两角和与差的正弦、余弦函数 高中数学组
两角和与差的正弦、余弦函数 -----高中数学组
复习回顾 1.平面向量的数量积 b= cos e 2.若ee2是单位向量,则 e,e,=lel cos 0=cos 0 3.平面向量的数量积的坐标运算 a=(,y), b=(x,y,), ab=xx2+yiy2
a b a b = cos . 1 2 1 2 e e e e = = cos cos . 2.若 是单位向量,则 1 2 1 2 a b x x y y = + . 1 1 2 2 a x y b x y = = ( , ), ( , ), 1.平面向量的数量积 1 2 e e， 3.平面向量的数量积的坐标运算
4写出五组诱导公式 sin(2k丌+a)=sina sin(丌+a)=-sa cos(2k,T+a)=cos a cos(r +a)=-cos a sin(-a)=-sina sin(-a)=sin a cos(-a)=cos a COS(I-a)=-cos a sin (2-a)=-sin a COS(2T-a)=cos a 、规律小结:函数名不变, 符号看象限
4.写出五组诱导公式 sin( ) cos( ) − = − = sin( ) cos( ) + = + = sin( ) cos( ) − = − = sin(2 ) cos(2 ) − = − =sin cos − sin − cos − sin cos sin − sin cos − cos ( ) ( ) sin 2 cos 2 k k + = + = 规律小结：函数名不变， 符号看象限
新课导入 如何求cOs(-375°)的值? 解:cos(-375°)=cos375°=cos(360°+15)=cos15° 思考1:15°能否写成两个特殊角的和或差的形式? 15=45-30 思考2:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-c0s30°成立吗? 思考3:究竟cos15°=? 思考4:cos(45°-30°能否用45°和30的角的三角函数 值来表示?
思考1:15˚能否写成两个特殊角的和或差的形式? 如何求cos（–375˚）的值？ 解：cos(–375˚)=cos375˚=cos(360˚+15˚)=cos15˚ 思考2: cos15˚=cos(45˚-30˚)=cos45˚-cos30˚成立吗? 15˚=45˚-30˚ 思考3:究竟cos15˚=? 思考4:cos(45˚-30˚)能否用45˚和30˚的角的三角函数 值来表示?
课堂探究 探究点1两角差的余弦函数 在直角坐标系中,如图,以原点为中心,单位长度 为半径作单位圆,又以原点为顶点,x轴非负半轴 为始边分别作角α,β且α>B,我们首先研究α, B均为锐角的情况
探究点1 两角差的余弦函数 在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度 为半径作单位圆，又以原点为顶点，x轴非负半轴 为始边分别作角α，β且α>β，我们首先研究α， β均为锐角的情况 x y O 0 P (1,0) 2 P (cos ,sin ) 1P (cos ,sin )
由图可知:单位圆上P1,P2两点, y P(cosa, sin a ∠POP2=a-B, P(cos B, sin B) 设向量a=0P1=(cosa,sina) 0( 向量b=0P2=(cos,sinB) cos(a-B)=cosacosB+sinasinB 我们称上式为两角差的余弦公式,记作CaB 思考:公式cos(a-B)= cos a cos B+ sin a sin b是 否对任意角α,β都成立?
由图可知：单位圆上P1，P2两点， 1 2 = − POP , 设向量 1 a = = OP （cos sin , ), 向量 2 b = = OP （cos sin , ), cos( - ) cos cos sin sin = + 我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C− x y O 0 P (1,0) 2 P (cos ,sin ) 1P (cos ,sin ) 思考：公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ是 否对任意角α,β都成立？
探究点2两角和的余弦函数 我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数, 利用诱导公式试求cos(a+B)? cos(a+B)=cos a cos B-sina sin B 结论:两角和与差的余弦公式CaB cos(a+B)=cos a cos B sina sin B 注:1.公式中两边的符号正好相反(一正一负) 2.式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在 前正弦在后
cos( ) + == − cos cos sin sin 结论：两角和与差的余弦公式C cos( ) = cos cos sin sin 注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）. 2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在 前正弦在后. 我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数， 利用诱导公式试求cos(α+β)？ 探究点2 两角和的余弦函数
公式应用 a±β=CaCβ Sa sp 典例精讲 公式形式 为ccss 例1不查表,求cOs75°,cos15°的值. 例2已知sina=,a∈ 元 5 丌,cosB= 5 2 13 B∈2人求c0(a-),s(a+)的值
C± = C C S S ± 公式应用 例1 不查表，求cos75° ，cos15°的值. ( ) ( ) 例 已知 求 的值 4 5 2 sin , , ,cos , 5 2 13 3 , , cos ,cos . 2 = = − − +
探究点3两角和与差的正弦函数 如何求si(±月)的值? 解sn(a+)=coz-(a+p) sina cos B+ cos asin B sin(a+B)=sina cos B+cos asin 用-B代B sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B
如何求sin( )的值？ cos ( ) 2 = − + = + sin cos cos sin 解:sin( + ) sin sin cos cos sin ( + = + ) 探究点3 两角和与差的正弦函数 sin ) sin cos cos sin ( − = − 用− 代
两角和与差的正弦公式 1.两角和的正弦公式 si(+)= sinacosB cosasin,简记:5Sa+B 2.两角差的正弦公式 sin(a-B)= sin a cos B- cos asin B,简记:S
两角和与差的正弦公式 1.两角和的正弦公式 sin ) sin cos cos sin , ( − − = sin(α + + β) = sinαcosβ cosαsinβ, 2.两角差的正弦公式 简记： . + S 简记： . − S