3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 难易度及题号 知识点及角度 基础 中档 稍难 两角和与差正切公式的运用1、3、6 给值求值(角)问题 2、4、510、11 综合问题 8 12 基础巩固 tan21° 1+tan 21 。相等的是( A. tan 66 B.tan24° 21° tan45°-tan21° 解析:原式=1+tan45°tan2l°tan(45°-21°)=tan24° 答案:B 2.若tan28°·tan32°=m,则tan28°+tan32°=( A. B.√3(1-m D.√3(m+1) 解析:tan(28°+32°)tan28°+taNs tan 32 =V5, 又tan28°·tan32°=m, tan28°+tan 答案:B tan10°+tan50°+tan120° tan10°tan50° 的值应是() B.1 解析:∵tan10°+tan50° =tan60°-tan60°tan10°tan50° 原式=tan60°-tan60°tan10°tan50°+tan120° tan10°tan50 tan60° √3. 答案:D
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 知识点及角度 难易度及题号 基础 中档 稍难 两角和与差正切公式的运用 1、3、6 7、9 给值求值(角)问题 2、4、5 10、11 综合问题 8 12 1．与1－tan 21° 1＋tan 21°相等的是( ) A．tan 66° B．tan 24° C．tan 42° D．tan 21° 解析：原式＝tan 45°－tan 21° 1＋tan45°tan 21°＝tan(45°－21°)＝tan 24°. 答案：B 2．若 tan 28°·tan 32°＝m，则 tan 28°＋tan 32°＝( ) A. 3m B. 3(1－m) C. 3(m－1) D. 3(m＋1) 解析：tan(28°＋32°)＝ tan 28°＋tan 32° 1－tan 28°tan 32° ＝tan 60°＝ 3， 又 tan 28°·tan 32°＝m， ∴tan 28°＋tan 32°＝ 3(1－m)． 答案：B 3. tan 10°＋tan 50°＋tan 120° tan 10°tan 50° 的值应是( ) A．－1 B．1 C. 3 D．－ 3 解析：∵tan 10°＋tan 50° ＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°， ∴原式＝ tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120° tan 10°tan 50° ＝－tan 60°＝－ 3. 答案：D
4.已知a+B=丌,则(1-tana)(1-tanB)=() B.-2 解析:-1-1m(+-1m+:m tan a+tan B=-l+tan a tan B (1-tan a)(1-tan B)=l-tan a-tan B+tan a tan B=2 答案:A 5.若(tana-1)(tanB-1)=2,则a+B 解析:∵(tana-1)(tanB-1)=2 .1+tan a tan B-(tan a +tan B)=2 .-(tan a +tan B)=l-tan a tan B tan(a+B)= a+tan B =-1.∴a+B=k ,k∈Z. -tan a tan B 答案:kI+-(k∈z sin15° 6.计算: cos15°+sin15° cos15°sin15° 解析:原式 cos15°1-tan15°tan45 cos15°sin15°1+tan15°1+tan45°tan15° cos 3 答案: 化简:tan(18°-x)tan(12°+x)+3tan(18°-x)+tan(12°+x)] 解:∵tan[(18°-x)+(12°+x)] tan18°-X+tan12°+x √3 tan(18°-x)+tan(12°+x) [1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]
4．已知 α＋β＝ 3 4 π，则(1－tan α)(1－tan β)＝( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：∵－1＝tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ， ∴tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β. ∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2. 答案：A 5．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则 α＋β＝______. 解析：∵(tan α－1)(tan β－1)＝2， ∴1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)＝2. ∴－(tan α＋tan β)＝1－tan αtan β. ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝－1.∴α＋β＝kπ＋ 3π 4 ，k∈Z. 答案：kπ＋ 3π 4 (k∈Z) 6．计算：cos 15°－sin 15° cos 15°＋sin 15°＝______. 解析：原式＝ cos 15° cos 15°－ sin 15° cos 15° cos 15° cos 15°＋ sin 15° cos 15° ＝ 1－tan 15° 1＋tan 15°＝ tan 45°－tan 15° 1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－ 15°)＝tan 30°＝ 3 3 . 答案： 3 3 7．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ 3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]． 解：∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)] ＝ tan 18°－x ＋tan 12°＋x 1－tan 18°－x ·tan 12°＋x ＝tan 30°＝ 3 3 ， ∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x) ＝ 3 3 [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]．
原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+V3×y[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]= 能力提升》 8.锐角△ABC中, tan Atan B的值() A.不小于1 B.小于1 C.等于1 D.大于1 解析:由于△ABC为锐角三角形 tanA,tanB,tanC均为正数 tanC>0.∴tan[180°-(A+B]>0. ∴tan(A+B0,tanb0 .1-tan Atan Ko, ap tan Atan B1 答案:D 9.化简- B tan a-tan的结果为 tan a tan a+ B 解析:原式 l-tan a tan 8 tan a-tan B tan a+tan B tan a 1-tan a tan B tan a+tan B tan a tan B tan B tan a+tan b tan a 答案:tanB 10.已知a,B均为锐角,有tanB Css1n,求tan(a+B)的值 cos a tsin a cos a-sin a l-tan a 解:tanB =tan cos a+sin a 1+tan a a,因为a,B均为锐角 4 所以 又y=tanx 上是单调函数,所以B 4a,即Q、。多tn(a+ B)=1 11.已知tana,tanB是方程x+3x+4=0的两根,且 求a+B的值 解:由根与系数的关系得
∴原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ 3× 3 3 [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝ 1. 8．锐角△ABC 中，tan Atan B 的值( ) A．不小于 1 B．小于 1 C．等于 1 D．大于 1 解析：由于△ABC 为锐角三角形， ∴tan A，tan B，tan C 均为正数． ∴tan C>0.∴tan[180°－(A＋B)]>0. ∴tan(A＋B)0，tan B>0， ∴1－tan Atan B1. 答案：D 9．化简tan α＋β －tan α－tan β tan αtan α＋β 的结果为______． 解析：原式＝ tan a＋tan β 1－tan αtan β －tan α－tan β tan α· tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝ tan α＋tan β tan αtan β tan α＋tan β tan α ＝tan β. 答案：tan β 10．已知 α，β 均为锐角，有 tan β＝ cos α－sin α cos α＋sin α ，求 tan(α＋β)的值． 解：tan β＝ cos α－sin α cos α＋sin α ＝ 1－tan α 1＋tan α ＝tan π 4 －α ，因为 α，β 均为锐角． 所以－π 4 < π 4 －α< π 4 ，0<β< π 2 . 又 y＝tan x 在 － π 2 ， π 2 上是单调函数，所以 β＝ π 4 －α，即 α＋β＝ π 4 ，tan(α＋ β)＝1. 11．已知 tan α，tan β 是方程 x 2＋3 3x＋4＝0 的两根，且－π 2 <α< π 2 ，－ π 2 <β< π 2 ， 求 α＋β 的值． 解：由根与系数的关系得
tan a +tan B=-3y3, tan a tan B=4 tan a<o, tan B<O tan a+tan B tan(a+B)= l-tan a tan B 1-4 又-。<a< B<,且tana<0,tanB<0, 2丌 丌<a+B<0.∴a+B 探究拓展》 12.是否存在锐角a,B,使得(1)a+2B= (2) tantan B=2-3同时成立?若存在,求出锐角a,B的值:若不存在,说明 理由 解:假设存在锐角a,B,使得(1)a+2B=2, (2) tan-tan B=2-同时成立 由(1)得。+B tan-+tan B 所以tan2+B 1-tan-tan B 又 tan-tan B=2-√5,所以tan+tanB=3- 因此tm2,tmnB可以看成是方程x-(8-)x+2-3=0的两个根,解得x=l 若tan一=1,则 ,这与a为锐角矛盾 所以tana=2-√5,tanB=1.所以a=,B=2 所以满足条件的a,B存在,且a 感悟升华三 1.两角和与差的正切公式变形较多,这样变式在解决某些问题时十分便捷,应当利用 公式能熟练推导,务必熟悉它们
tan α＋tan β＝－3 3，tan αtan β＝4. ∴tan α<0，tan β<0. ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝ －3 3 1－4 ＝ 3. 又－ π 2 <α< π 2 ，－ π 2 <β< π 2 ，且 tan α<0，tan β<0， ∴－π<α＋β<0.∴α＋β＝－ 2π 3 . 12．是否存在锐角 α，β，使得(1)α＋2β＝ 2π 3 ， (2)tan α 2 tan β＝2－ 3同时成立？若存在，求出锐角 α，β 的值；若不存在，说明 理由． 解：假设存在锐角 α，β，使得(1)α＋2β＝ 2π 3 ， (2)tan α 2 tan β＝2－ 3同时成立． 由(1)得 α 2 ＋β＝ π 3 ， 所以 tan α 2 ＋β ＝ tan α 2 ＋tan β 1－tan α 2 tan β ＝ 3. 又 tan α 2 tan β＝2－ 3，所以 tan α 2 ＋tan β＝3－ 3. 因此 tan α 2 ，tan β 可以看成是方程 x 2－(3－ 3)x＋2－ 3＝0 的两个根．解得 x1＝1， x2＝2－ 3. 若 tan α 2 ＝1，则 α＝ π 2 ，这与 α 为锐角矛盾． 所以 tan α 2 ＝2－ 3，tan β＝1.所以 α＝ π 6 ，β＝ π 4 . 所以满足条件的 α，β 存在，且 α＝ π 6 ，β＝ π 4 . 1．两角和与差的正切公式变形较多，这样变式在解决某些问题时十分便捷，应当利用 公式能熟练推导，务必熟悉它们．
t tm, tan a +tan B= tan(a+ B)(1-tan atan B), tan a tan B= tan a+tan B tan a+ B tan a+tan B+tan atan Btan(a+ B=tan (a+B)f. 2.在三角函数题目中,有时,也对一些特殊的常数进行代换,例如1=tan45°,√ 3m等,这样做的提是识别出公式结构,谈出相应公式 tan
例如，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－ tan α＋tan β tan α＋β ，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)等． 2．在三角函数题目中，有时，也对一些特殊的常数进行代换，例如 1＝tan 45°， 3＝ tan π 3 ， 3 3 ＝tan π 6 等．这样做的前提是识别出公式结构，凑出相应公式