简单的三角恒等变换同步练习(二) 选择题 1.已知cos(a+B)cos(a-B)=-,则cos2a-sin2B的值为() C 2.在△ABC中,若 sinAsinbcos22,则△ABC是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形D.直角三 角形 3. sin asin B (cosB-cosa),且a∈(0,π),B∈(0,π),则a一B等于 A 已知sin(a+B)sin(B-a)=m,则cos2a-cos2B等于() 二、填空题 5.sin20°cos70°+sin10°sin50° 6.已知a-B 3,且cosa+cosB=,则cos(a+B)等于 、解答题 7.求证:4cos(60°-a) cos a cos(60°+a)=cos3a 8.求值:tan9°+cot17°-tan243°-cot351° 用心
用心 爱心 专心 简单的三角恒等变换 同步练习(二) 一、选择题： 1.已知 cos（α+β）cos（α－β）= 3 1 ，则 cos 2α－sin2β的值为（ ） A.－ 3 2 B.－ 3 1 C. 3 1 D. 3 2 2.在△ABC 中，若 sinAsinB=cos 2 2 C ，则△ABC 是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D. 直角三 角形 3.sinα+sinβ= 3 3 （cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于 （ ） A.－ 3 2π B.－ 3 π C. 3 π D. 3 2π 4.已知 sin（α+β）sin（β－α）=m，则 cos 2α－cos 2β等于（ ） A.－m B.m C.－4m D.4m 二、填空题 5.sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________. 6.已知α－β= 3 2π ，且 cosα+cosβ= 3 1 ，则 cos（α+β）等于_________. 三、解答题 7.求证：4cos（60°－α）cosαcos（60°+α）=cos3α. 8.求值：tan9°+cot117°－tan243°－cot351°
√6 9.已知tan2=2, tan a tan B=7,求c(a=B)的值 10.已知sina+sinB=√2,cosa+cosB 求tan(a+B)的值 1.已知f(x)=-1+2x x∈(0,) (1)将f(x)表示成cosx的多项式 (2)求f(x)的最小值 12.已知△ABC的三个内角A、B、C满足:+e=2B,、11 A-C COsA cOSC 的值 用心
用心 爱心 专心 9.已知 tan 2 6 2 = + ，tanαtanβ= 7 13 ，求 cos（α－β）的值. 10.已知 sinα+sinβ= 2 ，cosα+cosβ= 3 2 ，求 tan（α+β）的值. 11.已知 f（x）=－ 2 1 + 2 2sin 2 5 sin x x ，x∈（0，π）. （1）将 f（x）表示成 cosx 的多项式； （2）求 f（x）的最小值. 12.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足：A+C=2B， A C cosB 2 cos 1 cos 1 + = − ，求 cos 2 A − C 的值
13.已知 kinesin3Asin5Aa, CosAcos3Acos5b, 求证:(2c0s2A1 14. ERiE: cos x+cos (x+ a)-2cos xcos a cos (x+ a)=sin a 15.求函数y=cos3x·cosx的最值 用心
用心 爱心 专心 13． 已知 sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b， 求证：（2cos2A+1）2 =a 2 +b 2 . 14． 求证：cos 2 x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α. 15． 求函数 y=cos3x·cosx 的最值
答案 选择题 填空题 5.6. 解答题 7.证明:左边=2cosa[cos120°+cos(-2a)] =2cos a (--+cos2 a) =-cosa+2cosa·cos2a =cos3a=右边 8.解:tan9°+cot117°-tan243°-ct351 tan9°-tan27°-c0t27°+cot9° sin go cos 9o sin 27 cos9°sin9°cos27°sin2 用心
用心 爱心 专心 答案： 一、选择题 1.C 2. B 3. D 4. B 二、填空题 5. 4 1 6.－ 9 7 三、解答题 7.证明：左边=2cosα［cos120°+cos（－2α）］ =2cosα（－ 2 1 +cos2α） =－cosα+2cosα·cos2α =－cosα+cos3α+cosα =cos3α=右边. 8.解：tan9°+cot117°－tan243°－cot351° =tan9°－tan27°－cot27°+cot9° = ) sin 27 cos27 cos27 sin 27 ( sin 9 cos9 cos9 sin 9 + − +
9° sn27°cos27 9Af: . tan a tan B= sInasn B cos(a-B)-cos(a+B)13 cosacosB cos(a-B)cos(a+B) 7 ∴.cos(a-B) 10 cos( a+B) +B 又tana+B=y6 1-tan' ,∴cos(a+B)= a+B 从而cos(a-B)s10×(53 10 sin a+sin B 由和差化积公式得 cosa+co 2cos a+B CoS B 2 tan +p +B 从而tan(a+B)= 2×33 1-tan2 a+B 1-3 2 11.解:(1)f(x) 2 cos-cos-=cos2x+c SF∠coSX 2sin- (2)∵f(X)=2(cosx 48 且-1≤cosx≤1 ∴当cosx=-1 4时,r(x)取得最小值-9 12.分析:本小题考查三角函数的基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力 解:由题设条件知B60°,AC=120° √2 用心
用心 爱心 专心 = + + + sin 27 cos27 sin 27 cos 27 sin 9 cos9 sin 9 cos 9 2 2 2 2 = − = − sin18 cos36 2(sin 54 sin18 ) sin 54 2 sin18 2 =4. 9.解：∵tanαtanβ= 7 13 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos cos sin sin = − + − − + = ， ∴cos（α－β）=－ 3 10 cos（α+β）. 又 tan 2 6 = + ，∴cos（α+β）= 5 1 ) 2 6 1 ( ) 2 6 1 ( 1 tan 1 tan 2 2 2 2 = − + − = + + + − ， 从而 cos（α－β）=－ 3 10 ×（－ 5 1 ）= 3 2 . 10.解： 3 2 2 cos cos sin sin = + + ，由和差化积公式得 − + − + 2cos cos 2sin cos =3， ∴tan + =3，从而 tan（α+β）= 4 3 1 3 2 3 tan 2 tan 2 2 = − − = + − + . 11.解：（1）f（x）= 2 cos 2 3 2cos 2 2sin sin 2 3 2cos 2 2sin 2 sin 2 5 sin x x x x x x x x = = − =cos2x+cosx=2cos2 x+cosx－ 1. （2）∵f（x）=2（cosx+ 4 1 ）2－ 8 9 ，且－1≤cosx≤1， ∴当 cosx=－ 4 1 时，f（x）取得最小值－ 8 9 . 12.分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力. 解：由题设条件知 B=60°，A+C=120°， ∵－ cos60 2 =－2 2 ， ∴ A cosC 1 cos 1 + =－2 2
将上式化简为 cosACoSC=-2√2 COsAcosC, 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为 A+C A-C √2[cos(AO+cos(AC] A+C -COs cOS (A+ C)=cos 120 代入上式得cos4-C2 2 (A-C), 将cos(A0=2cs2(4-C)-1代入上式并整理得4eos(4-C)+2cs4-C 3√2=0, 即[2cos 2][2√2cos 42C+3] CoS +3≠0,∴2c A-C-2=0 13.证明:由已知得 2sin aCos 2A+sin 3A=a, 2cos aCos 2A+cos 34=b sin 3A(2Cos2A+1)=a COS3A(2 cos2A+D=b 两式平方相加得(2cos2A+1)2=a+B 14.证明:左边=(1+cos2x)+[1+cos(2x+2a)]-2 cos xcos a cos(x+a) =1+-[cos2x+cos (2x+2 a )]-2cos xcos a cos (x+ a =1+cos (2x+ a)cos a-cos a [cos (2x+ a)+cos a 1+cos (2x+ a)cos a -cos a cos (2x+ a)-cos2 1-cos a=sin a 右边, ∴原不等式成立 15.解:y=cos3x·cosx 用心
用心 爱心 专心 将上式化简为 cosA+cosC=－2 2 cosAcosC， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos 2 A + C cos 2 A − C =－ 2 ［cos（A+C）+cos（A－C）］， 将cos 2 A + C =cos60°= 2 1 ，cos（A+C）=cos120°=－ 2 1 代入上式得cos 2 A − C = 2 2 － 2 cos （A－C）， 将 cos（A－C）=2cos2（ 2 A − C ）－1 代入上式并整理得 4 2 cos 2（ 2 A − C ）+2cos 2 A − C － 3 2 =0， 即［2cos 2 A − C － 2 ］［2 2 cos 2 A − C +3］=0. ∵2 2 cos 2 A − C +3≠0，∴2cos 2 A − C － 2 =0. ∴cos 2 A − C = 2 2 . 13．证明：由已知得 + = + = ， ， A A A b A A A a 2cos3 cos2 cos3 2sin 3 cos2 sin 3 ∴ + = + = cos3 (2cos2 1) . sin 3 (2cos2 1) A A b A A a， 两式平方相加得（2cos2A+1）2 =a 2 +b 2 . 14．证明：左边= 2 1 （1+cos2x）+ 2 1 ［1+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+ 2 1 ［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］ =1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边， ∴原不等式成立. 15．解：y=cos3x·cosx = 2 1 （cos4x+cos2x）
==(2cos 2x-1+cos2x) =cos22x+I cos2r-I =(cos2x+)2_9 ∵cos2x∈[-1,1], 当co2x=-1时,y取得最小值-9; 16 当cos2x1时,y取得最大值1 用心
用心 爱心 专心 = 2 1 （2cos2 2x－1+cos2x） =cos 2 2x+ 2 1 cos2x－ 2 1 =（cos2x+ 4 1 ）2－ 16 9 . ∵cos2x∈［－1，1］， ∴当 cos2x=－ 4 1 时，y 取得最小值－ 16 9 ； 当 cos2x=1 时，y 取得最大值 1