正弦定理综合练习题 在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,a=2,则b等于() 2.在△BC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( √3 3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=60°,a=4√3,b=4V2,则角B为() A.45°或135° B.13 C.45°D.以上答案都不对 在△ABC中,a:b:c=1:5:6,则sinA:sinB:sinC等于() A.1:5:6 B.6:5:1 C.6:1:5 D.不确定 解析:选A由正弦定理知sinA:siB:siC=a:b:c=1:5:6 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A=105°,B=45°,b=V2,则c=( a b 6.在△ABC中,若 coSB a’则△ABC是() A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 7.已知△ABC中,AB=√3,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积为( √3 D或2 8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c若c=√2,b=√6,B=120°,则a等于() D. 2 9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c=√5,C=3,则A= 10.在△ABC中,已知“3,b=4,A=30°,则sinB= 11.在△ABC中,已知∠A=30°,∠B=120°,b=12,则a+c= 12.在△ABC中,a=2 bosc,则△ABC的形状为 13.在△ABC中,A=60a=6V3,b=12,SABC=183,则=m+5mB+smc 14.已知△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,a=1,则 sin a-2sin b+sin c 15.在△ABC中,已知a=3y,cosC=1,S△ABC=4√3,则b 6.在△ABC中,b=43,C=30°,c=2,则此三角形有组解 17.如图所示,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线 的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半 小时后船到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少? 18在△ABC中,ab、c分别为角A、B、C的对边,若a=2V,sn202= sin Bsin C=cos2 求A、B及b、c 1在B中,4、B为锐角,角A、B、C所对应的边分别为0、6、且c2=3,mB0 (1)求A+B的值:(2)若a-b=√2-1,求a,b,c的值 0.△ABC中,ab=60√5,sinB=smnC,△ABC的面积为15√3,求边b的长
1 正弦定理综合练习题 1．在△ABC 中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则 b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D．2 6 2．在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C＝75°，则 b 等于( ) A．4 2 B．4 3 C．4 6 D. 32 3 3．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则角 B 为( ) A．45°或 135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则 sinA∶sinB∶sinC 等于( ) A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定 解析：选 A.由正弦定理知 sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若 A＝105°，B＝45°，b＝ 2，则 c＝( ) A．1 B. 1 2 C．2 D. 1 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ b a ，则△ABC 是( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC 的面积为( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2 或 3 D. 3 4 或 3 2 8．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120°，则 a 等于( ) A. 6 B．2 C. 3 D. 2 9．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a＝1，c＝ 3，C＝ π 3 ，则 A＝________. 10．在△ABC 中，已知 a＝ 4 3 3 ，b＝4，A＝30°，则 sinB＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则 a＋c＝________. 12．在△ABC 中，a＝2bcosC，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A＝60°，a＝6 3，b＝12，S△ABC＝18 3，则 a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC ＝________，c＝________. 14．已知△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则 a－2b＋c sin A－2sin B＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知 a＝3 2，cosC＝ 1 3 ，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 16．在△ABC 中，b＝4 3，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线 的水平转角)为 140°的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°，航行半 小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？ 18．在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若 a＝2 3，sinC 2 cos C 2 ＝ 1 4 ，sin Bsin C＝cos2 A 2 ， 求 A、B 及 b、c. 19．在△ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，且 cos 2A＝ 3 5 ，sin B＝ 10 10 (1)求 A＋B 的值；(2)若 a－b＝ 2－1，求 a，b，c 的值． 20．△ABC 中，ab＝60 3，sin B＝sin C，△ABC 的面积为 15 3，求边 b 的长．
余弦定理综合练习题 1.在△4BC中,如果BC=6,4B=4,COsB=3,那么AC等于() C.3√6 D.4 2.在△ABC中,a=2,b=√5-1,C=30°,则c等于() A√3 B√2 C√5 3.在△ABC中,a2=b2+c2+√5bc,则∠A等于 A.60° B.45 C.120° D.150° 4.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2xanB=√3e,则∠B的值为() 5.在△ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边,则 acos+bcos4等于() D.以上均不对 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定 7.已知锐角三角形ABC中,团B=4,=1,△ABC的面积为3,则的值为 B.-2 8.在△ABC中,b=√3,c=3,B=30°,则a为() A C√或2 9.已知△ABC的三个内角满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为 10.△ABC中,sin4:sinB:smnC=(√3-1):(3+1):√10,求最大角的度数 11.已知a、b、c是△ABC的三边,S是△ABC的面积,若a=4,b=5,S=5√3,则边c的值为 12.在△ABC中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cosA:cosB:cosC 13.在△ABC中,a=3,cosC=-,S△ABC=4√5,则b= 14.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则ABC的值为 15.已知△ABC的三边长分别是a、b、c,且面积S 4,则角C 16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为 17.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2V3x+2=0的两根,且2cos(4+B)=1,求AB的长 18.已知△ABC的周长为√2+1,且smA+smB=√mC(球边AB的长:(2)若△ABC的面积为smC,求角 C的度数 19.在△ABC中,BC=√,AC=3,smC=2mA(1)求AB的值:(2)求s24-的值 20.在△ABC中,已知(a+b+ca+b-c)=3ab,且2 cos asin B=sinC,确定△ABC的形状 2
2 余弦定理综合练习题 源网 1．在△ABC 中，如果 BC＝6，AB＝4，cosB＝ 1 3 ，那么 AC 等于( ) A．6 B．2 6 C．3 6 D．4 6 2．在△ABC 中，a＝2，b＝ 3－1，C＝30°，则 c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋ 3bc，则∠A 等于( ) A．60° B．45° C．120° D．150° 4．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，若(a 2＋c 2－b 2 )tanB＝ 3ac，则∠B 的值为( ) A. π 6 B. π 3 C. π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3 5．在△ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，则 acosB＋bcosA 等于( ) A．a B．b C．c D．以上均不对 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 7．已知锐角三角形 ABC 中，|AB→|＝4，|AC→ |＝1，△ABC 的面积为 3，则AB→·AC→的值为( ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 8．在△ABC 中，b＝ 3，c＝3，B＝30°，则 a 为( ) A. 3 B．2 3 C. 3或 2 3 D．2 9．已知△ABC 的三个内角满足 2B＝A＋C，且 AB＝1，BC＝4，则边 BC 上的中线 AD 的长为________． 10．△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝( 3－1)∶( 3＋1)∶ 10，求最大角的度数． 11．已知 a、b、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若 a＝4，b＝5，S＝5 3，则边 c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则 cos A∶cos B∶cos C＝________. 13．在△ABC 中，a＝3 2，cos C＝ 1 3 ，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 14．已知△ABC 的三边长分别为 AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________． 15．已知△ABC 的三边长分别是 a、b、c，且面积 S＝ a 2＋b 2－c 2 4 ，则角 C＝________. 16．(2011 年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a，b 是方程 x 2－2 3x＋2＝0 的两根，且 2cos(A＋B)＝1，求 AB 的长． 18．已知△ABC 的周长为 2＋1，且 sin A＋sin B＝ 2sin C.(1)求边 AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1 6 sin C，求角 C 的度数． 19．在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求 AB 的值；(2)求 sin(2A－ π 4 )的值． 20．在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cos Asin B＝sinC，确定△ABC 的形状．
正弦定理综合练习题答案 1.在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,a=2,则b等于() 解析:选A应用正弦定理得 求 b≈ asin ina sin B sInA 2.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于() A.4 √5 解析:选CA=45°,由正弦定理得b= 3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=60°,a=4√3,b=4,则角B为( A.45或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对 解析:选C由正弦定理sn4 a5,又ah,∴BAC,∴∠C有两解,即∠C=60°或120°,∴∠A=90°或 30°再由S△ABC= AB.ACsinA可求面积 8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c若c=,b=V6,B=120°,则a等于() √6B. D 解析:选D由正弦定理得6=2:smC-1又:C为锐角,则C=0,∴:A=30, △ABC为等腰三角形,a=c=√2 9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c=√5,C=3,则A= asic I 解析:由正弦定理得:=,所以sm=c2 a<c,∴A<C 答案:
3 正弦定理综合练习题答案 1．在△ABC 中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则 b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D．2 6 解析：选 A.应用正弦定理得： a sinA ＝ b sinB ，求得 b＝ asinB sinA ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C＝75°，则 b 等于( ) A．4 2 B．4 3 C．4 6 D. 32 3 解析：选 C.A＝45°，由正弦定理得 b＝ asinB sinA ＝4 6. 3．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则角 B 为( ) A．45°或 135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：选 C.由正弦定理 a sinA ＝ b sinB 得：sinB＝ bsinA a ＝ 2 2 ，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°. 4．在△ABC 中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则 sinA∶sinB∶sinC 等于( ) A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定 解析：选 A.由正弦定理知 sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若 A＝105°，B＝45°，b＝ 2，则 c＝( ) A．1 B. 1 2 C．2 D. 1 4 解析：选 A.C＝180°－105°－45°＝30°，由 b sinB ＝ c sinC 得 c＝ 2×sin 30° sin45° ＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ b a ，则△ABC 是( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选 D.∵ b a ＝ sin B sin A ，∴ cos A cos B ＝ sin B sin A ， sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B 即 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，即 A＝B，或 A＋B＝ π 2 . 7．已知△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC 的面积为( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2 或 3 D. 3 4 或 3 2 解析：选 D. AB sinC ＝ AC sinB ，求出 sinC＝ 3 2 ，∵AB＞AC，∴∠C 有两解，即∠C＝60°或 120°，∴∠A＝90°或 30°.再由 S△ABC＝ 1 2 AB·ACsinA 可求面积． 8．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120°，则 a 等于( ) A. 6 B．2 C. 3 D. 2 解析：选 D.由正弦定理得 6 sin120°＝ 2 sinC ，∴sinC＝ 1 2 .又∵C 为锐角，则 C＝30°，∴A＝30°， △ABC 为等腰三角形，a＝c＝ 2. 9．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a＝1，c＝ 3，C＝ π 3 ，则 A＝________. 解析：由正弦定理得： a sinA ＝ c sinC ，所以 sinA＝ a·sinC c ＝ 1 2 . 又∵a＜c，∴A＜C＝ π 3 ，∴A＝ π 6 . 答案：π 6
10.在△ABC中,已知a=45 3,b=4,A=30°,则sinB= 解析:由正弦定理得mn7=5B=m公飞 w√3 答案 11.在△ABC中,已知∠A=30°,∠B=120°,b=12,则a+c= 12xsin30° 解析:C=180°-120°-30°=30°,∴a=c,由 sina sinB sinl20° 答案:83 12.在△ABC中,a=2 bcoso,则△ABC的形状为 解析:由正弦定理,得a=2 Rsina,b=2R·sinB,代入式子a=2 bosc,得2 Sina=2·2R· sinB cosc 所以snA=2 sin.cosc,即 sinB cosc+ cosBs inC=2 sinB coso,化简,整理,得sin(B-C)=0. 0°<B<180°,0°<C<180°,∴-180°<B-C<180°,∴B-C=0°,B=C. 答案:等腰三角形 a+btc 13.在△ABC中,A=60°,a=6√3,b=12,S△ABC=18√3,则 +sinB+sinC im+s+smC=smm0=1,2又8=:21090=1 a+b+c 解析:由正弦定理得 6.答案:126 a-2b+c 14.已知△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,a=1,则 sin A-2sin B+sin C 解析:由∠A:∠B:∠C=1:2:3得,∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,∴2R= InA sin30° 又∵a=2 Rsin A,b=2 Rsin b,c=2RsnC, a-2b+c 2R sin A-2sin B+sin C sin A-2sin B+sin C sin A-2sin B+sin C 2R=2 答案:2 15.在△ABC中,已知a=3E,coC=1,sBc=4√5,则b 解析:依题意,smC=32 S△BC= absinC=4√5,解得b=2√答案:2√5 16.在△ABC中,b=4√5,C=30°,c=2,则此三角形有 组解. 解析:∵bmC=4√3×=2√3且c=2,∴c< casing,∴此三角形无解.答案:0 17.如图所示,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时后船到达C点,观测灯塔 A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少? 解:在△ABC中,BC=40×=20, 0° ∠ABC=140°-110°=30°,∠ACB=(180°-140°)+65°=105°, 所以∠A=180°-(0°+105°)=45°,由正弦定理得 BC,sin∠ABC20sin3 AC InA 5n45=102(km).即货轮到达C点时,与灯塔A的距离是10Vkm 18.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a=2√3,smC0=1. sin Bsin C=cos4,求A、B 及 解:由sin元os=,得snC=,又C∈(0,x),所以C=或 由 sin Bsin C=co2,得 sin Bsin C=[1-cos(B+C),即2 esin Bsin C=1-cos(B+O) 即2 sin bsin c+cos(B+C)=1,变形得 cos Bcos c+ sin bsin c=1
4 10．在△ABC 中，已知 a＝ 4 3 3 ，b＝4，A＝30°，则 sinB＝________. 解析：由正弦定理得 a sinA ＝ b sinB ⇒sinB＝ bsinA a ＝ 4× 1 2 4 3 3 ＝ 3 2 .答案： 3 2 11．在△ABC 中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则 a＋c＝________. 解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由 a sinA ＝ b sinB 得，a＝ 12×sin30° sin120°＝4 3，∴a＋c＝8 3. 答案：8 3 12．在△ABC 中，a＝2bcosC，则△ABC 的形状为________． 解析：由正弦定理，得 a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子 a＝2bcosC，得 2RsinA＝2·2R·sinB·cosC， 所以 sinA＝2sinB·cosC，即 sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化简，整理，得 sin(B－C)＝0. ∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形 13．在△ABC 中，A＝60°，a＝6 3，b＝12，S△ABC＝18 3，则 a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC ＝________，c＝________. 解析：由正弦定理得 a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC ＝ a sinA ＝ 6 3 sin60°＝12，又 S△ABC＝ 1 2 bcsinA，∴ 1 2 ×12×sin60°×c＝18 3， ∴c＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则 a－2b＋c sin A－2sin B＋sin C ＝________. 解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝ a sinA ＝ 1 sin30°＝2， 又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，∴ a－2b＋c sin A－2sin B＋sin C ＝ 2R sin A－2sinB＋sin C sin A－2sin B＋sin C ＝2R＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知 a＝3 2，cosC＝ 1 3 ，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 解析：依题意，sinC＝ 2 2 3 ，S△ABC＝ 1 2 absinC＝4 3，解得 b＝2 3.答案：2 3 16．在△ABC 中，b＝4 3，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解． 解析：∵bsinC＝4 3× 1 2 ＝2 3且 c＝2，∴c<bsinC，∴此三角形无解．答案：0 17．如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140°的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？ 解：在△ABC 中，BC＝40× 1 2 ＝20， ∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得 AC＝ BC·sin∠ABC sinA ＝ 20sin30° sin45°＝10 2(km)．即货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是 10 2 km. 18．在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若 a＝2 3，sinC 2 cos C 2 ＝ 1 4 ，sin Bsin C＝cos2 A 2 ，求 A、B 及 b、c. 解：由 sinC 2 cos C 2 ＝ 1 4 ，得 sinC＝ 1 2 ，又 C∈(0，π)，所以 C＝ π 6 或 C＝ 5π 6 . 由 sin Bsin C＝cos2 A 2 ，得 sin Bsin C＝ 1 2 [1－cos(B＋C)]，即 2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)， 即 2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1
即cosB-C)=1,所以B=C=2,B=C=5舍去),A=x-(B+C)= b sin B 由正弦定理 a sinb sin c =2√3×-=2故A B==,b=c=2 19.在△ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且cos2A=3,smB=10(0)求4+ B的值:(2)若a-b=√2-1,求a,b,c的值 解:(1)∴:A、B为锐角,sinB=1,∴cosB=yl-sm2B=10 又cos2A=1-2sin2A COs A os4+B)= cos Acos B- sin Asin B=2×10-510=2又0<A+B≤x,∴4+B=4 (2)由(1)知,C 由正弦定理:bc √c,即a=VEb,c=√5b √2b-b=√2 =VE,c=√5 20.△ABC中,ab=60√3,sinB=smnC,△ABC的面积为15,求边b的长 解:由S= absin C得,155=1×605×mnC,∴smC=1,:∠C=3150 又sinB=sinC,故∠B=∠C当∠C=30时,∠B=30°,∠A=120° 又:mb=605.如=,:b=5当∠C=1509时,∠B=150舍去故边b的长为2√5 余弦定理综合练习题答案 1.在△ABC中,如果BC=6,AB=4,cosB=3,那么AC等于() A.6B.2 √6 D.4y6 解析:选A由余弦定理,得 AC=NAB2+BC2-2AB.BCcosB 2+62-2×4×6×=6 2.在△ABC中,a=2,b=√3-1,C=30°,则c等于() A√3B√2 √5 解析:选B由余弦定理,得c2=a2+b2-2 abcosc 2-2x2x(3-1)cos30° √2 在△ABC中,a2=b2+c2+√3be,则∠A等于 A.60°B.45°C.120° D.150 解析:选Dcos∠A≈b+c2- be√5 0°<∠A<18 ∠A=150° 4.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)anB=√ac,则∠B的值为() 解析:选D由G+-60nB=5,联想到余弦定理,代入得c8=2+2-b=Y1=Y5osB
5 即 cos(B－C)＝1，所以 B＝C＝ π 6 ，B＝C＝ 5π 6 (舍去)，A＝π－(B＋C)＝ 2π 3 . 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ，得 b＝c＝a sin B sin A ＝2 3× 1 2 3 2 ＝2.故 A＝ 2π 3 ，B＝ π 6 ，b＝c＝2. 19．在△ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，且 cos 2A＝ 3 5 ，sin B＝ 10 10 .(1)求 A＋ B 的值；(2)若 a－b＝ 2－1，求 a，b，c 的值． 解：(1)∵A、B 为锐角，sin B＝ 10 10 ，∴cos B＝ 1－sin2B＝ 3 10 10 . 又 cos 2A＝1－2sin2A＝ 3 5 ，∴sinA＝ 5 5 ，cos A＝ 2 5 5 ， ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝ 2 5 5 × 3 10 10 － 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 .又 0＜A＋B＜π，∴A＋B＝ π 4 . (2)由(1)知，C＝ 3π 4 ，∴sin C＝ 2 2 . 由正弦定理： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C 得 5a＝ 10b＝ 2c，即 a＝ 2b，c＝ 5b.∵a－b＝ 2－1，∴ 2b－b＝ 2－1，∴b＝1. ∴a＝ 2，c＝ 5. 20．△ABC 中，ab＝60 3，sin B＝sin C，△ABC 的面积为 15 3，求边 b 的长． 解：由 S＝ 1 2 absin C 得，15 3＝ 1 2 ×60 3×sin C，∴sin C＝ 1 2 ，∴∠C＝30°或 150°. 又 sin B＝sin C，故∠B＝∠C.当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°. 又∵ab＝60 3， a sin A ＝ b sin B ，∴b＝2 15.当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．故边 b 的长为 2 15. 余弦定理综合练习题答案 源网 1．在△ABC 中，如果 BC＝6，AB＝4，cosB＝ 1 3 ，那么 AC 等于( ) A．6 B．2 6 C．3 6 D．4 6 解析：选 A.由余弦定理，得 AC＝ AB 2＋BC2－2AB·BCcosB＝ 4 2＋6 2－2×4×6× 1 3 ＝6. 2．在△ABC 中，a＝2，b＝ 3－1，C＝30°，则 c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D．2 解析：选 B.由余弦定理，得 c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝2 2＋( 3－1)2－2×2×( 3－1)cos30°＝2，∴c＝ 2. 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋ 3bc，则∠A 等于( ) A．60° B．45° C．120° D．150° 解析：选 D.cos∠A＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ － 3bc 2bc ＝－ 3 2 ，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°. 4．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，若(a 2＋c 2－b 2 )tanB＝ 3ac，则∠B 的值为( ) A. π 6 B. π 3 C. π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3 解析：选 D.由(a 2＋c 2－b 2 )tanB＝ 3ac，联想到余弦定理，代入得 cosB＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ＝ 3 2 · 1 tanB ＝ 3 2 · cosB sinB
显然∠ 5.在△ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边,则 acos B+ bosa等于() bb C D.以上均不对 解析:选C2+c-b2,b2+c2-a2e=c 2ac 2bc 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定 解析:选A设三边长分别为a,b,c且a2+b2 设增加的长度为m,则c+m>a+m,c+m>b+m 又(a+m)2+(b+m)2=a2+b2+2(a+bm+2m2>c2+2cm+m2=(c+m2 ∵.三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形 7.已知锐角三角形ABC中,团=4,=1,△ABC的面积为√3,则A的值为() 解析:选ASm=5-m号41m,:m(=x:△BC为锐角三角形, cosA==,∴ABAC=4 8.在△ABC中,b=√3,c=3,B=30°,则a为() A√3B.2√3C√3或2 解析:选C在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2 accosT,即3 a2-3√5a+6=0,解得a=√或23 9.已知△ABC的三个内角满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为 解析:∵2B=4+C,A+B+C=π,∴B= 在△ABD中,AD=√AB2+BD2-2 AB. BDcosB 1+4-2×1×2x=√3 答案:3 10.△ABC中,sn4:smnB:snC=(3-1):(+1):√10,求最大角的度数 解:∵sn4:snB:snC=(√3-1):(3+1):√ 设a=(3-1),b=(3+1),c=√10M(k>0,∴c边最长,即角C最大.由余弦定理,得 cC=2+b=c2=-1,又c∈0,180,;c=120 11.已知a、b、c是△ABC的三边,S是△ABC的面积,若a=4,b=5,S=5√,则边c的值为 解析:S= absinc,sinC 2…=60°或120°c0sC=士,又:c2=a2+b2-2 accost ∴c2=21或61,∴c=√21或√61答案:√21或√6l 12.在△ABC中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cosA:cosB:cos 解析:由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:snC=2:3:4, a2+c2-b22k2+4k2-3k211 设a=2k(k>0),则b=3k,c=4k, cos B: 2×2k×4k 16 同理可得:c0小 8. C=4'.COs A: cos B:cos C=14: 11:(- 答案:14:11:(-4) 13.在△ABC中,a=3V2,cosC=,S△ABC=4√3,则b 答案:213,:mC3又SAB=2hmnC=5,吗的的冷、5=,:b=5 解析:∵cosC
6 显然∠B≠ π 2 ，∴sinB＝ 3 2 .∴∠B＝ π 3 或 2π 3 . 5．在△ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，则 acosB＋bcosA 等于( ) A．a B．b C．c D．以上均不对 解析：选 C.a· a 2＋c 2－b 2 2ac ＋b· b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ 2c 2 2c ＝c. 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 解析：选 A.设三边长分别为 a，b，c 且 a 2＋b 2＝c 2 . 设增加的长度为 m，则 c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m， 又(a＋m) 2＋(b＋m) 2＝a 2＋b 2＋2(a＋b)m＋2m2＞c 2＋2cm＋m2＝(c＋m) 2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形． 7．已知锐角三角形 ABC 中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC 的面积为 3，则AB→·AC→ 的值为( ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：选 A.S△ABC＝ 3＝ 1 2 |AB→|·|AC→|·sinA＝ 1 2 ×4×1×sinA，∴sinA＝ 3 2 ，又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cosA＝ 1 2 ，∴AB→·AC→ ＝4×1× 1 2 ＝2. 8．在△ABC 中，b＝ 3，c＝3，B＝30°，则 a 为( ) A. 3 B．2 3 C. 3或 2 3 D．2 解析：选 C.在△ABC 中，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2accosB，即 3＝a 2＋9－3 3a， ∴a 2－3 3a＋6＝0，解得 a＝ 3或 2 3. 9．已知△ABC 的三个内角满足 2B＝A＋C，且 AB＝1，BC＝4，则边 BC 上的中线 AD 的长为________． 解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝ π 3 . 在△ABD 中，AD＝ AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝ 1＋4－2×1×2× 1 2 ＝ 3. 答案： 3 10．△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝( 3－1)∶( 3＋1)∶ 10，求最大角的度数． 解：∵sinA∶sinB∶sinC＝( 3－1)∶( 3＋1)∶ 10，∴a∶b∶c＝( 3－1)∶( 3＋1)∶ 10. 设 a＝( 3－1)k，b＝( 3＋1)k，c＝ 10k(k＞0)，∴c 边最长，即角 C 最大．由余弦定理，得 cosC＝ a 2＋b 2－c 2 2ab ＝－ 1 2 ，又 C∈(0°，180°)，∴C＝120°. 11．已知 a、b、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若 a＝4，b＝5，S＝5 3，则边 c 的值为________． 解析：S＝ 1 2 absinC，sinC＝ 3 2 ，∴C＝60°或 120°.∴cosC＝± 1 2 ，又∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC， ∴c 2＝21 或 61，∴c＝ 21或 61.答案： 21或 61 12．在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则 cos A∶cos B∶cos C＝________. 解析：由正弦定理 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 设 a＝2k(k＞0)，则 b＝3k，c＝4k，cos B＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ＝ 2k 2＋ 4k 2－ 3k 2 2×2k×4k ＝ 11 16， 同理可得：cos A＝ 7 8 ，cos C＝－ 1 4 ，∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4) 13．在△ABC 中，a＝3 2，cos C＝ 1 3 ，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 解析：∵cos C＝ 1 3 ，∴sin C＝ 2 2 3 .又 S△ABC＝ 1 2 absinC＝4 3，即1 2 ·b·3 2· 2 2 3 ＝4 3，∴b＝2 3. 答案：2 3
14.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则B的值为 解析:在△ABC中,cosB AB2+BC2-AC249+25-3619 2AB. BC 2×7×535 ∴ABC= BI. BCI cos(t-B)=7×5x( 19答案:-19 15.已知△ABC的三边长分别是a、b、c,且面积S= 则角C= 解析: raisinG=S= a2+b2-c2 a2+b2-c2 ab 1 bcoso,∴sinC=cosC,∴tanC=1,∴C=45°答案:45° 16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为 解析:设三边长为k-1,k,k+1(2,k∈N) 「k2+k-12-k+12k+1 最小角的余弦值为_2 32+4-222然安,2 2×3×48 17.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-23x+2=0的两根,且2cos(+B)=1,求AB的长 解:∵A+B+C=兀且2cos(A+B)=1,∴cos(π-C)=,即cosC= 又∵a,b是方程x2-23x+2=0的两根,∴a+b=2√3,ab=2…ABP2=4C2+BC2-2 AC BC.cosc a2+b2-2ab(-1)=a2+b2+ab=a+b}-ab=(2√5}-2=10,:AB=√10 18.已知△ABC的周长为2+1,且sinA+smnB=2sinC (1)求边AB的长:(2)若△ABC的面积为snC,求角C的度数 解:(1)由题意及正弦定理得AB+BC+AC=√2+1,BC+AC=√AB,两式相减,得AB=1 (2)由△ABC的面积 BC. ACsin C= =-sin C,得BCC≈ AC2+BC2-AB2 AC+BC 2-2AC. BC-A 由余弦定理得cosC=2ACBC 2AC·BC 所以C=60° 19.在△ABC中,BC=√5,AC=3,smnC=2smA (1)求AB的值:(2)求sin(2A一)的值 解:(1)在△ABC中,由正弦定理 inC sin A,得ABsn √5 AB2+AC2-BC22√5 (2)在△ABC中,根据余弦定理,得cosA 于是sinA cos2=从而sin2A 2 sin acos小孓 scos2A=cos2A-smn2A=所以sm(2小~ in 2Acos--cos 2Asir 20.在△ABC中,已知(a+b+ca+b-c)=3ab,且2 cos Asin B=sinC,确定△ABC的形状 解:由正弦定理,得迎C=由2c05AmB=mnC,有cosA=smCn=C 又根据余弦定理,得 b 2bc ,即c2=b2+c2-a2,所以a=b 又因为(a+b+ca+b-c)=3ab,所以a+b2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2 所以b=c,所以a=b=C,因此△ABC为等边三角形
7 14．已知△ABC 的三边长分别为 AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→ 的值为________． 解析：在△ABC 中，cosB＝ AB2＋BC2－AC2 2AB·BC ＝ 49＋25－36 2×7×5 ＝ 19 35， ∴AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos(π－B)＝7×5×(－ 19 35)＝－19.答案：－19 15．已知△ABC 的三边长分别是 a、b、c，且面积 S＝ a 2＋b 2－c 2 4 ，则角 C＝________. 解析：1 2 absinC＝S＝ a 2＋b 2－c 2 4 ＝ a 2＋b 2－c 2 2ab · ab 2 ＝ 1 2 abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.答案：45° 16．(2011 年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为 k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)， 则 k 2＋ k－1 2－ k＋1 2＜0 k＋k－1＞k＋1 ⇒2＜k＜4，∴k＝3，故三边长分别为 2,3,4， ∴最小角的余弦值为3 2＋4 2－2 2 2×3×4 ＝ 7 8 .答案：7 8 17．在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a，b 是方程 x 2－2 3x＋2＝0 的两根，且 2cos(A＋B)＝1，求 AB 的长． 解：∵A＋B＋C＝π 且 2cos(A＋B)＝1，∴cos(π－C)＝ 1 2 ，即 cosC＝－ 1 2 . 又∵a，b 是方程 x 2－2 3x＋2＝0 的两根，∴a＋b＝2 3，ab＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC ＝a 2＋b 2－2ab(－ 1 2 )＝a 2＋b 2＋ab＝(a＋b) 2－ab＝(2 3) 2－2＝10，∴AB＝ 10. 18．已知△ABC 的周长为 2＋1，且 sin A＋sin B＝ 2sin C. (1)求边 AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1 6 sin C，求角 C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理得 AB＋BC＋AC＝ 2＋1，BC＋AC＝ 2AB，两式相减，得 AB＝1. (2)由△ABC 的面积1 2 BC·AC·sin C＝ 1 6 sin C，得 BC·AC＝ 1 3 ， 由余弦定理得 cos C＝ AC2＋BC2－AB2 2AC·BC ＝ AC＋BC 2－2AC·BC－AB2 2AC·BC ＝ 1 2 ， 所以 C＝60°. 19．在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求 AB 的值；(2)求 sin(2A－ π 4 )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理 AB sin C ＝ BC sin A ，得 AB＝ sinC sinA BC＝2BC＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A＝ AB2＋AC2－BC2 2AB·AC ＝ 2 5 5 ，于是 sin A＝ 1－cos2A＝ 5 5 .从而 sin 2A ＝2sin Acos A＝ 4 5 ，cos 2A＝cos2 A－sin2 A＝ 3 5 .所以 sin(2A－ π 4 )＝sin 2Acos π 4 －cos 2Asinπ 4 ＝ 2 10 . 20．在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cos Asin B＝sinC，确定△ABC 的形状． 解：由正弦定理，得sin C sin B ＝ c b .由 2cos Asin B＝sin C，有 cosA＝ sinC 2sin B ＝ c 2b . 又根据余弦定理，得 cos A＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ，所以 c 2b ＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ，即 c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以 a＝b. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b) 2－c 2＝3ab，所以 4b 2－c 2＝3b 2， 所以 b＝c，所以 a＝b＝c，因此△ABC 为等边三角形．