32简单的三角恒等变换(2)
2021/1/31 3.2简单的三角恒等变换(2)
半角公式 I-cos c sIn a-2a 2 1+cosa COS 2(其中±号由所在象限的函数符号而定) I-cosa sin a 1-cosa tan I+cosa I+cosa sin a 2021/1/31
2021/1/31 : 1 sin 2 2 1 cos ( ) 2 2 2 1 sin 1 tan 2 1 1 sin − − − 半角公式 cos ＝ +cos ＝ 其中 号由 所在象限的函数符号而定 cos cos ＝ ＝ ＝ +cos +cos
sin acosB--[sin(a+B)+sin(a-B) cosasin B=-[sin(a+B)-sin(a-B) cosacosB=-[cos(a+B)+cos(a-B) sin asin B=--[cos(a+B)-cos(a-B 和差化积公式 sin 0+ sin ( 2sin 0+ 0- . COS sin 6-sin- 2cos 0+b 0+6-q cos 8+cos 2cos COS 2 2 cos6-cosp--2sinx 6 . Sin 2 2021/1/31
2021/1/31 : sin sin 和差化积公式 + ＝ sin sin − ＝ cos cos + ＝ cos cos − ＝ 2sin 2 2 − + cos 2 sin 2 2 − + cos 2cos 2 2 − + cos 2sin . 2 2 − − + sin sin cos ＝ sin cos ＝ cos cos ＝ sin sin ＝ 1 [sin sin ] 2 ( + )+ ( ) − 1 [sin sin ] 2 ( + ) ( ) − − 1 [cos cos ] 2 ( + ) ( ) + − 1 [cos cos ] 2 − − − ( + ) ( )
上述公式间的联系如下: 和差化积 积化和差 以代a 升降幂公式 B) 以-B代β (a+B) B 2a (a-B) 2a 相 相 相 除 除 除 除 以-B代β B=a (a-B) 差 和 倍 半
2021/1/31 上 述 公 式 间 的 联 系 如 下： S( + ) C( + ) S( ) − C( ) − 以- 代 相除 T( + ) 相除 T( ) − 以- 代 ＝ ＝ S2C2 T2 相除 2 以 代 2 S 2 C 2 T 相除 积 化 和 差 和 差 化 积 差 和 倍 半 升降幂公式
与三角函数有关的最值问题 对于与三角函数有关的最值问题,我们可以把函数式化成 角的一个三角函数 从而利用三角函数的最值来求解下面我们分类加以说明 a+ blinx型 例1求函数y=5-3sinx的最大和最小值 根据正弦函数的最值情况来定 解:y=sinx的最大值和最小值分别是1和-1, y=5-3sinx的最大值和最小值分别是8和2 y= asin+ bcos型 2021/1/31
2021/1/31 与三角函数有关的最值问题 对于与三角函数有关的最值问题，我们可以把函数式化成一个 角的一个三角函数， 从而利用三角函数的最值来求解.下面我们分类加以说明. sinx 1 -1 5 3sinx 8 2. = − y 解： y= 的最大值和最小值分别是 和 ， 的最大值和最小值分别是 和 二、y=asinx+bcosx型 一、y=a+bsinx型 例1求函数y=5-3sinx的最大和最小值. 根据正弦函数的最值情况来定
例2当0x时,求函数y=3smx+40的最值 这是关于sinx,cosx的一次齐次式,可化成一个角的 一个三角函数式 解:3nx+4cosx=5sin(x+0)(其中@是满足tang=-的锐角 0<x<一,∴ 0sx+0≤n+0:当x+=x 元 max sin(x+)=5si ) 4 2 而sin95 SIn 1 X )=c0s= 5 2 min 故ym3=5,yn min 2021/1/31
2021/1/31 y x x = + 3sin 4cos ) 4 ＝5sin(x+ )(其中 是满足tan = 的锐角 3 0 2 2 2 x x x max ， + + ， 当 + ＝ 时， y 5sin 2 = 5sin(x+ ) ＝ ＝5, min , ) , 5 . 2 y = 4 3 3 而sin = sin( + ＝cos ＝ 5 5 5 min y = . 故 max y ＝5， 3 2 0 3sin 4cos . 2 sinx cos . x y x x x = + 例 当 时，求函数 的最值 分析 这是关于 ， 的一次齐次式，可化成一个角的 一个三角函数式 解：
absin y- c+sinx 型 5-3 例3求函数y= sinX 的最值 2+sinx 可利用反求法 解:由,5-300(+inx=5-2若=3矛盾, 2+sinx 5-2 ∴Snx y +3 sinx≤1,∴sin2x≤1, (5-2y) ≤1,即3y2-26y+16≤0 (y+3 解得:Sy≤8.∴ymx=8,ym3 2021/1/31
2021/1/31 sinx c+dsinx a y = +b 三、 型 5 3sinx 3 . 2 sinx y − 例 求函数 = 的最值 + 5 3sinx (y+3)sinx 2 , 3 2 sinx y y y − = − = − 分析 可利用反求法 解：由 得 ＝5 若 矛盾， + 2 sinx y+3 sinx 1 − y 5 ＝ ， 2 2 2 2 ) 1 1, 3 26 (y+3) y y y − − 2 (5 sin x ， 即 +16 0, min 2 3 = y max 2 解得： y 8. y ＝8， . 3
四、y=asin2x+ bcos型 例4求函数y=3inx+4os3x的最值 分析>这是关于sin2x、cos2x的二次齐次式,可先降次 解 1-coS 2x 1+ cos 2x y=3sin x +4COSX=3 +4 2 2 --+-cos 2x 4 max 2 min 2021/1/31
2021/1/31 y a = 四、 2 2 sin x +bcos x型 4 3 4 y = 例 求函数 2 2 sin x + cos x的最值. 2 2 这是关于sin x 、cos x的二次齐次式，可先降次. 解： 1 cos 2 1 cos 2 3 4 3 2 2 x x y − = 2 2 + sin x + cos x＝ +4 1 cos 2 . 2 x 7 ＝ + 2 min = y 3. max y ＝4
五、y= asin+ bsinxcosxtccos2x型 例5求函数y=sin2x+2 sinXcosX+3cos3x的最值 Hif: 'y=sinx +2sinXcosx+3cos'X 1-coS 2x +sin2x +3 +cos 2X sin2 x+ cos 2x+2=v2sin(2x+-)+2 ym=2+√2,ymn=2-√2 2021/1/31
2021/1/31 sinx 5 2sinx 3 y a y = = 2 2 2 2 五、 sin x +b cosx+ccos x型 例 求函数 sin x + cosx+ cos x的最值. y = 2sinx 3 解： 2 2 sin x + cosx+ cos x 1 cos 2 1 cos 2 sin2x − x x + ＝ + +3 2 2 sin2x cos 2 2 2sin 2x 2 4 x ＝ + + ＝ （ + ）+ min ymax ＝2 2 2 2. + ，y = −
六、y=asin2x+ blinx+c型 例6求函数y=2cos2x-sin2x-4cosx+2 ,x∈,27的最值 分析>对于这种二次非齐次式,可以看作是可化为二次函数 的函数求解 解:∵y=2Cosx-sinx-4cosx+2=3cosx-4cosx+1 2、,1 3(COSX 33 2丌 又 ⅹ< <COSX< 2 2丌 15 当=时,( COSX) mI 2 2J max 4 当x一互时,(cosx) max 2 2.min 4 2021/1/31
2021/1/31 sinx 2 6 4 2 3 3 2 y a y = = − − 2 2 2 六、 sin x +b +c型 例 求函数 cos x sin x cosx+ ，x [ , ]的最值. . 对于这种二次非齐次式，可以看作是可化为二次函数 的函数求解 解： y = − − = − 2 4 2 3 4 1 2 2 2 cos x sin x cosx+ cos x cosx+ 2 1 2 3( ) 3 3 ＝ cosx − − 2 1 1 , , 3 3 2 2 又 − x cosx min max 2 1 , ; 3 2 1 , . 3 2 = − = − max min 15 当x＝ 时，(cosx) y ＝ 4 1 当x＝ 时，(cosx) y ＝ 4