1.6三角函数模型的简单应用 难易度及题号 考查知识点及角度 基础中档 稍难 函数的图象、解析式问题4、56、7 函数模型的应用 1、3|8、9 拟合函数问题 10 基磁巩固》 1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm) 和时间x(S)的函数解析式为S=6si2xt+6,那么单摆来回摆动 次所需的时间为() 解析:单摆摆动一次所需时间即该函数的一个周期,即/2x=1(s) 答案:D 2.发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数: L= Isin o t,l=lsin(t+120°),I=lsin(at+240°),则++l的值为( D.不能确定 解析:由题意得到结果与t的取值无关,所以可令t=0,则I+l+l=lsin120° lsin240°=0. 3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十 字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位 是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的?() A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20 解析:由2k一。≤示≤2k+。(k∈2)得4k-≤t≤4k丌+I,k∈Z,当k=1 时,[10,15]s[3π,5π],所以在[10,15]内车流量增加. 答案:C
1.6 三角函数模型的简单应用 考查知识点及角度 难易度及题号 基础 中档 稍难 函数的图象、解析式问题 4、5 6、7 函数模型的应用 1、3 8、9 拟合函数问题 2 10 1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s(cm) 和时间 t(s)的函数解析式为 s＝6sin 2πt＋ π 6 ，那么单摆来回摆动一 次所需的时间为( ) A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s 解析：单摆摆动一次所需时间即该函数的一个周期，即 T＝ 2π 2π＝1(s)． 答案：D 2．发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间 t 的函数： IA＝Isin ωt，IB＝Isin(ωt＋120°)，IC＝Isin(ωt＋240°)，则 IA＋IB＋IC 的值为( ) A．I B. 3I C．0 D．不能确定 解析：由题意得到结果与 t 的取值无关，所以可令 t＝0，则 IA＋IB＋IC＝Isin 120°＋ Isin 240°＝0. 答案：C 3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十 字路口的车流量由函数 F(t)＝50＋4sin t 2 (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t 的单位 是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的？( ) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 解析：由 2kπ－ π 2 ≤ t 2 ≤2kπ＋ π 2 (k∈Z)得 4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z，当 k＝1 时，[10,15]⊆[3π，5π]，所以在[10,15]内车流量增加． 答案：C
4.振动量函数y=VEin(ax+(a>0)的初相和频率分别为一x和,则它的相位 解析:n12 2丌 3.∴相位ωx+φ=3πx 答案:3πx 5.如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置B开始,按逆时针 方向以角速度a(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为 解析:当质点P从R转到点P位置时,点P转过的角度为at,则∠POx=at+φ,由 任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y=rsin(ωt+φ) 答案:y=rsin(at+φ) 6.如图所示,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足函数y=Asin(ot+ 中)+b(0<中<2π) 068101214x (1)求这段时间的最大温差 (2)写出这段曲线的函数解析式 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是30-10=20(℃) (2)∵从6时到14时的图象是函数y=Asin(ax+中)+b的半个周期的图象, ∴-T=14-6. 7=16,≈ ,A==(30-10)=10,b==(30+10)=20 此时y=10sin。x+中+20 将x=6,y=10代入上式,得φ 综上,所求的解析式为 r=0(+3+2.∈(01
4．振动量函数 y＝ 2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的初相和频率分别为－π 和 3 2 ，则它的相位 是________． 解析：T＝ 1 f ＝ 2 3 ，∴ω＝ 2π T ＝3π.∴相位 ωx＋φ＝3πx－π. 答案：3πx－π 5．如图，点 P 是半径为 r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置 P0 开始，按逆时针 方向以角速度 ω(rad/s)做圆周运动，则点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式为 ______________． 解析：当质点 P 从 P0 转到点 P 位置时，点 P 转过的角度为 ωt，则∠POx＝ωt＋φ， 由 任意角的三角函数定义知 P 点的纵坐标 y＝rsin(ωt＋φ)． 答案：y＝rsin(ωt＋φ) 6．如图所示，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似地满足函数 y＝Asin(ωt＋ φ)＋b(0＜φ＜2π)． (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 30－10＝20(℃)． (2)∵从 6 时到 14 时的图象是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴ 1 2 T＝14－6. ∴T＝16，ω＝ π 8 ，A＝ 1 2 (30－10)＝10，b＝ 1 2 (30＋10)＝20. 此时 y＝10sin π 8 x＋φ ＋20. 将 x＝6，y＝10 代入上式，得 φ＝ 3π 4 . 综上，所求的解析式为 y＝10sin π 8 x＋ 3π 4 ＋20，x∈[6,14]．
能力提升》 7.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆 时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧AP的长为1,弦AP的长为d,则d 函数d=f(D的图象大致是() C 解析:令AP所对圆心角为0,由|OA=1, 得1=0,sin==, d= 2sin-=2s 即d=f(1=2sin(0≤1≤2),它的图象为C 答案:C 8.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移, 则这个振子振动的函数解析式是 √2:0.305 解析:由题图可设y=Asin(at+φ),则A=2, 又7=2(0.5-0.1)=0.8, 所以d= 所以y=2sinπt+中 将点(0.1,2)代入y=2s φ中 得sin中 所以φ+=2k 2k∈2 即中=2kx+,k∈Z 令k=0得,中=
7.如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆 时针方向旋转一周，点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l，弦 AP 的长为 d，则 函数 d＝f(l)的图象大致是( ) 解析：令 AP 所对圆心角为 θ，由|OA|＝1， 得 l＝θ，sin θ 2 ＝ d 2 ， ∴d＝2sin θ 2 ＝2sin l 2 . 即 d＝f(l)＝2sin l 2 (0≤l≤2π)，它的图象为 C. 答案：C 8．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移， 则这个振子振动的函数解析式是____________________． 解析：由题图可设 y＝Asin(ωt＋φ)，则 A＝2， 又 T＝2(0.5－0.1)＝0.8， 所以 ω＝ 2π 0.8＝ 5 2 π. 所以 y＝2sin 5 2 πt＋φ . 将点(0.1,2)代入 y＝2sin 5π 2 t＋φ 中， 得 sin φ＋ π 4 ＝1， 所以 φ＋ π 4 ＝2kπ＋ π 2 ，k∈Z. 即 φ＝2kπ＋ π 4 ，k∈Z， 令 k＝0 得，φ＝ π 4
5丌 所以y=251叫2(4 5丌 答案:y=2sin(24+ 9.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ax +0的+40,00.14<2)的模型波动(为月份,已知3月份达到最高价9千元 7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为 解析:由题可知六=7-3=4,∴7=8. 5+9 2 B, 「A=2, a 即f(x)=2 x+φ+7.(*) 又过点(3,9),代入(*)式得sin+中=1 4 由正+中=2kx+(k∈z),且|小|<,:=一 即f(x)=2 X +7(1≤x≤12,x∈N) 4 答案:()=2x-4)+701≤12,x∈N) 探究拓展》 10.当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的 人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表. x(月份) 6 t(气温)17.317.917.3|15.813.71.6 x(月份) 8 9 10 11 t(气温)10.069.510.0611.613.715.8 (1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿的月平均气温作出一个函数模型; (②)当自然气温不低于13.7℃时,惠灵顿市最适宜于旅游,试根据你所确定的函数模型 确定惠灵顿市的最佳旅游时间
所以 y＝2sin 5π 2 t＋ π 4 . 答案：y＝2sin 5π 2 t＋ π 4 9．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B A＞0，ω＞0，|φ|＜ π 2 的模型波动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 9 千元， 7 月 份 价 格 最 低 为 5 千 元 ， 根 据 以 上 条 件 可 确 定 f(x) 的 解 析 式 为 ____________________________． 解析：由题可知T 2 ＝7－3＝4，∴T＝8. ∴ω＝ 2π T ＝ π 4 .又 5＋9 2 ＝B， 9－5 2 ＝A， ∴ A＝2， B＝7. 即 f(x)＝2sin π 4 x＋φ ＋7.(*) 又过点(3,9)，代入(*)式得 sin 3π 4 ＋φ ＝1. 由 3π 4 ＋φ＝2kπ＋ π 2 (k∈Z)，且|φ|＜ π 2 ，∴φ＝－ π 4 . 即 f(x)＝2sin π 4 x－ π 4 ＋7(1≤x≤12，x∈N * )． 答案：f(x)＝2sin π 4 x－ π 4 ＋7(1≤x≤12，x∈N * ) 10．当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的 人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表. x(月份) 1 2 3 4 5 6 t(气温) 17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 x(月份) 7 8 9 10 11 12 t(气温) 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿的月平均气温作出一个函数模型； (2)当自然气温不低于 13.7℃时，惠灵顿市最适宜于旅游，试根据你所确定的函数模型， 确定惠灵顿市的最佳旅游时间．
解:(1)以月份x为横轴,温度t为纵轴作出图象,并以光滑的曲线连接诸散点,得如 图所示的曲线 t+温度(℃) t=13.7 3210 (月份) 由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数,依散点图所绘制的图象,我们 可以考虑用t=Acos(ox+中)+k来描述 由最高气温为17.9℃,最低气温为9.5℃, 则A=179=9.5 17.9+9.5 =4.2;k =13.7 显然二五=12,故=五 又x=2时图象居最高点,依ax+中=0, 得中=一ax=-n 6×2=-x 所以t=4.2cos6-3 +13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式 (2)如图所示,作直线t=13.7与函数图象交于两点,(5,13.7),(11,13.7) 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7℃,是惠灵顿市的最佳旅 游时间 感悟升华 实际生活中具有周期性的现象往往可以借助三角函数模型来描述 三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象 (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合 (3)利用三角函数模型解决实际问题 (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验
解：(1)以月份 x 为横轴，温度 t 为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接诸散点，得如 图所示的曲线． 由于各地月平均气温的变化是以 12 个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，我们 可以考虑用 t＝Acos(ωx＋φ)＋k 来描述． 由最高气温为 17.9℃，最低气温为 9.5℃， 则 A＝ 17.9－9.5 2 ＝4.2；k＝ 17.9＋9.5 2 ＝13.7. 显然2π ω ＝12，故 ω＝ π 6 . 又 x＝2 时图象居最高点，依 ωx＋φ＝0， 得 φ＝－ωx＝－ π 6 ×2＝－ π 3 . 所以 t＝4.2cos πx 6 － π 3 ＋13.7 为惠灵顿市的常年气温模型函数式． (2)如图所示，作直线 t＝13.7 与函数图象交于两点，(5,13.7)，(11,13.7)． 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于 13.7℃，是惠灵顿市的最佳旅 游时间． 实际生活中具有周期性的现象往往可以借助三角函数模型来描述． 三角函数模型构建的步骤： (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．