专题22正弦定理和余弦定理 考情解读 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题; 重点知识梳理 1.正、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,C,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 d=b+22bccos A: 内容 sin A sin b sin c2R b=c+a2cacos B c=a+b-2abcos C (1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C: (2)sin A 常见 2p sin C-s C+a-b 变形|(3)a:b:c=sin_4:sinB:sin_G cos 4)asin B=bsin a, bsin C= csin B, asin C= a2+b2-c2 cOs C= csin a 2. SAMac=absin C=bcsin A=-acsin B-abc1 (a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径), 并可由此计算R,r 高频考点突破 高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC中,已知a=2,b=V6,A=45°,则满足条件的三角形有() A.1个 B.2个 个 D.无法确定 (2)在△ABC中,已知sin:sinB=VE:1,d=B+√2be,则三内角A,B,C的度数依次是 (3设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若a=5,.in=1,c=x,则b=
- 1 - 专题 22 正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 1．正、余弦定理 在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 2 2bccos__A； b 2＝c 2＋a 2 2cacos__B； c 2＝a 2＋b 2－2abcos__C 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R ； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝ csin A cos A＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ； cos B＝ c 2＋a 2－b 2 2ac ； cos C＝ a 2＋b 2－c 2 2ab 2.S△ABC＝ 1 2 absin C＝ 1 2 bcsin A＝ 1 2 acsin B＝ abc 4R ＝ 1 2 (a＋b＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)， 并可由此计算 R，r. 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例 1、(1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，则满足条件的三角形有( ) A．1 个 B．2 个 C．0 个 D．无法确定 (2)在△ABC 中，已知 sinA∶sinB＝ 2∶1，c 2＝b 2＋ 2bc，则三内角 A，B，C 的度数依次是 ________． (3)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sinB＝ 1 2 ，C＝ π 6 ，则 b＝________
答案(1)B(2)45°,30°,105°(3)1 解析(02m=5×2-5.K ∴满足条件的三角形有2个 (2)由题意知a=Vb,a2=b2+c2-2bs, 即2b2=82+c2-2bcoA, 又c2=b2+√2bc ∴osA=n,A=45°,sinB=,B=30°,∴C=105° 因为8=组B∈0,n,所以B=或B= 兀 又 C=,B+Cb,∴x>2, 又由sinA=sinB=×<1, 可得x
- 2 - 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵bsinA＝ 6× 2 2 ＝ 3，∴bsinA<a<b. 解得 b＝1. 【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦 定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数． 【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则 x 的取值范围 是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．2＜x＜2 2 D．2＜x＜2 3 (2)在△ABC 中，A＝60°，AC＝2，BC＝ 3，则 AB＝________. 答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解，则必有 a＞b，∴x＞2， 又由 sinA＝ a b sinB＝ x 2 × 2 2 ＜1， 可得 x＜2 2
∴x的取值范围是2<x<2VE (2)∵A=60°,AC=2,BC=V, 设AB=x,由余弦定理,得 BC=AC+AB-2AC. ABcosA 化简得x2-2x+1=0, ∴x=1,即AB=1. 高频考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2、(2015·浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,b-a (1)求tanC的值 2)若△ABC的面积为3,求b的值 解(1)由B2-a2=c2及正弦定理得 sina 22 所以-cos2B=sin2C① 又由A=4,即B+ 得 52B cOsn兀 2c =sin2C=2 sin ccssc,② 由①②解得tanC=2 2)由tanC=2,C∈(0,π)得 sing- COSC= 因为sinB=sin(A+0= 所以sinB=
- 3 - ∴x 的取值范围是 2＜x＜2 2. (2)∵A＝60°，AC＝2，BC＝ 3， 设 AB＝x，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC·ABcosA， 化简得 x 2－2x＋1＝0， ∴x＝1，即 AB＝1. 高频考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例 2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 A＝ π 4 ，b 2－a 2 ＝ 1 2 c 2 . (1)求 tanC 的值； (2)若△ABC 的面积为 3，求 b 的值． 解 (1)由 b 2－a 2＝ 1 2 c 2 及正弦定理得 (2)由 tanC＝2，C∈(0，π)得 sinC＝ 2 5 5 ，cosC＝ 5 5 ， 因为 sinB＝sin(A＋C)＝sin π 4 ＋C ， 所以 sinB＝ 3 10 10
由正弦定理得c=2 又因为=4,ain=3, 所以bc=6VE,故b=3 【感悟提升】 (1)对于面积公式S= abs inC= actinG= basina,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BDA (2)求四边形ABCD的面积 解(1)由题设A与C互补及余弦定理得 BD=B2+C-2BC· CAosc=13-12cosC,① BD=AB+D-2AB· DAcos a=5+4cosC.② 由①②得cosC=z BD- V7, 因为C为三角形内角,故C=60 (2)四边形ABCD的面积 S==AB· ASina+=BC· CInc ×1×2+×3×2sin60° =2N3 高频考点三正弦、余弦定理的简单应用 例3、设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若bosC+cosB= asin A,则△ ABC的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 不确定 解析由正弦定理得 sin Bcos C+ sin Coos B=sin2A sin(B+C)=sin2A 即sin(兀-A)=sim2A,sinA=sin2A A∈(0,丌),∴sinA>0,∴sinA=1,即4
- 4 - 由正弦定理得 c＝ 2 2 3 b， 又因为 A＝ π 4 ， 1 2 bcsinA＝3， 所以 bc＝6 2，故 b＝3. 【感悟提升】 (1)对于面积公式 S＝ 1 2 absinC＝ 1 2 acsinB＝ 1 2 bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求 C 和 BD； (2)求四边形 ABCD 的面积． 解 (1)由题设 A 与 C 互补及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．② 由①②得 cosC＝ 1 2 ，BD＝ 7， 因为 C 为三角形内角，故 C＝60°. (2)四边形 ABCD 的面积 S＝ 1 2 AB·DAsinA＋ 1 2 BC·CDsinC ＝ 1 2 ×1×2＋ 1 2 ×3×2 sin60° ＝2 3. 高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用 例 3、设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
答案B 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法 ①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状 ②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A +B+C=这个结论 (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示: ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 【变式探究】(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,C,若c- acos=(2a b)cosA,则△ABC的形状为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 (2)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC= AB= v 2 AD=3, BD的长为 B D 答案(1)D(2) 解析(1)∴c-asB=(2a-b)o C=兀一(A+B), ∴由正弦定理得sinC- sinAcom 2sinAcosA-sinBcosA, sinAcosb+ cosAsinB-sin B =2sinAcosA-sinbcosa ∴cosA(sinB-sinA)=0, cosA=0或sinB=sinA, A=戏或B=4或B=兀一4舍去) ∴△ABC为等腰或直角三角形 (2)sin∠BAC=sin(x+∠BAD=cos∠BAD
- 5 - 答案 B 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 A ＋B＋C＝π 这个结论． (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理． 【变式探究】(1)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c，若 c－acosB＝(2a －b)cosA，则△ABC 的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 (2)如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝ 2 2 3 ，AB＝3 2，AD＝3，则 BD 的长为______． 答案 (1)D (2) 3 ∴△ABC 为等腰或直角三角形． (2)sin∠BAC＝sin( π 2 ＋∠BAD)＝cos∠BAD
∴coS∠BAD= BD=AB+AD-2AB· ADcos∠BAD (3V2+32-2×32×3× 即BD=3,BD=3 高频考点三和三角形面积有关的问题 【例3】(2016·全国I卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acos B+bcos A)=c (1)求G (2)若c=VF,△ABC的面积为3,求△ABC的周长 解(1)由已知及正弦定理得,2cosC( sin Acos b+sinB·cosA=sinC,2 cos Csin(A+ B=sin C 故2 sin ccos c=sinC 由C∈(0,)知sinC≠0, 可得cosC=,所以C (2)由已知,2nc=3 又C=,所以ab=6, 由已知及余弦定理得,a+b-2 abcs c=7,故a+b2=13, 从而(a+b2=25.,所以△ABC的周长为5+V7 【方法规律】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S= absin C= actin B=÷ bcsin a,一般是已知哪一个角就使用哪一个公 (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 【变式探究】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2a-b)cosC-cosB= (1)求角C的值 (2)若三边a,b,c满足a+b=13,c=7,求△ABC的面积
- 6 - ∴cos∠BAD＝ 2 2 3 . BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos∠BAD ＝(3 2) 2＋3 2－2×3 2×3× 2 2 3 ， 即 BD 2＝3，BD＝ 3. 高频考点三 和三角形面积有关的问题 【例 3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 3 2 ，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin B·cos A)＝sin C，2cos Csin(A＋ B)＝sin C， 故 2sin Ccos C＝sin C. 由 C∈(0，π)知 sin C≠0， 可得 cos C＝ 1 2 ，所以 C＝ π 3 . (2)由已知， 1 2 absin C＝ 3 3 2 ， 又 C＝ π 3 ，所以 ab＝6， 由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2abcos C＝7，故 a 2＋b 2＝13， 从而(a＋b) 2＝25.所以△ABC 的周长为 5＋ 7. 【方法规律】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S＝ 1 2 absin C＝ 1 2 acsin B＝ 1 2 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公 式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【变式探究】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足(2a－b)cos C－ccos B＝ 0. (1)求角 C 的值； (2)若三边 a，b，c 满足 a＋b＝13，c＝7，求△ABC 的面积
解(1)根据正弦定理,(2a-b)sC-cosB=0可化为(2inA-sinB)osC- sin ccos B=0 整理得2 sin acos c= sin bcos c+ sin Coos B=sim(B+Q=sinA ∵:0<A<丌,∴sinA≠0,∴,cos 又0c丌,∴C=3 (2)由(1)知∞C2,又a+b=13,c=7, ∴由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcs ch=(a+b)2-3ab=16-3ab=49,解得ab=40 SAe1x2×40×0 真题感悟 【06高考新课标3理数】在△4BC中,B=4,BC边上的高等于3BC,则cs4=( (A) (B) (C) √0 0 【答案】C 【解析】设BC边上的高为AD,则BC=3AD,所以AC=√AD2+DC2=√5AD AB=√2AD 余 弦 知 AB2+AC2-BC2 2AD+5AD2-9AD2 V10 cOs 2AB·AC 2x√2AD√5AD 故选C 2.【2016高考新课标2理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA 5 COS C 13’a=1,则b= 【答案】 3 【解析】因为cosA 5 且AC为三角形的内角,所以sinA 5 5 sin B=sin[-(A+C)]=sin(4+C)=sin A cos C+cos AsinC-_63 ,又因为 所以 65 sin a sin B 6=aSIo B sin a
- 7 - 1.【2016 高考新课标 3 理数】在 △ABC 中， π 4 B = ，BC 边上的高等于 1 3 BC ,则 cos A = （ ） （A） 3 10 10 （B） 10 10 （C） 10 10 - （D） 3 10 10 - 【答案】C 【解析】设 BC 边上的高为 AD ，则 BC AD = 3 ，所以 2 2 AC AD DC AD = + = 5 ， AB AD = 2 ． 由 余 弦 定 理 ， 知 2 2 2 2 2 2 2 5 9 10 cos 2 10 2 2 5 AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD + − + − = = = − ，故选 C． 2.【2016 高考新课标 2 理数】 ABC 的内角 A B C , , 的对边分别为 abc , , ，若 4 cos 5 A = ， 5 cos 13 C = ， a =1 ，则 b = ． 【答案】 21 13
3.【2016高考天津理数】在△ABC中,若AB=√3,BC=3,∠C=120,则AC=( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】A 【解析】由余弦定理得13=9+AC2+3AC→AC=1,选A 4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC中,若sinA=2 sin bsin c,则 tan a tan b tan c的 最小值是▲ 【答案】8. 【解析 sin A=sin(B+C)=2sin Bsin C= tan B+tan C=2 tan b tan C tan b+ tan C tan a 因 tan b tan c-l tan a tan b tanc=tanA+tanB+tanC=tanA+2 tan b tanc≥2√2 e tan a tan b tan c→ tan A tan b tan c≥8 即最小值为8 5.(2016·山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=C,a=2B(1-sin A,则A=() 4B. 3丌 解析在△ABC中,由b=C,得cosA b+-a2b一可,又a=2b(1-sin4),所以cos A=sin A 即tanA=1,又知A∈(0,π),所以A=,故选C. 答案C 【2015高考天津,理13】在AABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△4BC 的面积为3√5,b-c=2,c0sA=-,则a的值为 【答案】 【解析】因为0<A<丌,所以sinA cOS A= 又53csmA86=35b=24,解移/b-c=2 be=24得b=6,c=4,由 余弦定理得a2=b2+c2-2bcos=62+42-2×6×4x 64,所以a=8
- 8 - 3.【2016 高考天津理数】在△ABC 中，若 AB= 13 ,BC=3， = C 120 ,则 AC= （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】A 【解析】由余弦定理得 2 13 9 3 1 = + + = AC AC AC ,选 A. 4.【2016 高考江苏卷】在锐角三角形 ABC 中，若 sin 2sin sin A B C = ，则 tan tan tan A B C 的 最小值是 ▲ . 【答案】8. 【解析】 sin sin( ) 2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C = = + = ， 又 tan tan tan tan tan 1 B+ C A= B C- ， 因 tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 2 2tan tan tan t A B C A B C A B C A B C A B C = + + = + an tan tan 8, 即最小值为 8. 5.(2016·山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b＝c，a 2＝2b 2 (1－sin A)，则 A＝( ) A. 3π 4 B. π 3 C. π 4 D. π 6 解析 在△ABC 中，由 b＝c，得 cos A＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ 2b 2－a 2 2b 2 ，又 a 2＝2b 2 (1－sin A)，所以 cos A＝sin A， 即 tan A＝1，又知 A∈(0，π)，所以 A＝ π 4 ，故选 C. 答案 C 【2015 高考天津，理 13】在 ABC 中，内角 A B C , , 所对的边分别为 abc , , ，已知 ABC 的面积为 3 15 ， 1 2,cos , 4 b c A − = = − 则 a 的值为 . 【答案】 【解析】因为 0 A ，所以 2 15 sin 1 cos 4 A A = − = ， 又 1 15 sin 3 15, 24 2 8 ABC S bc A bc bc = = = = ，解方程组 2 24 b c bc − = = 得 b c = = 6, 4 ，由 余弦定理得 2 2 2 2 2 1 2 cos 6 4 2 6 4 64 4 a b c bc A = + − = + − − = ，所以 a = 8
【2015高考北京,理12】在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sn24 sin c 【答案】1 【解析】Sin2=2 sin a cos a2a,b2+c2-a22×425+36-16 in c 2×5×6 【2015高考新课标1,理16】在平面四边形ABCD中,∠∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取 值范围是 【答案】(6-√,√6+2) 【解析】如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合与E点时,AB最长,在△BCE中, Bc BE Be ∠B=∠C75°,∠E=30°,BC-2,由正弦定理可得s∠Esi∠C,即sin30sin75,解得 BE-√6+,平移AD,当D与C重合时,AB最矩,此时与AB交于F,在△BCF中,∠B∠BFC° BE BC BE ∠FB3,由正弦定理知,sn∠RCBs∠BPC,sn3sn75,解得BF=6√2,所以 AB的取值范围为(√6-VE,6+√2) 【2015江苏高考,15】(本小题满分14分) 在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60 (1)求BC的长 (2)求sn2C的值 【答案】(1)5万;(2)45
- 9 - 【2015 高考北京，理 12】在 △ABC 中， a = 4 ，b = 5，c = 6 ，则 sin 2 sin A C = ． 【答案】1 【解析】 2 2 2 sin 2 2 sin cos 2 sin sin 2 A A A a b c a C C c bc + − = = 2 4 25 36 16 1 6 2 5 6 + − = = 【2015 高考新课标 1，理 16】在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取 值范围是 . 【答案】（ 6 2 − ， 6+ 2 ） AB 的取值范围为（ 6 2 − ， 6+ 2 ）. 【2015 江苏高考，15】（本小题满分 14 分） 在 ABC 中，已知 AB = 2, AC = 3, A = 60 . （1）求 BC 的长； （2）求 sin 2C 的值 【答案】（1） 7 ；（2） 4 3 7
【解析】(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2 AB-AC-COS A=4+9-2x2×3x=7 所以BC=7 (2)由正弦定理知,ABBC 所以siC AB 2 SIn sin c sin a √7 因为AB0,∴A∈(0,-),于是sinA+sinC=sinA+sin(-2A) sin A+cos 2A=-2sin A+sin A+1=-2(sin A-4+-,.0<A< ∵.0<sinA< 因此 √2 <-2(sinA-)+≤,由此可知sinA+sinC的取值范围
- 10 - 【2015 高考湖南，理 17】设 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，，a b A = tan ， 且 B 为钝角. （1）证明： 2 B A − = ； （2）求 sin sin A C + 的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2） 2 9 ( , ] 2 8 . 【解析】（1）由 a b A = tan 及正弦定理，得 sin sin cos sin A a A A b B = = ，∴ sin cos B A = ，即 sin sin( ) 2 B A = + ， 又 B 为钝角，因此 ( , ) 2 2 A + ，故 2 B A = + ，即 2 B A − = ； （2）由（1）知， C A B = − + ( ) (2 ) 2 0 2 2 A A − + = − ，∴ (0, ) 4 A ，于是 sin sin sin sin( 2 ) 2 A C A A + = + − 2 2 1 9 sin cos 2 2sin sin 1 2(sin ) 4 8 = + = − + + = − − + A A A A A ，∵ 0 4 A ， ∴ 2 0 sin 2 A ，因此 2 1 9 9 2 2(sin ) 2 4 8 8 − − + A ，由此可知 sin sin A C + 的取值范围 是 2 9 ( , ] 2 8