∴g(a)=2sin2a sina+cosa 1+tan'a 105
=2sin 2 x . ∵tan α=3, ∴ g ( α)=2sin 2 α = = = = . 2 2 4sin cos sin cos α α α + α 2 4 tan 1 tan α + α 12 10 65
方法2三角函数的性质 1求函数y=Asin(ox+g)(或y= AcoS(x+),或y=Atan(ox+g)的单调区间 将ox+看成一个整体,由三角函数的单调性求解 2求函数y=Asin(ox+o)的奇偶性,应先考虑其定义域,若定义域关于原点 对称,则0=机(k∈D)时,函数为奇函数0=x+(k∈Z)时,函数为偶函数 3函数y=Asi(ax+)或y=cos(onx+g)的最小正周期7=,函数y=sn (ox+o)的最小正周期T 例2(2015重庆183分)已知函数(si1- sinx5cosx (1)求x)的最小正周期和最大值; 时计论()2上的单调性
三角函数的性质 1.求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ),或y=Atan(ωx+φ))的单调区间: 将ωx+φ看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 2.求函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性,应先考虑其定义域,若定义域关于原点 对称,则φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;φ=kπ+ (k∈Z)时,函数为偶函数. 3.函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T= ,函数y=|Asin (ωx+φ)|的最小正周期T= . 例2 (2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=sin sin x- cos2 x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; 2 2 | | ω | | ω 2 x − 3 方法 2 (2)讨论f(x)在 上的单调性. 2 , 6 3
解析(1)(x)sin|-x|snx√3cosx = cos xsIn x-×(1+cos2x) sin zx cOS 2x-=sin 2x-3)2 2 因此(x)的最小正周期为x最大值为2y3 2 (2)x2时0≤2≤从而当0≤2x≤x,即≤x时f (x)单调递增, 当≤2x≤兀即?≤x≤2z时f(x)单调递减 12 综上可知()在2,5x上单调递增在5z,2z上单调递减 123
解析 (1)f(x)=sin sin x- cos2 x =cos xsin x- (1+cos 2x) = sin 2x- cos 2x- =sin - , 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为 . (2)当x∈ 时,0≤2x- ≤π,从而当0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f (x)单调递增, 当 ≤2x- ≤π,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在 上单调递增,在 上单调递减. 2 x − 3 3 2 1 2 3 2 3 2 2 3 x − 3 2 2 3 2 − 2 , 6 3 3 3 2 6 5 12 2 3 5 12 2 3 5 , 6 12 5 2 , 12 3