三角函数模型的简单应用 、教学目标 1、基础知识目标:a通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解 析式的方法;b根据解析式作出图象并研究性质;c体验实际问题抽象为三角函数模型问题 的过程;d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 2、能力训练目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想, 从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力 3、个性情感目标:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和 作用,让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发 学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神, 二、教学重点:精确模型的应用一一即由图象求解析式,由解析式研究图象及性质 三、教学难点:a、分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系 来建立数学模型,并调动相关学科的知识来解决问题 b、由图象求解析式时的确定 四、教学过程及设计意图 教学过程 设计意图 (一)课题引入 情景展示,引入课题(多媒体显示) 同学们看过海宁潮吗?……今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮.在潮起潮落中 也蕴含着数学知识 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关 系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。 通过上面的例子引发学生的兴趣,贴近生活,可以告诉学生生活离不开数学,身边充满了数 学;同时可以让学生知道数学的重要性,不仅仅是课本上的内容,还有生活都可以用到数学 所以学生更应该努力学习,才能更懂得生活 这样的例子还有很多,比如 二.由图象探求三角函数模型的解析式 例1.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式 解:(1)由图可知:这段时间的最大温差是 (2)从图可以看出:从6~14是的 半个周期的图象, 又 将点代入得:,∴, 取,∴
三角函数模型的简单应用 一、教学目标 1、基础知识目标：a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解 析式的方法；b 根据解析式作出图象并研究性质；c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题 的过程；d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想, 从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力． 3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和 作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发 学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质 三、教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系 来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． b、由图象求解析式时的确定。 四、教学过程及设计意图 教 学 过 程 设 计 意 图 （一）课题引入 情景展示，引入课题（多媒体显示） 同学们看过海宁潮吗？……．今天我就带大家去看一看天下奇观——海宁潮．在潮起潮落中 也蕴含着数学知识． 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关 系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。 通过上面的例子引发学生的兴趣，贴近生活，可以告诉学生生活离不开数学，身边充满了数 学；同时可以让学生知道数学的重要性，不仅仅是课本上的内容，还有生活都可以用到数学， 所以学生更应该努力学习，才能更懂得生活。 这样的例子还有很多，比如： 二．由图象探求三角函数模型的解析式 例 1．如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数． （1）求这一天 6～14 时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式． 解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是； （2）从图可以看出：从 6～14 是的 半个周期的图象， ∴∴ ∵，∴ 又∵ ∴ ∴ 将点代入得：，∴， ∴，取，∴
【问题的反思】: ①一般地,所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注 意自变量的变化范围 ②与学生一起探索的各种求法;(这是本题的关键!也是难点!)(用最大小值点代入不容易 出现错误) ③如何根据图像求解析式中的待定参数 ④探究其他解法:或等 ⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。 三.由解析式作出图象并研究性质 例2.画出函数的图象并观察其周期 分析与简解:如何画图? 法1:去绝对值,化为分段函数(体现转化与化归!) 法2:图象变换—一对称变换,可类比的作法 从图中可以看出,函数是以为周期的波浪形曲线 反思与质疑: ①利用图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,是研究数学问题的常用方法 本题也可用代数方法即周期性定义验证 ∴的周期是.(体现数形结合思想!) ②变式思考:的周期是 的周期是 的周期是 四.应用数学知识解决实际问题 例3.如图,设地球表面某地正午太阳高度角为,为此时太阳直射纬度,为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是.当地夏半年取正值,冬半年取负值 如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 分析与简解:(用几何画板展示变化过程) 与学生一起学习并理解教材解法(地理课中已学习过),指出该实际问题用到了三角函数的 有关知识
【问题的反思】： ①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注 意自变量的变化范围； ②与学生一起探索的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）（用最大小值点代入不容易 出现错误） ③如何根据图像求解析式中的待定参数 ④探究其他解法：或 等 ⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。 三．由解析式作出图象并研究性质 例 2．画出函数的图象并观察其周期． 分析与简解：如何画图？ 法 1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）； 法 2：图象变换——对称变换，可类比的作法． 从图中可以看出，函数是以为周期的波浪形曲线． 反思与质疑： ①利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用方法； 本题也可用代数方法即周期性定义验证： ∴的周期是．（体现数形结合思想！） ②变式思考：的周期是 ． 的周期是 ． 的周期是 ． 四．应用数学知识解决实际问题 例 3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值， 那么这三个量之间的关系是．当地夏半年取正值，冬半年取负值． 如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？ 分析与简解：（用几何画板展示变化过程） 与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的 有关知识．
设计意图:通过录象让学生在熟悉的问题情景中进入课题,能充分激发学生的学习热情和兴 设计意图:切入本节课的课题,让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入 新课,创设情境,激发思维,让学生带着问题,有目的地参与下列教学活动 设计意图:提出问题,由学生动脑分析,自主探究。通过代多个点出现问题从而体会点(10, 20)在增区间上点区别于减取间上的平衡点,培养数形结合的数学思考习惯。 通过总结归纳总结这种方法解题的思路方法,培养概括的能力 设计意图:养成学生多角度考虑问题的习惯,培养学生的发散思维。一题多解激发活跃思路 培养学生学习的兴趣。 升华为思想方法 通过画函数的图象来研究性质。由已知函数模型来研究函数,培养学生应用己知函数解决问 题方法
设计意图：通过录象让学生在熟悉的问题情景中进入课题，能充分激发学生的学习热情和兴 趣。 设计意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入 新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动。 设计意图：提出问题，由学生动脑分析，自主探究。通过代多个点出现问题从而体会点（10， 20）在增区间上点区别于减取间上的平衡点，培养数形结合的数学思考习惯。 通过总结归纳总结这种方法解题的思路方法，培养概括的能力。 设计意图：养成学生多角度考虑问题的习惯，培养学生的发散思维。一题多解激发活跃思路， 培养学生学习的兴趣。 升华为思想方法 通过画函数的图象来研究性质。由已知函数模型来研究函数，培养学生应用已知函数解决问 题方法
变式练习,开阔思路,启迪思维,培养能力。 数行结合求周期。 利用三角函数解决生活中的实际问题,培养解决实际问题的能力。 运用信息技术直观展示问题的实质。 设计意图:优化学生的知识结构,使之系统化、条理化,加强知识间内在联系的理解和认识。 知识性、方法性内容的小结,可把课堂所学知识尽快化为学生的素质:数学思想方法的小结, 可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用,并且逐渐培养学生的良好的个 性品质 五、教学设计分析 《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一在教学中不仅要突出知识 的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学 应用意识提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力发展学生 的数学应用意识和创新意识使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学 模式作出思考和判断。通过已知三角函数图象求三角函数解析式,构建三角函数模型解决实 际问题。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方 法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略,使学生认识到数学原来就来自身边的 现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器同时也获得了进行数学探究的切 身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心
变式练习，开阔思路，启迪思维，培养能力。 数行结合求周期。 利用三角函数解决生活中的实际问题，培养解决实际问题的能力。 运用信息技术直观展示问题的实质。 设计意图：优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强知识间内在联系的理解和认识。 知识性、方法性内容的小结，可把课堂所学知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结， 可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个 性品质。 五、教学设计分析 《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识 的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学 应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生 的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学 模式作出思考和判断。通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实 际问题。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方 法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的 现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切 身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心