人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(2).doc_大学文库

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 1 / 16 【高中数学】新人教版高中数学三角函数模型的简单应用教案必修四一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过 4 个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用. 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等. 二、教学目标 1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。 3、情态与价值：

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 2 / 16 培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。三、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题. 四、教学设想：三角函数模型的简单应用（一）一、导入新课思路 1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课. 思路 2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1 第三章第二节“函数模型及其应用”, 面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用. 二、推进新课、新知探究、提出问题 ①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的? ②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么? ③上述的数学模型是怎样建立的? ④怎样处理搜集到的数据?

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 3 / 16 活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→ 用函数模型解释实际问题. 这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知. 讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型. ②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. ③解决问题的一般程序是: 1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系； 2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型； 3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答. ④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型. 三、应用示例例 1 如图 1, 某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin(ω x+φ)+b

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 4 / 16 图 1 (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 活动:这道例题是 2002 年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决. 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求 6 是到 14 时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求 ω 是利用半周期(14-6),通过建立方程得解. 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 ℃. (2)从图中可以看出,从6—14 时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象, ∴A=(30-10)=10,b= (30+10)=20. 2 1 2 1 ∵·=14-6, 2 1  2 ∴ω=.将 x=6,y=10 代入上式,解得φ=. 8  • 4 3 综上,所求解析式为 y=10sin(x+)+20,x∈[6,14]. 8  • 4 3 点评:本例中所给出的一段图象实际上只取 6—14 即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 5 / 16 的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉. 例 2 2007 全国高考函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(,) B.(,) C.(π,) D.(,2π) 4  − 4  4  4 3 2 3 2 3 答案:C 例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度, φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年 δ取正值,冬半年δ取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬 40°)的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 活动: 如图 2 本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系. 首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为 φ,正午太阳高度角为 θ,此时太阳直射纬度为 δ,那么这三个量之间的关系是 θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年 δ 取正值,冬半年 δ 取负值. 根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带, 图形如图 3,由画图易知太阳高度角θ、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系: h0=htanθ. 由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 6 / 16 射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡, 应当考虑太阳直射南回归线时的情况. 图 3 解:如图 3,A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于 MC. 根据太阳高度角的定义, 有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以 MC＝=≈2.000h0, C h tan 0 tan 26 34' 0  h 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距. 点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2 来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图 3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究. 变式训练某市的纬度是北纬 23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高 7 层, 每层 3 米,楼与楼之间相距 15 米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图 4

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 7 / 16 解:如图 4,由例 3 知,北楼被南楼遮挡的高度为 h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26, 由于每层楼高为 3 米,根据以上数据, 所以他应选 3 层以上. 四、课堂小结 1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式, 根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？ 2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题. 五、作业 1.图 5 表示的是电流 I 与时间 t 的函数关系图 5 I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象. 2  (1)根据图象写出 I=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t 在任意一段s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数 ω 的最小值为多少? 100 1 解:(1)由图知 A=300,第一个零点为(－,0),第二个零点为(,0), 300 1 150 1 ∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100π t+). 300 1 150 1 3  3  (2)依题意有 T≤,即≤,∴ω≥200π.故 ωmin=629. 100 1  2 100 1 2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 8 / 16 解:如以下两例: ①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等； ②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1 次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫, 这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每 2 个月为一个周期可完整地脱落 1 次,称为蛇蜕. 三角函数模型的简单应用（二）一、导入新课思路 1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③ 体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等. 思路 2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用. 二、推进新课、新知探究、提出问题 ①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 9 / 16 ②请做下题(2007 浙江高考)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω＞0,| φ|＜)的最小正周期是π,且 f(0)=,则( ) 2  3 A.ω=,φ= B.ω=,φ= C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 2 1 6  2 1 3  6  3  活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中. 讨论结果:①略 ②D 三、应用示例例 1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/ 米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到 0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为1.5 米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

凡读书.须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，“读书百遍，其义自见” 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳! ”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志, 吾徒相教,不求资也。 10 / 16 活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图 6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h 的函数来刻画.其中x 是时间,y 是水深,我们可以根据数据确定相应的 A,ω,φ,h 的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深. 图 6 根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯. 在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候. 进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不

人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(2)

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