第1课时距离问题 一高效演练知能提升 A级基础巩固 选择题 1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4米,A=30°, 则其跨度AB的长为() A.12米 B.8米 米 D.4Y3米 解析:△ABC为等腰三角形,A=30° 所以B=30°,C=120°, 所以由余弦定理得AB=AC+BC-2AC·BC·cosC=42+42-2×4×4 所以AB=43 答案:D 2如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=519 起吊的货物与岸的距离AD为() 153 A.30m D.45m 解析:在△ABC中, cos∠B=10+(5y59)-15 2×10×519219 ∠ABC∈(0°,180°), 所以sin∠ABC=^/1 9 所以在Rt△ABD中
第 1 课时 距离问题 A 级 基础巩固 一、选择题 1．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得 AC 的长度为 4 米，A＝30°， 则其跨度 AB 的长为( ) A．12 米 B．8 米 C．3 3米 D．4 3米 解析：△ABC 为等腰三角形，A＝30°， 所以 B＝30°，C＝120°， 所以由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos C＝4 2＋4 2－2×4×4× － 1 2 ＝48， 所以 AB＝4 3. 答案：D 2.如图所示为起重机装置示意图．支杆 BC＝10 m，吊杆 AC＝15 m，吊索 AB＝5 19 m， 起吊的货物与岸的距离 AD 为( ) A．30 m B. 15 3 2 m C．15 3 m D．45 m 解析：在△ABC 中， cos ∠ABC＝ 102＋（5 19） 2－152 2×10×5 19 ＝ 7 2 19 ， ∠ABC∈(0°，180°)， 所以 sin∠ABC＝ 1－ 7 2 19 2 ＝ 3 3 2 19 ， 所以在 Rt△ABD 中
15 AD=AB·sin∠ABC=519× 2(m 3.甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔 在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向 上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是() √3 解析:由题意知,AB=24×=6(km) ∠BAS=30°,∠ASB=75°-30°=45° in∠BAS6sin 由正弦定理得BS= in∠ Asb sin45°3y2(km) 答案:C 4.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分 钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处 观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是() A.10√2海里 B.10√3海里 C.20V2海里 D.20√3海里 解析:如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,从而∠ACB=45° 在△ABC中,由正弦定理,得BC= n45° sin30°=10 答案:A 5两灯塔AB与海洋观察站C的距离都等于2VEkm,灯塔A在观察站C的北偏东30° 灯塔B在观察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为() C. 4 km D. 5 km 解析:如下图所示,∠AB=90°,又AC=B=2V2 在△ABC中由勾股定理得 AB=√AC2+BC2=V8+8=4
AD＝AB·sin∠ABC＝5 19× 3 3 2 19 ＝ 15 3 2 (m)． 答案：B 3．甲骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔 在电动车的北偏东 30°方向上，15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75°方向 上，则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( ) A．6 km B．3 3 km C．3 2 km D．3 km 解析：由题意知，AB＝24× 1 4 ＝6 (km)， ∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°. 由正弦定理得 BS＝ ABsin∠BAS sin∠ASB ＝ 6sin 30° sin 45° ＝3 2 (km)． 答案：C 4．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行，30 分 钟后到达 B 处．在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是东偏南 20°，在 B 处 观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( ) A．10 2 海里 B．10 3 海里 C．20 2 海里 D．20 3 海里 解析：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°. 在△ABC 中，由正弦定理，得 BC＝ AB sin 45°×sin 30°＝10 2. 答案：A 5．两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 2 2 km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30°， 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60°，则 A、B 之间的距离为( ) A．2 km B．3 km C．4 km D．5 km 解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又 AC＝BC＝2 2， 在△ABC 中由勾股定理得： AB＝ AC 2＋BC 2＝ 8＋8＝4
答案:C 、填空题 6.一艘海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行,它在A点测得灯塔P在船的北偏 东60°方向上,2h后船到达B点时,测得灯塔P在船的北偏东45°方向上,则B点到灯 塔P的距离为 n mile. 解析:由题可知,在△ABP中,AB=40,∠PAB=30°,∠ABP=135°,所以∠BPA=15°, 由正弦定理得 5°sin30° 40 所以BP AB·sin30 sin15° 20(√V6+2) 4 答案:20(√6+V2) 7.已知A,B,C三地,其中A,C两地被一个湖隔开,测得AB=3km,B=45°,C= 30°,则A、C两地的距离为km 解析:根据题意,由正弦定理可得 Sin c sin B'代入数值得—3 AB AC Ac 得AC=3√2 答案:32 8.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,2018年超强台风“山竹”登陆时再 现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(没有完全断 开),树干与地面成75°角,折断部分与地面成45°角,树干底部与树尖着地处相距10米 则大树原来的高度是 米(结果保留根号) 解析:如图所示,设树干底部为O树尖着地处为B折断点为A,则∠AOB=75°,∠
答案：C 二、填空题 6．一艘海轮以 20 n mile/h 的速度向正东方向航行，它在 A 点测得灯塔 P 在船的北偏 东 60°方向上，2 h 后船到达 B 点时，测得灯塔 P 在船的北偏东 45°方向上，则 B 点到灯 塔 P 的距离为________n mile. 解析：由题可知，在△ABP 中，AB＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，所以∠BPA＝15°， 由正弦定理得 AB sin 15°＝ BP sin 30°， 所以 BP＝ AB·sin 30° sin 15° ＝ 40× 1 2 6－ 2 4 ＝20( 6＋ 2)． 答案：20( 6＋ 2) 7．已知 A，B，C 三地，其中 A，C 两地被一个湖隔开，测得 AB＝3 km，B＝45°，C＝ 30°，则 A、C 两地的距离为______km. 解析：根据题意，由正弦定理可得 AB sin C ＝ AC sin B ，代入数值得 3 sin 30°＝ AC sin 45°，解 得 AC＝3 2. 答案：3 2 8.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，2018 年超强台风“山竹”登陆时再 现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后(没有完全断 开)，树干与地面成 75°角，折断部分与地面成 45°角，树干底部与树尖着地处相距 10 米， 则大树原来的高度是________米(结果保留根号)． 解析：如图所示，设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A，则∠AOB＝75°，∠
ABO=45°,所以∠OAB=60° 由正弦定理知,-40 45 in 75 sIn 60 所以 所以OA+AB=5VE+56 答案:5V2 、解答题 9.要测量对岸两点AB之间的距离,选取相距√km的CD两点,并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠AB=45°,求A、B之间的距离 解:如图所示,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠AOC=30°, 所以AC=CD=y3(km) 在△BCD中,∠BC=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°, 所以BC= sin75°6+E (km) 在△ABC中,由余弦定理得 (√3)2 所以AB=√5(km) 所以小、B之间的距离为5km 10.如图所示,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏 东40°的公路,在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城 驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少 千米
ABO＝45°，所以∠OAB＝60°. 由正弦定理知， AO sin 45°＝ AB sin 75°＝ 10 sin 60°， 所以 OA＝ 10 6 3 ，AB＝ 15 2＋5 6 3 ， 所以 OA＋AB＝5 2＋5 6. 答案：5 2＋5 6 三、解答题 9．要测量对岸两点 A、B 之间的距离，选取相距 3 km 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75°， ∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求 A、B 之间的距离． 解：如图所示，在△ACD 中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， 所以 AC＝CD＝ 3 (km)． 在△BCD 中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°， 所以 BC＝ 3sin 75° sin 60° ＝ 6＋ 2 2 ( km)． 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝( 3) 2＋ 6＋ 2 2 2 －2 3× 6＋ 2 2 ×cos 75°＝3＋2＋ 3－ 3＝5， 所以 AB＝ 5(km)． 所以 A、B 之间的距离为 5 km. 10.如图所示，某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向，从城 A 出发有一条走向为南偏 东 40°的公路，在 C 处观测到距离 C 处 31 km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城 驶去，行驶了 20 km 后到达 D 处，测得 C，D 两处的距离为 21 km，这时此车距离 A 城多少 千米？
解:在△BCD中,BC=31km,BD=20km,CD=21km 由余弦定理得 B+CD-B2202+212-3121 2BD·CD 2×20×21 1 所以Cos∠ADC= 所以sin∠AOC=√l-cos2∠ADC= 在△ACD中,由条件知CD=21km, ∠BAC=20°+40°=60° 所以smn∠A=sm6°+∠O=25×2+2×5=5点 由正弦定理得_D 3 所以AD==×x=15(km) 故这时此车距离A城15km B级能力提升 1.如图所示,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线AC-B 行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45 则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1km;参考数据:V2≈1.4, 3≈1.73)() A.3.4k B.2.3k C. 5 km D.3.2k 解析:过点C作CD⊥AB,垂足为D 在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10(km) CD=-AC=5 (km) 0°=53(km) 在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5(km), sin45°=5V2(km) A=A+BD=(63+5)(km)
解：在△BCD 中，BC＝31 km，BD＝20 km，CD＝21 km， 由余弦定理得 cos∠BDC＝ BD 2＋CD 2－BC 2 2BD·CD ＝ 202＋212－312 2×20×21 ＝－ 1 7 . 所以 cos∠ADC＝ 1 7 ， 所以 sin∠ADC＝ 1－cos 2∠ADC＝ 4 3 7 . 在△ACD 中，由条件知 CD＝21 km， ∠BAC＝20°＋40°＝60°， 所以 sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝ 3 2 × 1 7 ＋ 1 2 × 4 3 7 ＝ 5 3 14 . 由正弦定理得 AD sin∠ACD ＝ CD sin∠BAC ， 所以 AD＝ 21 3 2 × 5 3 14 ＝15(km)． 故这时此车距离 A 城 15 km. B 级 能力提升 1．如图所示，A，B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地须经 C 地沿折线 A—C—B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶．已知 AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°， 则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走(结果精确到 0.1 km；参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)( ) A．3.4 km B．2.3 km C．5 km D．3.2 km 解析：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 在 Rt△CAD 中，∠A＝30°，AC＝10(km)， CD＝ 1 2 AC＝5(km)， AD＝AC·cos 30°＝5 3(km)． 在 Rt△BCD 中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)， BC＝ CD sin 45°＝5 2(km)． AB＝AD＋BD＝(5 3＋5)(km)
AC+BC-4B=10+5V2-(5+5)=5+5V2-53≈5+5×1.41-5×1.73≈ 3.4(km) 答案:A 2.我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向 以每小时10海里的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度为 海里/时 解析:由题可得下图. c√ 不妨设我舰追上敌舰时在C点 则AC=20,∠BAC=120°,AB=12, 所以BC2=122+202-2·12·20·cos120°=282,所以BC=28 所以速度v===14(海里/时) 答案:14 3.如图所示,港口B在港口0正东方向120海里处,小岛C在港口0北偏东60°方向 且在港口B北偏西30°方向上.一艘科学家考察船从港口O出发,沿北偏东30°的OA方向 以20海里/时的速度行驶,一艘快艇从港口B出发,以60海里/时的速度驶向小岛C,在C 岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发,补给物资的装船时间为1小时,则快艇 驶离港口B后,最少要经过多少小时才能和考察船相遇? 解:设快艇驶离港口B后,经过x小时,在OA上的点D处与考察船相遇 如图所示,连接CD,则快艇沿线段BC,CD航行 在△OBC中,由题意易得∠BOC=30°,∠CBO=60 因为BC=120, 所以BC=60,00=605
AC＋BC－AB＝10＋5 2－(5 3＋5)＝5＋5 2－5 3≈5＋5×1.41－5×1.73≈ 3.4(km)． 答案：A 2．我舰在岛 A 南偏西 50°相距 12 海里的 B 处发现敌舰正从岛 A 沿北偏西 10°的方向 以每小时 10 海里的速度航行，若我舰要用 2 小时追上敌舰，则速度为________海里/时． 解析：由题可得下图． 不妨设我舰追上敌舰时在 C 点． 则 AC＝20，∠BAC＝120°，AB＝12， 所以 BC 2＝122＋202－2·12·20·cos 120°＝282，所以 BC＝28， 所以速度 v＝ 28 2 ＝14(海里/时)． 答案：14 3．如图所示，港口 B 在港口 O 正东方向 120 海里处，小岛 C 在港口 O 北偏东 60°方向， 且在港口 B 北偏西 30°方向上．一艘科学家考察船从港口 O 出发，沿北偏东 30°的 OA 方向 以 20 海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口 B 出发，以 60 海里/时的速度驶向小岛 C，在 C 岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时出发，补给物资的装船时间为 1 小时，则快艇 驶离港口 B 后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？ 解：设快艇驶离港口 B 后，经过 x 小时，在 OA 上的点 D 处与考察船相遇． 如图所示，连接 CD，则快艇沿线段 BC，CD 航行． 在△OBC 中，由题意易得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°， 因为 BO＝120， 所以 BC＝60，OC＝60 3
故快艇从港口B到小岛C需要1小时,所以x1 在△OCD中,由题意易得∠COD=30°,OD=20x, CD=60(x-2) 由余弦定理,得CF=O+0-20D·Oos∠COD, 所以60(x-2)=(202+(605-2×20×60×530°.解得x=3或x=3,因 为x1,所以x=3. 所以快艇驶离港口B后,至少要经过3小时才能和考察船相遇
故快艇从港口 B 到小岛 C 需要 1 小时，所以 x>1. 在△OCD 中，由题意易得∠COD＝30°，OD＝20x， CD＝60(x－2)． 由余弦定理，得 CD 2＝OD 2＋OC 2－2OD·OCcos∠COD， 所以 602 (x－2)2＝(20x) 2＋(60 3) 2－2×20x×60 3×cos 30°.解得 x＝3 或 x＝ 3 8 ，因 为 x>1，所以 x＝3. 所以快艇驶离港口 B 后，至少要经过 3 小时才能和考察船相遇．