章节名称 余弦定理 学时 课程标|提高学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,深刻地体会数 思想方法及数学的应用,激发学生探究数学、应用数学知识的潜能 知识和技能目标 (1)探索三角形的边长与角度间的具体量化关系,掌握余弦定理的两种表现形式 (2)通过实践演算,运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题。 过程和方法目标: 教学目标(1)经历诱导公式的探索过程,体验未知到已知、复杂到简单的转化过程 (2)培养化归思想 情感态度和价值观目标 感受数学探索的成功感,激发学习数学的热情,培养学习数学的兴趣,增强学习数 学的信心。 人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修(五)》(第2版)第一章《解三角 形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理,正 教材分析确理解其结构特征和表现形式,解决“边、角、边”和“边、边、边”问题,初步 体会余弦定理解决“边、边、角”,体会方程思想,激发学生探究数学,应用数学 的潜能。 本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容,对于 角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理, 学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强,创造 学情分析力较弱,看待与分析问题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在余弦定理推导 方法的探求上有一定的难度,在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时, 能够激发学生热爱数学的思想感情:从具体问题中抽象出数学的本质,应用方程的 思想去审视,解决问题是学生学习的一大难点 教学重点余弦定理的发现过程及定理的应用 教学难点用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。 新课程的数学提倡学生动手实践,自主探索,合作交流,深刻地理解基本结论的本 质,体验数学发现和创造的历程,力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考, 作出判断;同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作 教学设计 思路 者转化,从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求, 利用师生的互动合作,提高学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识和创新 意识,深刻地体会数学思想方法及数学的应用,激发学生探究数学、应用数学知识 的潜能
2011 教师教育技术培训 1 章节名称 余弦定理 学时 1 课程标准 提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学 思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。 教学目标 知识和技能目标： （1）探索三角形的边长与角度间的具体量化关系，掌握余弦定理的两种表现形式； （2）通过实践演算，运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题。 过程和方法目标： （1）经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到简单的转化过程； （2）培养化归思想。 情感态度和价值观目标： 感受数学探索的成功感，激发学习数学的热情，培养学习数学的兴趣，增强学习数 学的信心。 教材分析 人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第 2 版）第一章《解三角 形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正 确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步 体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学 的潜能。 学情分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三 角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理， 学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造 力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导 方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时， 能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的 思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 教学重点 余弦定理的发现过程及定理的应用。 教学难点 用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。 教学设计 思路 新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本 质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考， 作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作 者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求， 利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新 意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识 的潜能
信息技术应用分析 教学使用占用媒体 知识点 媒体内容与形式 作用方式时间来源 知识点 教学使用占用媒体 媒体内容与形式 作用方式时间来源 复习 般三角形全等的四种判定方法,正弦定理内容及解决 角形的类型;幻灯片 .CE 余弦定 余弦定理的推到证明过程及内容;幻灯片 D.E. F B, C 10A 理 余弦定 余弦定理推论内容:幻灯片 F 理推论 例题典 析 例题及解题过程:幻灯片 GH. BG 10A 训练巩 固 练习题;幻灯片 H E 10 归纳总 余弦定理内容,余弦定理推论内容;幻灯片 结 说明:教学作用、使用方式和媒体来源只需在下面查找对应的内容,填写字母即可。 1、媒体在教学中的作用 A.提供事实,建立经验B.创设情境,引发动机C.举例验证,建立概念D.提供示范,正确操作E.呈 过程,形成表象F演绎原理,启发思维G.设难置疑,引起思辨H展示事例,开阔视野I欣赏审美,陶 情操J归纳总结,复习巩固K.自定义 2、媒体的使用方式: A.设疑一播放一讲解B.设疑一播放一讨论C.讲解一播放一概括D.讲解一播放一举例E.播放一提问 讲解。F播放一讨论一总结G边播放、边讲解H.边播放、边议论1.学习者自己操作媒体进行学习J自
2011 教师教育技术培训 2 信息技术应用分析 知识点 媒体内容与形式 教学 作用 使用 方式 占用 时间 媒体 来源 知识点 媒体内容与形式 教学 作用 使用 方式 占用 时间 媒体 来源 复习 一般三角形全等的四种判定方法，正弦定理内容及解决三 角形的类型；幻灯片 B,C E 2 A 余弦定 理 余弦定理的推到证明过程及内容；幻灯片 D,E,F B,C 10 A 余弦定 理推论 余弦定理推论内容；幻灯片 F G 3 A 例题典 析 例题及解题过程；幻灯片 G,H, B,G 10 A 训练巩 固 练习题；幻灯片 H E 10 A 归纳总 结 余弦定理内容，余弦定理推论内容；幻灯片 J G 5 A 说明：教学作用、使用方式和媒体来源只需在下面查找对应的内容，填写字母即可。 1、媒体在教学中的作用： A.提供事实，建立经验 B.创设情境，引发动机 C.举例验证，建立概念 D.提供示范，正确操作 E.呈现 过程，形成表象 F.演绎原理，启发思维 G.设难置疑，引起思辨 H.展示事例，开阔视野 I.欣赏审美，陶冶 情操 J.归纳总结，复习巩固 K.自定义。 2、媒体的使用方式： A.设疑—播放—讲解 B.设疑—播放—讨论 C.讲解—播放—概括 D.讲解—播放—举例 E.播放—提问— 讲解 F.播放—讨论—总结 G.边播放、边讲解 H. 边播放、边议论 I.学习者自己操作媒体进行学习 J.自定 义
3、媒体的来源包括: A.自制B.购入C.库存D.取自××资源库存E.网上下载F.其他
2011 教师教育技术培训 3 3、媒体的来源包括： A.自制 B.购入 C.库存 D.取自××资源库存 E.网上下载 F.其他
教学过程的设计 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 余弦定理: a=b-+c--2bC cos a b2=a2+c2-2ac cos B 说出余弦定理内 知识归纳比较 归纳概括 容,记忆余弦定理发现特征,加强 b--2ab cos C 识记 角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍 枧察余弦定理,指明了三边长与其中一角 使学生明确对应 结构分析的具体关系,并发现a与A,b与B,C 之间的对应表述,同时发现三边长的平 加深记忆 关系,树立方程 思想,解决“边 在余弦定理中同时出现 角、边”问题 余弦定理的推论: b2+c2-a2 26c 知识联系 b 拓展识记 解决“边、边、边” cosB= ac 2ab 用准确的量化关 系去解决问题 怎样准确地解答引入中的两个问题? 用边长去判断 方法用怎样利用已知条件判断三角形的形状? 思考分析 角形形状,勾股 定理是余弦定理 特例
2011 教师教育技术培训 4 教学过程的设计 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 归纳概括 余弦定理： a b c 2bc cos A 2 2 2 = + − b a c 2ac cos B 2 2 2 = + − c a b 2abcosC 2 2 2 = + − 三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍。 说出余弦定理内 容，记忆余弦定理 知识归纳比较， 发现特征，加强 识记 结构分析 观察余弦定理，指明了三边长与其中一角 的具体关系，并发现 a 与 A，b 与 B，C 与 c 之间的对应表述，同时发现三边长的平方 在余弦定理中同时出现 加深记忆 使学生明确对应 关系，树立方程 思想，解决“边、 角、边”问题 知识联系 余弦定理的推论： bc b c a A 2 cos 2 2 2 + − = ac a c b B 2 cos 2 2 2 + − = ab a b c C 2 cos 2 2 2 + − = 拓展识记 解决“边、边、边” 问题 方法应用 怎样准确地解答引入中的两个问题？ 怎样利用已知条件判断三角形的形状？ 思考分析 用准确的量化关 系去解决问题， 用边长去判断三 角形形状，勾股 定理是余弦定理 特例
例1:在△ABC中,已知b=60m,c=34cm 应用数学知识求 41°,求解三角形(角度精确到1 解问题加强计算 长精确到lcm) 器的运算功能, 同时,巩固好正 知识应用 思考分析,解题 定理,余弦定 理知识,发现两 例2:在△ABC中,已知a=1346cm,b 7.8cm,c=161.7cm,解三角形(角度精矿 种知识方法在解 倒到1′) 三角形中的综 应用。 例3己知△ABC中a=3,b=3, 继续深化正弦、 求c边长 余弦定理,尤其 是余弦定理的方 分析 程思想求解问题 知识深化(1)用正弦定理分析引导 思考分析,解题优越于余弦定 (2)应用定理a2=b2+c2-2 bc cos a 理。并让学生初 步发现“边、边、 构造关于C的方程求解 角”问题解法,为 (3)比较两种方法的利弊。能用正弦定理 下节学习辅垫。 解决的问题均可以用余弦定理解决,更 有优越性 某人站在山顶向下看一列车队向山脚 来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差 停于他看见第二辆与第三辆车的俯角差, 则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辋 车的距离d2之间关系为() B: d= d 用练习去巩固所 学知识,使学 练习检测FC:d<d2 D:大小不确定 逐步形成良好的 练习巩固 知识结构,加 锐角△ABC中b=1,c=2,则a取值 数学知识应用能 力的培养 A:(1,3) B:(1,√3) 3、在△ABC中若有 acos a= bcos b,f 能判断这个三角形的形状吗? coSB= bcos a呢?
2011 教师教育技术培训 5 知识应用 例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm， A＝41°，求解三角形（角度精确到 1°， 边长精确到 1cm） 例 2：在△ABC 中，已知 a＝134.6cm，b＝ 87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精确 到 1′） 思考分析，解题 应用数学知识求 解问题加强计算 器的运算功能， 同时，巩固好正 弦定理，余弦定 理知识，发现两 种知识方法在解 三角形中的综合 应用。 知识深化 例 3：已知△ABC 中 a = 3，b = 3 ， 3 6 sin A = ，求 c 边长 分析： （1）用正弦定理分析引导 （2）应用定理 a b c 2bc cos A 2 2 2 = + − ， 构造关于 C 的方程求解。 （3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理 解决的问题均可以用余弦定理解决，更具 有优越性。 思考分析，解题 继续深化正弦、 余弦定理，尤其 是余弦定理的方 程思想求解问题 优越于余弦定 理。并让学生初 步发现“边、边、 角”问题解法，为 下节学习辅垫。 练习检测 1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶 来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差 等于他看见第二辆与第三辆车的俯角差， 则第一辆车与第二辆车的距离 1 d 与第二辆 车的距离 2 d 之间关系为（ ） A： 1 d > 2 d B： 1 d = 2 d C： 1 d < 2 d D：大小不确定 2、锐角△ABC 中 b＝1，c＝2，则 a 取值为 （ ） A：（1,3） B：（1, 3 ） C：（ 3 ，2） D：（ 3 ， 5 ） 3、在△ABC 中若有 acos A = bcosB ，你 能判断这个三角形的形状吗？若 acosB = bcos A 呢？ 练习巩固 用练习去巩固所 学知识，使学生 逐步形成良好的 知识结构，加强 数学知识应用能 力的培养
、正弦、余弦定理各能解决哪些类型 通过知识回顾 课堂小结题?各有什么利与弊? 思考总结 使学生各自体会 从本课中你学到了哪些知识和方法? 收获 讨论余弦定理的其它解法设计思路。 作业布置、第11页A组3、4题 记录 巩固知识
2011 教师教育技术培训 6 课堂小结 1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问 题？各有什么利与弊？ 2、从本课中你学到了哪些知识和方法？ 思考总结 通过知识回顾， 使学生各自体会 收获。 作业布置 1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。 2、第 11 页 A 组 3、4 题 记录 巩固知识