第2课时高度、角度问题 [课时作业] [A组基础巩固] 1.某次测量中,甲在乙的北偏东55°,则乙在甲的( A.北偏西35 B.北偏东55° C.南偏西35° D.南偏西55° 解析:如图可知,D项正确 答案:D 2.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于akm,灯塔A在观测站C的北偏东20° 方向上,灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为() A. a ki B 解析:∵∠ACB=120°,AC=BC=a ∴由余弦定理知AB=y3a 答案:B 3.从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60°:从电视塔的西偏南30°的B处, 测得塔顶仰角为45°,A,B间距离是35m,则此电视塔的高度是() B.10m 4900 C. D.35 解析:作出示意图,设塔高OC为hm 在△OAC中,O=、方 tan 60 A OB=b.AB=35,∠AOB=150° 由余弦定理求得h=5V21 答案:A 4.如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45° 和30°,已知C=100米,点C位于B上,则山高AB等于()
1 第 2 课时 高度、角度问题 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1．某次测量中，甲在乙的北偏东 55°，则乙在甲的( ) A．北偏西 35° B．北偏东 55° C．南偏西 35° D．南偏西 55° 解析：如图可知，D 项正确． 答案：D 2．已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20° 方向上，灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40°方向上，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A．a km B. 3a km C. 2a km D. 2a km 解析：∵∠ACB＝120°， AC＝BC＝a， ∴由余弦定理知 AB＝ 3a. 答案：B 3．从某电视塔的正东方向的 A 处，测得塔顶仰角是 60°；从电视塔的西偏南 30°的 B 处， 测得塔顶仰角为 45°，A，B 间距离是 35 m，则此电视塔的高度是( ) A．5 21 m B．10 m C. 4 900 13 m D．35 m 解析：作出示意图，设塔高 OC 为 h m. 在△OAC 中，OA＝ h tan 60°＝ 3 3 h， OB＝h.AB＝35，∠AOB＝150°， 由余弦定理求得 h＝5 21. 答案：A 4.如图，从山顶 A 望地面上 C，D 两点，测得它们的俯角分别为 45° 和 30°，已知 CD＝100 米，点 C 位于 BD 上，则山高 AB 等于( )
A.100米 B.50√3米 √2米 D.50(3+1)米 解析:在△ACD中,CD=100米,∠D=30°,∠DAC=∠ACB-∠D=45°-30°=15°,∴ sin∠Dsin∠DAC CDin D 100sin 30 ∴AC= sin∠ DAC sin15° 在△ABC中,∠ACB=45°,∠ABC=90°,AC=50 sin15。米,∴AB=Asin45°=50sin45 in15° (√3+1)米 答案:D 5.一船向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方向, 则这只船的速度是() A.15海里 C.10海里/时 D.20海里/时 解析:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠ CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5, 于是这只船的速度是10海里/时 答案: 6.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿 北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BC=45°,则塔AB D 的高是米 解析:在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90° =105°,∠DBC=30°,由正弦定理得 sIn CDin45° 则BC=51n30°=10V2在Rt△ABC 中,tan60° 所以AB= BAtan60°=10y6. 答案:10√6 7.如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼 2
2 A．100 米 B．50 3 米 C．50 2米 D．50( 3＋1)米 解析：在△ACD 中，CD＝100 米，∠D＝30°，∠DAC＝∠ACB－∠D＝45°－30°＝15°，∴ AC sin∠D ＝ CD sin∠DAC . ∴AC＝ CDsin D sin∠DAC ＝ 100sin 30° sin 15° ＝ 50 sin 15°. 在△ABC 中，∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，AC＝ 50 sin 15°米，∴AB＝ACsin 45°＝ 50sin 45° sin 15° ＝50( 3＋1)米． 答案：D 5．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上， 继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°方向，另一灯塔在船的南偏西 75°方向， 则这只船的速度是( ) A．15 海里/时 B．5 海里/时 C．10 海里/时 D．20 海里/时 解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠ CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10，在直角三角形 ABC 中，可得 AB＝5， 于是这只船的速度是 10 海里/时． 答案：C 6.如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿 北偏东 15°方向走 10 米到位置 D，测得∠BDC＝45°，则塔 AB 的高是________米． 解析：在△BCD 中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90° ＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理得 BC sin 45°＝ CD sin 30°， 则 BC＝ CDsin 45° sin 30° ＝10 2.在 Rt△ABC 中，tan 60°＝ AB BC ， 所以 AB＝BCtan 60°＝10 6. 答案：10 6 7.如图，线段 AB、CD 分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼
顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°,已知甲楼 高AB=24米,则乙楼高CD= 解析:ED=AB=24米,在△AC中,∠CAD=a+B=30°+60°=90°,AE⊥CD,DE=24米 则 8 sin60°=16V3(米), 则 Ch =32(米) cos∠ ADC cos30° 答案:32 8.在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡角为15°的观礼台上,某 列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的 仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为10√6m,则旗杆的高度为 旗杆 解析:如图,设旗杆高为h,最后一排为点A第一排为点B,旗杆顶端为点则BC=b 边在△ABC中,AB=10~√6 ∠ACB=30°,由正弦 3 定理,得 VG 故h=30m In sIn 旗杆 √6 答案:30 9.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对 于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡 的斜度为45°,若CD=50m,山坡对于地平面的坡角为0,求cos0的4 值 解析:在△ABC中,由正弦定理可知 RC=:4BC=1045115,-=505-15
3 顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角为 α＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼 高 AB＝24 米，则乙楼高 CD＝________米． 解析：ED＝AB＝24 米，在△ACD 中，∠CAD＝α＋β＝30°＋60°＝90°，AE⊥CD，DE＝24 米， 则 AD＝ DE sin β ＝ 24 sin 60°＝16 3(米)， 则 CD＝ AD cos∠ADC ＝ AD cos 30°＝ 16 3 3 2 ＝32 (米)． 答案：32 8．在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角为 15°的观礼台上，某 一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的 仰角分别为 60°和 30°，且第一排和最后一排的距离为 10 6m，则旗杆的高度为________m. 解析：如图，设旗杆高为 h，最后一排为点 A，第一排为点 B，旗杆顶端为点 C，则 BC＝ h sin 60° ＝ 2 3 3 h.在△ABC 中，AB＝10 6 m，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦 定理，得 10 6 sin 30°＝ 2 3 3 h sin 45°，故 h＝30 m. 答案：30 9.如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对 于山坡的斜度为 15°，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡 的斜度为 45°，若 CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为 θ，求 cos θ 的 值． 解析：在△ABC 中，由正弦定理可知， BC＝ AB·sin∠BAC sin∠ACB ＝ 100sin 15° sin 45°－15° ＝50( 6－ 2)．
在△BCD中,sin∠BDC= BC·sin∠CBD 0y6-0=5 由题图,知cos0=sin∠AD=sin∠BC=√3-1 10.甲船在A处观测到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距10海里,乙船向正北 行驶,设甲船的速度是乙船的√倍,问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船?此时乙船行 驶了多少海里? 解析:设AB=10海里,两船在C处相遇, ∠CAB=0,乙船行驶了x海里,则AC=3x海里 由题意,知∠ABC=180°-60°=120° 在△ABC中,由正弦定理,得 BCsin∠ABC1 sin e 由题意知0=30 ∠ACB=180°-(∠ABC+0)=180°-(120°+30°)=30° BC=AB=10海里,60°-0=60°-30°=30° 故甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船,此时,乙船已行驶了10海里 [B组能力提升] 1.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在 喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,从点A沿北偏东30°方向前进100m 到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( B.100m C.120m D.150m 解析:设水柱高度是h,水柱底端为C,则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=b,AB=100,BC =h,根据余弦定理得,(52=F+100-2·h·100·0s60°,即F+50-500 0,即(h-50)(b+100)=0,解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是50m 答案 2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球 的高是60m,则河流的宽度BC等于()
4 在△BCD 中，sin∠BDC＝ BC·sin∠CBD CD ＝ 50 6－ 2 ·sin 45° 50 ＝ 3－1. 由题图，知 cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝ 3－1. 10．甲船在 A 处观测到乙船在它的北偏东 60°方向的 B 处，两船相距 10 海里，乙船向正北 行驶，设甲船的速度是乙船的 3倍，问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船行 驶了多少海里？ 解析：设 AB＝10 海里，两船在 C 处相遇， ∠CAB＝θ，乙船行驶了 x 海里，则 AC＝ 3 x 海里． 由题意，知∠ABC＝180°－60°＝120°. 在△ABC 中，由正弦定理，得 sin θ＝ BCsin∠ABC AC ＝ 1 2 ， ∴θ＝30°或 θ＝150°. 由题意知 θ＝30°. ∴∠ACB＝180°－(∠ABC＋θ)＝180°－(120°＋30°)＝30°， ∴BC＝AB＝10 海里，60°－θ＝60°－30°＝30°. 故甲船应沿北偏东 30°的方向行驶才能追上乙船，此时，乙船已行驶了 10 海里． [B 组 能力提升] 1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在 喷水柱正西方向的点 A 处测得水柱顶端的仰角为 45°，从点 A 沿北偏东 30°方向前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( ) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：设水柱高度是 h，水柱底端为 C，则在△ABC 中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC ＝ 3h，根据余弦定理得，( 3h) 2＝h 2＋1002－2·h·100·cos 60°，即 h 2＋50h－5 000 ＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得 h＝50(负值舍去)，故水柱的高度是 50 m. 答案：A 2．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球 的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( )
A.240(3-1 B.180(2-1)m C.120(3-1)m D.30(3+1) 解析:∵tan15°=tan(60°-45° 1+tan60°tan45 √3, ∴BC=60tamn60°-60tamn15°=120(5-1)(m),故选C 答案:C 3.如图,为测量山高MM,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰 角∠MN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°:从C点测得∠MC=60°.已知 山高BC=100m,则山高M= 解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=100V2m 在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45 由正弦定理得 sin45°sin60°,因此A∥=10ym 在Rt△MM中,AM=1003m,∠M=60 由=sin60°得M=100√3× 2=150(m) 答案:150 4.(2015·高考湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公 路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75° 的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= D 解析:依题意,∠BAC=30°,∠ABC=105°,在△ABC中,由∠ABC+∠BAC+∠ACB=180 所以∠ACB=45°,因为AB=600
5 A．240( 3－1)m B．180( 2－1)m C．120( 3－1)m D．30( 3＋1)m 解析： ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝ tan 60°－tan 45° 1＋tan 60°tan 45°＝2－ 3， ∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120( 3－1)(m)，故选 C. 答案：C 3．如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点．从 A 点测得 M 点的仰 角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°.已知 山高 BC＝100 m，则山高 MN＝________m. 解析：在 Rt△ABC 中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以 AC＝100 2m. 在△AMC 中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°， 由正弦定理得， AC sin 45°＝ AM sin 60°，因此 AM＝100 3m. 在 Rt△MNA 中，AM＝100 3 m，∠MAN＝60°， 由 MN AM ＝sin 60°得 MN＝100 3× 3 2 ＝150(m)． 答案：150 4．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公 路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75° 的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝____________m. 解析：依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，在△ABC 中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝45°，因为 AB＝600
600 由正弦定理可得sin45=51n30°…,即BC=302m 在Rt△BCD中,因为∠CBD=30°,BC=300√E. 所以tan30°=2CD 所以CD=10y6m BC 300v2 答案:1006 5如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分 别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,求建筑物的高度 解析:设建筑物的高度为h由题图知,P=2h,m=Vh,P=2 ∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理 602+2H-4h2 得cos∠PBA= 2×60 602+2H-=F coS∠PBC= 2×60×V2h ∠PB4+∠PBC=180°, ∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③ 由①②③,解得h=306(m)或h=-306(m(舍去),即建筑物的高度为306m 6.海岛上有一座海拔1km的小山,山顶设有一观察站A,上午11时测得一轮船在岛的 北偏东60°的C处,俯角为30°,11时10分,又测得该船在岛的北偏西60°的B处,俯 角为60° (1)求该船的速度 (2)若此船以不变的船速继续前进,则它何时到达岛的正西方向?此时轮船所在点E离海岛 0的距离是多少千米? 解析:(1)如图,在Rt△AOB和Rt△AOC中 0B= OAcot 60 y3 3 OC= OAcot30° 北 在△BOC中,由余弦定理得 30° +OC-20B·C·cos∠BC=
6 由正弦定理可得 600 sin 45°＝ BC sin 30°，即 BC＝300 2m， 在 Rt△BCD 中，因为∠CBD＝30°，BC＝300 2. 所以 tan 30°＝ CD BC ＝ CD 300 2 ，所以 CD＝100 6m. 答案：100 6 5.如图所示，在地面上共线的三点 A，B，C 处测得一建筑物的仰角分 别为 30°，45°，60°，且 AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度． 解析：设建筑物的高度为 h，由题图知，PA＝2h，PB＝ 2h，PC＝ 2 3 3 h， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理， 得 cos∠PBA＝ 602＋2h 2－4h 2 2×60× 2h ，① cos∠PBC＝ 602＋2h 2－ 4 3 h 2 2×60× 2h .② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 由①②③，解得 h＝30 6(m)或 h＝－30 6(m)(舍去)，即建筑物的高度为 30 6 m. 6．海岛 O 上有一座海拔 1 km 的小山，山顶设有一观察站 A，上午 11 时测得一轮船在岛的 北偏东 60°的 C 处，俯角为 30°，11 时 10 分，又测得该船在岛的北偏西 60°的 B 处，俯 角为 60°. (1)求该船的速度； (2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点 E 离海岛 O 的距离是多少千米？ 解析：(1)如图，在 Rt△AOB 和 Rt△AOC 中， OB＝OAcot 60°＝ 3 3 ， OC＝OAcot 30°＝ 3. 在△BOC 中，由余弦定理得 BC＝ OB 2＋OC 2－2OB·OC·cos∠BOC＝ 39 3
∵由C到B用的时间为。==(h) ∴该船的速度为=2V89 (2)在△OBC中,由余弦定理,得 cosZ0BC-BC+OB- m2=-020=38 ∴sin∠OEB=sin(∠OBEF+∠EOB =sin∠OBE·cos∠EOB+cos∠OE·sin∠EB=y3 在△BEO中,由正弦定理得 in∠EBO3 ∠OEB2 OB·sin∠BOE sin∠OEB 39 ∴从B到E所需时间为 23=120),即所需时间为5min 即该船于11时15分到达岛的正西方向,此时E离海岛O的距离是1.5km
7 ∵由 C 到 B 用的时间为10 60＝ 1 6 (h)， ∴该船的速度为 39 3 1 6 ＝2 39(km/h)． (2)在△OBC 中，由余弦定理，得 cos∠OBC＝ BC 2＋OB 2－OC 2 2BC·OB ＝ 5 13 26 ， ∴sin∠OBC＝ 1－cos 2∠OBC＝ 3 39 26 ， ∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB) ＝sin∠OBE·cos∠EOB＋cos∠OBE·sin∠EOB＝ 13 13 ， 在△BEO 中，由正弦定理得 OE＝ OB·sin∠EBO sin∠OEB ＝ 3 2 . BE＝ OB·sin∠BOE sin∠OEB ＝ 39 6 ， ∴从 B 到 E 所需时间为 39 6 2 39 ＝ 1 12(h)，即所需时间为 5 min. 即该船于 11 时 15 分到达岛的正西方向，此时 E 离海岛 O 的距离是 1.5 km