312两角和与差的正弦、余弦、 正 切 公 式 第 数学 角 变 搀 线度法和有法平两和与 勒不管用的三集
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
复习引入 coS(a B) cOS B+Sn asn B cosa=cosl(a+B)-Blcos(a+B)cosB +sin( a+ B)sinB cosB= cosl(a-B)-a=cos(a-B)cosa+sn( a-B)sin a cos(a- bi-(cosa+ cos b)2+(sin a t sin b 2 B) 2-I(cosa-cosB)+(sin a-sin B)1 cos( a
一、复习引入 cos( − ) = coscos +sinsin cos = cos[( + ) − ] = cos( + )cos +sin( + )sin cos = cos[( − ) −] = cos( − )cos +sin( − )sin 2 2 (cos cos ) (sin sin ) 2 cos( ) 2 a b a b a b + + + - - = 2 2 cos cos sin sin cos 2 2 [( ) ( ) ] ( ) − − + − − =
复习引入 两角差的余弦公式C(aB cos(a-B)=cos a cos B+sina sinB 能不能由公式Ca推出cos(a+B值吗?
一、复习引入 两角差的余弦公式C（α-β） cos cos cos sin sin （ − = + ） - C cos( ) 能不能由公式 （ ） 推出 + 的值吗？
基础知识讲解 由于cos(a+B)=cosa-(-B) cos a cos(-B)+sin asin(B) cos a cos B-sin a sin B 所以,对于任意角a,B A cos(a+B)=cos a cos B-sin a sin B 简记为C(a+B cos75° 于是,对于任意角、β都有 cos(a+B=cos a cos B sin a sin B CCSS符号相反
二、基础知识讲解 由于cos( ) cos[ ( )] + = − − cos( ) cos cos sin sin C + + = − （ ） 所以，对于任意角 ， 有 简记为 = − + − cos cos( ) sin sin( ) = − cos cos sin sin 于是，对于任意角α、β都有 cos cos cos sin sin （ =） CCSS符号相反 cos75°
基础知识讲解 探究:上面我们得到了两角和与差的余弦公式, 我们知道,用诱导公式五(或六)可以实现正弦 余弦的互化。你能根据C(aBD,C(a+B及诱导公式五 (或六),推导出用任意角a,的的正弦、余弦值表 示sin(a+B),sin(a-B)的公式吗? 诱导公式五:cos( 元 a)=sin a 2
二、基础知识讲解 - sin ,sin C C + + − （ ） （ ） 探究：上面我们得到了两角和与差的余弦公式， 我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、 余弦的互化。你能根据 ， 及诱导公式五 （或六），推导出用任意角 ， 的正弦、余弦值表 示 （ ） （ ）的公式吗？ 2 ( ) sin 诱导公式五：cos − =
基础知识讲解 sin(a+B)=cos(a+B) CS[(-a)-6] cos(--a)cos B+sin( -a)sin B sin a cos B+ cos a sin B sin(a-B)=cos(a-B) =cos(-a)+6 2 cos(--a)cos B-sin(.a)sin B sin a cos B-cos asin B
二、基础知识讲解 sin( ) cos[ ( )] 2 + = − + sin( ) cos[ ( )] 2 − = − − cos[( ) ] 2 = − − cos( )cos sin( )sin 2 2 = − + − = + sin cos cos sin cos[( ) ] 2 = − + cos( )cos sin( )sin 2 2 = − − − = − sin cos cos sin
基础知识讲解 两角和(差的正弦公式 sin(a+ B)=sin a cos B+cos asin B (ia+p) sin(a-B)=sin a cos B-cos asin B 正余余正符号相同 公式的特点: (1)公式对a、B取任意值都成立; (2)公式中右边有两项中间符号与左边两角间的符号相同 (3)右边三角函数的排列的顺序是: sIn a cos、 .coS a sin B. sin15°sin75°
两角和( ) : 差 的正弦公式 二、基础知识讲解 ( ) ( ) S sin( ) sin cos cos sin − = − − ( ) ( ) S sin( ) sin cos cos sin + = + + 1 2 3 : ( ) ; ( ) , ; ( ) : sin cos cos sin . 公式的特点 公式对 、 取任意值都成立 公式中右边有两项 中间符号与左边两角间的符号相同 右边三角函数的排列的顺序是 、 正余余正符号相同 sin15° sin75°
基础知识讲解 探究:你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关系,从CaB,S(a0出发,推导出用任意 角a,的的正切表示tan(a+6)、tan(a-B的公 式吗? sin a 提示:tana cos a
二、基础知识讲解 ( ) tan( ) tan( ) C S + − （ ）， 探究：你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关系，从 出发，推导出用任意 角 ， 的正切表示 、 的公 式吗？ cos sin 提示: tan =
基础知识讲解 首先推导tan(a+B tan(a+B) sin(a+) (这里有什么要求? cos(a+ sin a cos B+ cos a+B≠kx+(k∈Z) cos a cOS sina sin sIn a cos cos sin cos a cos cos a cOS 6(又有什么要求?) cos a COS βββ sina sin C≠k+ cos a cOS cos a cOS B tan a+ tan B B≠k+(k∈Z) 1-tan a tan B
首先推导tan( ). + sin( ) tan( ) cos( ) + + = + sin cos cos sin cos cos sin sin + = − (这里有什么要求?) sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos + = − (又有什么要求?) tan tan 1 tan tan + = − 2 k k Z ( ) + + 2 2 ( ) k k k Z + + 二、基础知识讲解
基础知识讲解 §4.6两角和与差的正孩、余孩、正切(3) 两角和的正切公式 tan a+ tan tan(a+B) B 代 (a+B) 1-tan a tan B 问:如何解决两角差的正切问题? tan(a-B)=tan[a+(B) tan a+ tan(-B) 1-tana tan(-B) 两角差的正切公式 tan a-tan B 代号:7 tan(a-B) B) 公式的特点: 1+ tan a tan B (1)公式中a、B、a+B、a-的的取值要使正切值有意义; (2)公式中右边是分式分子是a与的正切和(差),分母是1与 a、硝正切积的差(和) (3)公式中都是正切运算,分子的运算与左边的和(差相同,分母相反 (4)两角和的正切公式中有tana+tanB, tan a tan式子,因 此常又与一元二次方程联系在一起
tan tan tan( ) 1 tan tan + + = − 问: ? 如何解决两角差的正切问题 tan tan( ) tan( ) tan[ ( )] 1 tan tan( ) + − − = + − = − − tan tan 1 tan tan − = + tan( ) − 两角差的正切公式: 1 2 1 3 4 ( ) , ; ( ) , ( ), ( ). ( ) , ( ) , . ( ) tan tan , tan tan , . + − + 公式中 、 、 、 的取值要使正切值有意义 公式中右边是分式 分子是 与 的正切和 差 分母是 与 、 的正切积的差 和 公式中都是正切运算 分子的运算与左边的和 差 相同 分母相反 两角和的正切公式中有 式子 因 此常又与一元二次方程联系在一起 两角和的正切公式: §4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(3) 公式的特点: ( ) 代号:T + ( ) 代号:T − 二、基础知识讲解