三角函数模型的简单应用 (第一课时) 教材:人教A版·普通高中课程标准试验教科书·数学必修4 教学目标: 知识目标—学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律,把发现的规律抽 象为恰当的三角模型,并解决相关的实际问题. 能力目标一让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模” 思想从而培养学生的创新精神和实践能力。 情感目标一让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题 中的价值和作用 教学重点、难点: 教学重点一用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题 教学难点—从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型,并调动 相关学科知识来解决问题 教学方法: 教学方法一启发式、讲练相结合式 学习方法一小组自主探究、合作交流式 教学手段—为使教法和学法更完美地融为一体,我借助多媒体辅助教学, 提高课堂效率。 教学过程
1 三角函数模型的简单应用 （第一课时） 教材：人教 A 版·普通高中课程标准试验教科书·数学必修 4 教学目标： 知识目标—学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律，把发现的规律抽 象为恰当的三角模型，并解决相关的实际问题． 能力目标—让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题 的数学“建模” 思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。 情感目标—让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题 中的价值和作用. 教学重点、难点： 教学重点—用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题. 教学难点—从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动 相关学科知识来解决问题. 教学方法: 教学方法—启发式、讲练相结合式 学习方法—小组自主探究、合作交流式 教学手段—为使教法和学法更完美地融为一体，我借助多媒体辅助教学， 提高课堂效率。 教学过程:
教学内容 教师活动学生活动设计意图 (一)课题引入 由生活中大家熟悉的具有周期动画演示潮观看动画演通过动画演示潮汐现 变化的例子引入课题 汐现象。示过程,获象让学生在熟悉的问 1、物理情景—①简谐运动②星体 得感性认题情景中进入课题,能 的环绕运动 充分激发学生的学习 2、地理情景——①气温变化规律 热情和兴趣。 ②月圆与月缺 3、日常生活现象—潮汐现象 (二).由图象探求三角函数 模型的解析式 l,如图,某地一天从6~14时的温提出问题:你 提出问题,由学生动脑 度变化曲线近似满足函数能写出这些观察图像, 分析,自主探究。根据 sn ox+o)+b 具有周期变/出四个待 已知图像提供的信息 定参数 化规律的图 来求所给三角函数解 象的函数解49和b析式,让学生明确学习 析式吗 任务和目标。 问题1这一天6~14时的最大温差 是多少;与A有何联系? 问题2:函数式中A、b的值分别是 多少? 问题3:如何确定函数式中的 O和9? 问题4:这段曲线对应的函数是什 么?
2 教 学 内 容 教师活动 学生活动 设 计 意 图 （一）课题引入 由生活中大家熟悉的具有周期 变化的例子引入课题： 1、物理情景——①简谐运动②星体 的环绕运动 2 、地理情景——①气温变化规律 ②月圆与月缺 3 、日常生活现象— 潮汐现象 （二）．由图象探求三角函数 模型的解析式 1，如图，某地一天从 6～14 时的温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 y = Asin(x +) + b． 问题 1 这一天 6～14 时的最大温差 是多少；与 A 有何联系？ 问题 2：函数式中 A、b 的值分别是 多少？ 问 题 3 ： 如 何 确定 函 数 式 中 的 和 ？ 问题 4：这段曲线对应的函数是什 么？ 动画演 示潮 汐现象。 提出问题：你 能写出 这些 具有周 期变 化规律 的图 象的函 数解 析式吗？ 观看动画演 示过程，获 得感性认 识。 观察图像， 找出四个待 定参数 A, , b 和 通过动画演示潮汐现 象让学生在熟悉的问 题情景中进入课题，能 充分激发学生的学习 热情和兴趣 。 提出问题，由学生动脑 分析，自主探究。根据 已知图像提供的信息 来求所给三角函数解 析式，让学生明确学习 任务和目标。 O T C / 6 8 10 12 14 t / h 102030
【问题的反思】: 通过总结归纳这种解 ①一般地,所求出的函数模型只能|提出问题:如 题的思路方法,培养学 近似刻画这天某个时段的温度变何根据学生总结归生概括总结的能力。 化情况,因此应当特别注意自变y=4s(am+)的如何去求 量的变化范围 图像求解析待定参数 ②与学生一起探索g的各种求法:式中的四个 (这是本题的关键!也是难点!)(用待定参数 最大小值点代入不容易出现错误)Ab0Q? 利用函数的奇偶性和 绝对值的非负性,由已 知函数模型来研究 (三).由解析式作出图象并 数y=inx,培养学生 研究性质 应用已知函数解决问 提出问题,让 学生自己作题的方法。养成学生多 学生动手操 探究图像 图并和同学角度考虑问题的习惯, 作,然后给出 互相讨论交培养学生的发散思维 问题1你能画出函数y=卜mx的图正确图像 和学习的兴趣 象吗? 问题2那么函数y=sinx的图象吗? 例2:根据y=nx的图象观察其 周期。 让学生带着问题回忆 本课内容,既锻炼学生 的语言组织能力,又使 学生对本节课的知识 (四)、总结提炼 结构掌握的更为系统
3 【问题的反思】： ①一般地，所求出的函数模型只能 近似刻画这天某个时段的温度变 化情况，因此应当特别注意自变 量的变化范围； ②与学生一起探索 的各种求法； （这是本题的关键！也是难点！）（用 最大小值点代入不容易出现错误） （三）．由解析式作出图象并 研究性质 探究图像 问题 1.你能画出函数 y = sin x 的图 象吗？ 问题 2.那么函数 y=sinx 的图象吗？ 例 2：根据 y = sin x 的图象观察其 周期。 （四）、总结提炼 提出问题：如 何根据 y = Asin(x +) + b 图像求 解析 式中的 四个 待定参 数 A,b;; ? 提出问题，让 学生动 手操 作，然后给出 正确图像 学生总结归 纳如何去求 待定参数。 学生自己作 图并和同学 互相讨论交 流 通过总结归纳这种解 题的思路方法，培养学 生概括总结的能力。 利用函数的奇偶性和 绝对值的非负性，由已 知函数模型来研究函 数 y = sin x ，培养学生 应用已知函数解决问 题的方法。养成学生多 角度考虑问题的习惯， 培养学生的发散思维 和学习的兴趣。 让学生带着问题回忆 本课内容，既锻炼学生 的语言组织能力，又使 学生对本节课的知识 结构掌握的更为系统
提出问题 和完整。 (1)已知函数y=Asin(ox+)+ 学生思考并 图象,如何求其解析式? 互相交流探 提出问题,让 (2)如何作出三角函数的图 学生总结归 象? (3)将实际问题抽象为三角函 纳,并提问学 学习数学知识就是为 数模型的基本思路是怎样的?生回答 了应用,让学生动手操 作,亲自感受,并对本 (五)体验探究 节课的知识加深理解, 1、你能一刀削出一条正弦曲线吗? 知道知识源于生活,应 提示:把一张纸卷到圆柱形的纸筒 用于生活 面上,卷上几圈,用刀斜着将纸筒 动手操作, 削断,再把卷着的纸展开,你就会给出探究题,并互相交流 看到:纸的边缘线是一条波浪形的要学生拿出 曲线。 事先准备好 你知道吗?这条曲线就是正弦曲的工具动手 线! 操作 2、你能试着针对周围一些呈周期性 为学生提供开放性思 变化的现象编拟一道能用三角函数 考活动,让学生了解生 模型解决它的题吗? 活常识,增加学生的学 习兴趣;同时由此点明 本节课的学习主旨,为 (六)应用数学知识解决实际 第二课时做铺垫 问题: 积极参与 教师提问:假如你想在广东惠州市 提出间题,引互相探讨, 起思考 区(纬度数是北纬230)买一套房子, 得到答案 你选购房子时会考虑哪些因素? 学生活动:学生分小组探讨影响购 房的因素,然后小组派代表说明选
4 提出问题： （五）体验探究： 1、你能一刀削出一条正弦曲线吗？ 提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒 面上，卷上几圈，用刀斜着将纸筒 削断，再把卷着的纸展开，你就会 看到：纸的边缘线是一条波浪形的 曲线。 你知道吗？这条曲线就是正弦曲 线！ 2、你能试着针对周围一些呈周期性 变化的现象编拟一道能用三角函数 模型解决它的题吗？ （六）应用数学知识解决实际 问题： 教师提问：假如你想在广东惠州市 区（纬度数是北纬 230）买一套房子， 你选购房子时会考虑哪些因素？ 学生活动：学生分小组探讨影响购 房的因素，然后小组派代表说明选 提出问题，让 学生总 结归 纳，并提问学 生回答。 给出探究题， 要学生 拿出 事先准 备好 的工具 动手 操作 提出问题，引 起思考 学生思考并 互相交流探 讨 动手操作， 并互相交流 积极参与， 互相探讨， 得到答案 和完整。 学习数学知识就是为 了应用，让学生动手操 作，亲自感受，并对本 节课的知识加深理解， 知道知识源于生活，应 用于生活。 为学生提供开放性思 考活动，让学生了解生 活常识，增加学生的学 习兴趣；同时由此点明 本节课的学习主旨，为 第二课时做铺垫。 (1 sin )已知函数y A x b = + + ( ) 的 图象，如何求其解析式？ (2)如何作出三角函数的图 象？ (3)将实际问题抽象为三角函 数模型的基本思路是怎样的？
择的理由 探究(采光问题):要使你买的房 所在的整栋楼正午的太阳全年不被 分层教学 前面的楼房(高度为ho)遮挡,两 楼的距离不应小于多少? (七)布置作业 必做题:课本P66A组第3、4题 选做题:探讨函数 ∫(x)=sin(x+)的周期 布置作业 教学评价: 1.关注学生在探究学习过程中的表现:包括学生的投入程度和思维水平的发展 2.通过练习检测学生对知识的掌握情况 可能出现问题:不会构造恰当的三角函数模型,根据已知条件不会求解解 析式等 3.根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况,查缺补漏
5 择的理由． 探究 （采光问题 ）：要使你买的房 所在的整栋楼正午的太阳全年不被 前面的楼房（高度为 h0）遮挡，两 楼的距离不应小于多少？ （七）布置作业 必做题：课本 P66 A 组 第 3、4 题 选做题：探讨函数 的周期 布置作业 分层教学 教学评价： 1．关注学生在探究学习过程中的表现：包括学生的投入程度和思维水平的发展. 2．通过练习检测学生对知识的掌握情况 可能出现问题：不会构造恰当的三角函数模型，根据已知条件不会求解解 析式等. 3．根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏. )| 3 ( ) |sin( f x = x +
角函数模型的简单应用(第1课时) 教案说明 、教学内容的分析 《普通高中数学课程标准》明确提出了提髙学生的知识和技能、重视学生 的学习过程和方法,培养学生的情感、态度、价值观的三维目标。为此,结合本 节课的教学内容和本校学生的实际情况,教学过程中注重过程、方法,引导学生 不断提出问题、研究问题,并解决问题。重视互动交流,在教学活动中渗透情感 态度与价值观。 “数学来源于生活,并运用于生活。”三角函数作为描述现实世界中周期现 象的一种数学模型,可以用来研究生活中的很多实际问题,本课通过2个例题和 2个探究题循序渐进地介绍三角函数模型在实际生活中的应用,目的在于加强三 角函数图像与性质的学习,要求学生在例题中体会三角函数模型刻画周期现象的 基础上,掌握三角函数模型实际应用,并在教学过程中渗透数学化归和数形结合 的思想。 二、教学目标的定位 本课的重点是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。 在学习本节课前,大部分学生已经掌握了三角函数的图像与性质,以及初步 了解了数学模型的应用及其构建步骤,已具备了学习本节课的知识基础和思想准 备;但由于陌生的背景、复杂的数据处理等,学生从实际问题中抽象出三角函数 模型时会存在较大的困难。结合以上情况分析,本课的教学目标定位分三个层次 (1)能根据图象建立解析式。遵循由浅入深的认知规律,先让学生通过观 察图像找简单的三角函数图象解析式,并初步总结出求解A、O、Q、b的方法, 在此过程中,学生学会分析问题并创造性地解决问题。 (2)能根据解析式作出图象。利用学生已经学过的奇偶性和对称性,做出 带有绝对值的函数的图像,培养学生的发散思维和学习数学的兴趣。 (3)能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。由于实际问题 6
6 三角函数模型的简单应用（第 1 课时） 教案说明 一、教学内容的分析 《普通高中数学课程标准》明确提出了提高学生的知识和技能、重视学生 的学习过程和方法，培养学生的情感、态度、价值观的三维目标。为此，结合本 节课的教学内容和本校学生的实际情况，教学过程中注重过程、方法，引导学生 不断提出问题、研究问题，并解决问题。重视互动交流，在教学活动中渗透情感 态度与价值观。 “数学来源于生活，并运用于生活。”三角函数作为描述现实世界中周期现 象的一种数学模型，可以用来研究生活中的很多实际问题，本课通过 2 个例题和 2 个探究题循序渐进地介绍三角函数模型在实际生活中的应用，目的在于加强三 角函数图像与性质的学习，要求学生在例题中体会三角函数模型刻画周期现象的 基础上，掌握三角函数模型实际应用，并在教学过程中渗透数学化归和数形结合 的思想。 二、教学目标的定位 本课的重点是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。 在学习本节课前，大部分学生已经掌握了三角函数的图像与性质，以及初步 了解了数学模型的应用及其构建步骤，已具备了学习本节课的知识基础和思想准 备；但由于陌生的背景、复杂的数据处理等，学生从实际问题中抽象出三角函数 模型时会存在较大的困难。结合以上情况分析，本课的教学目标定位分三个层次： （1）能根据图象建立解析式。遵循由浅入深的认知规律，先让学生通过观 察图像找简单的三角函数图象解析式，并初步总结出求解 A、、、b 的方法， 在此过程中，学生学会分析问题并创造性地解决问题。 （2）能根据解析式作出图象。利用学生已经学过的奇偶性和对称性，做出 带有绝对值的函数的图像，培养学生的发散思维和学习数学的兴趣。 （3）能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。由于实际问题
常常涉及到一些学科知识的综合,借助多媒体进行动态演示,以使学生更快更好 地理解问题的本质,培养了学生对生活常识的深刻认识 三、教学方法的特点 本课运用了启发式、训练结合法的课堂教学方式 《新课标》指出:“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出 发,为他们提供观察与操作的机会,使学生体会到数学就在身边,感受到数学的 趣味和作用,对数学产生亲切感 在整个教学过程中,创设生活情景,并结合学生的实际生活思维发展变化不 断追问,使学生对问题本质的思考逐步深入,思维水平不断提高。学生通过自己 的观察、操作等活动,尝试总结,获得数学结论。在引导发现的过程中,我注重 探究问题的深入化、分析问题的渐进化,目的在于加强学生的数学解题能力。 四、教学效果分析 通过本节课的学习,学生学会了根据图象建立解析式、根据解析式建立图象 并根据图象认识性质,能更好的巩固和掌握三角函数的图像和性质。 另外,学生通过对问题的思考,三角函数模型的构建,实际的动手操作和探 究,基本掌握了综合题中抽象数学模型的方法。在教学过程中,我充分发挥教师 的主导作用和学生的主体作用,积极的师生互动和交流,学生也是积极探索,热 情高涨,达到了本节课的预期效果。 角函数模型的简单应用 (第一课时) 教材:人教A版·普通高中课程标准试验教科书·数学必修4 教学目标 知识目标—学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律,把发现的规律抽
7 常常涉及到一些学科知识的综合，借助多媒体进行动态演示，以使学生更快更好 地理解问题的本质，培养了学生对生活常识的深刻认识。 三、教学方法的特点 本课运用了启发式、训练结合法的课堂教学方式。 《新课标》指出：“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出 发，为他们提供观察与操作的机会，使学生体会到数学就在身边，感受到数学的 趣味和作用，对数学产生亲切感。” 在整个教学过程中，创设生活情景，并结合学生的实际生活思维发展变化不 断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。学生通过自己 的观察、操作等活动，尝试总结，获得数学结论。在引导发现的过程中，我注重 探究问题的深入化、分析问题的渐进化，目的在于加强学生的数学解题能力。 四、教学效果分析 通过本节课的学习，学生学会了根据图象建立解析式、根据解析式建立图象， 并根据图象认识性质，能更好的巩固和掌握三角函数的图像和性质。 另外，学生通过对问题的思考，三角函数模型的构建，实际的动手操作和探 究，基本掌握了综合题中抽象数学模型的方法。在教学过程中，我充分发挥教师 的主导作用和学生的主体作用，积极的师生互动和交流，学生也是积极探索，热 情高涨，达到了本节课的预期效果。 三角函数模型的简单应用 （第一课时） 教材：人教 A 版·普通高中课程标准试验教科书·数学必修 4 教学目标： 知识目标—学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律，把发现的规律抽
象为恰当的三角模型,并解决相关的实际问题. 能力目标一让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模” 思想从而培养学生的创新精神和实践能力。 情感目标一让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题 中的价值和作用 教学重点、难点: 教学重点一用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题 教学难点—从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型,并调动 相关学科知识来解决问题 教学方法 教学方法一启发式、讲练相结合式 学习方法一小组自主探究、合作交流式 教学手段—为使教法和学法更完美地融为一体,我借助多媒体辅助教学, 提高课堂效率。 教学过程 教学内容 教师活动学生活动设计意图
8 象为恰当的三角模型，并解决相关的实际问题． 能力目标—让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题 的数学“建模” 思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。 情感目标—让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题 中的价值和作用. 教学重点、难点： 教学重点—用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题. 教学难点—从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动 相关学科知识来解决问题. 教学方法: 教学方法—启发式、讲练相结合式 学习方法—小组自主探究、合作交流式 教学手段—为使教法和学法更完美地融为一体，我借助多媒体辅助教学， 提高课堂效率。 教学过程: 教 学 内 容 教师活动 学生活动 设 计 意 图
(一)课题引入 由生活中大家熟悉的具有周期 动画演示潮观看动画演通过动画演示潮汐现 变化的例子引入课题 汐现象。 示过程,获象让学生在熟悉的问 1、物理情景——①简谐运动②星体 得感性认题情景中进入课题,能 的环绕运动 充分激发学生的学习 2、地理情景—①气温变化规律 热情和兴趣 ②月圆与月缺 3、日常生活现象一潮汐现象 (二)由图象探求三角函数 模型的解析式 ,如图,某地一天从6~14时的温提出问题:你 提出问题,由学生动脑 度变化曲线近似满足函数能写出这些/观察图像,分析,自主探究。根据 y=Asin ox+p)+b 具有周期变/找出四个待 已知图像提供的信息 化规律的图 定参数 来求所给三角函数解 象的函数解AO29和b析式,让学生明确学习 析式吗? 任务和目标。 问题1这一天6~14时的最大温差 是多少;与A有何联系? 问题2:函数式中A、b的值分别是 多少? 问题3:如何确定函数式中的 O和分? 问题4:这段曲线对应的函数是什 么? 【问题的反思】:
9 （一）课题引入 由生活中大家熟悉的具有周期 变化的例子引入课题： 1、物理情景——①简谐运动②星体 的环绕运动 2 、地理情景——①气温变化规律 ②月圆与月缺 3 、日常生活现象— 潮汐现象 （二）．由图象探求三角函数 模型的解析式 1，如图，某地一天从 6～14 时的温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 y = Asin(x +) + b． 问题 1 这一天 6～14 时的最大温差 是多少；与 A 有何联系？ 问题 2：函数式中 A、b 的值分别是 多少？ 问 题 3 ： 如 何 确定 函 数 式 中 的 和 ？ 问题 4：这段曲线对应的函数是什 么？ 【问题的反思】： 动画演 示潮 汐现象。 提出问题：你 能写出 这些 具有周 期变 化规律 的图 象的函 数解 析式吗？ 观看动画演 示过程，获 得感性认 识。 观察图像， 找出四个待 定 参 数 A, , b 和 通过动画演示潮汐现 象让学生在熟悉的问 题情景中进入课题，能 充分激发学生的学习 热情和兴趣 。 提出问题，由学生动脑 分析，自主探究。根据 已知图像提供的信息 来求所给三角函数解 析式，让学生明确学习 任务和目标。 O T C / 6 8 10 12 14 t / h 102030
近似刻画这天某个时段的温度变何根招/丝多必/通过总结归纳这种解 ①一般地,所求出的函数模型只能提出问题:如 题的思路方法,培养学 纳如何去求 化情况,因此应当特别注意自变y=A(ax+9)+b 生概括总结的能力 量的变化范围; 待定参数 图像求解析 ②与学生一起探索的各种求法:式中的四个 这是本题的关键!也是难点!)(用待定参数 最大小值点代入不容易出现错误)A,b9? (三).由解析式作出图象并 研究性质 利用函数的奇偶性和 提出问题,让学生自己作 绝对值的非负性,由已 学生动手操图并和同学 探究图像 知函数模型来研究函 作,然后给出互相讨论交 间题1你能画出函数y=mx的图正确图像流 数y=mx,培养学生 应用已知函数解决问 象吗? 问题2那么函数y=sinx的图象吗? 题的方法。养成学生多 角度考虑问题的习惯, 例2:根据y=nx的图象观察其 培养学生的发散思维 周期 和学习的兴趣 让学生带着问题回忆 (四)、总结提炼 本课内容,既锻炼学生 学生思考并 提出问题: 的语言组织能力,又使
10 ①一般地，所求出的函数模型只能 近似刻画这天某个时段的温度变 化情况，因此应当特别注意自变 量的变化范围； ②与学生一起探索 的各种求法； （这是本题的关键！也是难点！）（用 最大小值点代入不容易出现错误） （三）．由解析式作出图象并 研究性质 探究图像 问题 1.你能画出函数 y = sin x 的图 象吗？ 问题 2.那么函数 y=sinx 的图象吗？ 例 2：根据 y = sin x 的图象观察其 周期。 （四）、总结提炼 提出问题： 提出问题：如 何根据 y = Asin(x +) + b 图像求 解析 式中的 四个 待定参 数 A,b;; ? 提出问题，让 学生动 手操 作，然后给出 正确图像 学生总结归 纳如何去求 待定参数。 学生自己作 图并和同学 互相讨论交 流 学生思考并 通过总结归纳这种解 题的思路方法，培养学 生概括总结的能力。 利用函数的奇偶性和 绝对值的非负性，由已 知函数模型来研究函 数 y = sin x ，培养学生 应用已知函数解决问 题的方法。养成学生多 角度考虑问题的习惯， 培养学生的发散思维 和学习的兴趣。 让学生带着问题回忆 本课内容，既锻炼学生 的语言组织能力，又使