两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知识梳理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(atB)=sin acos B+cos asin B cos(atB)=cos acos B+sin asin B an attan tan(at+P)-1Ftan atan p 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2a=2sin acos a 2 tan tan 2a= 1-tan-a 3.有关公式的逆用、变形等 (I)tan attan B=tan(atBXIFtan atan B. (2)cos2a=1+ cos 20 cos 2a ( 3)1+sin 2a=(Sin at cos af, I-sin 2a=( in a cos af, sin atcos a=V2sin(at?) 4.函数f(a)= casin a+ bcos a(a,b为常数),可以化为(a)=Va2+b3si(a+g),其中tan 选择题 1.给出如下四个命题 ①对于任意的实数a和β,等式cos(a+B)= cosa cos B- sin asin B恒成立 ②存在实数α,β,使等式cos(a+B)= cosa cos B+ sin asin B能成立 ③公式tn(a+B)=ma+mn成立的条件是a≠kx+x(k∈2)且B≠kx+(k∈Z) ④不存在无穷多个a和B,使sn(a-B)= sin a cos B- cos asin B: 其中假命题是 A.① B.②③ ③④ D.②③④ 2.函数y=2snx(snx+cosx)的最大值是 B.√2-1
1 两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知 识 梳 理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝ tan α±tan β 1∓tan αtan β . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos2α＝ 1＋cos 2α 2 ，sin2α＝ 1－cos 2α 2 . (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α) 2，1－sin 2α＝(sin α－cos α) 2，sin α±cos α＝ 2sin α± π 4 . 4．函数 f(α)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a 2＋b 2 sin(α＋φ)，其中 tan φ＝ b a 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式 cos( + ) = cos cos − sin sin 恒成立； ②存在实数α，β，使等式 cos( + ) = cos cos + sin sin 能成立； ③公式 tan( + ) = 1 tan tan tan − + an 成立的条件是 ( ) 2 k + k Z 且 ( ) 2 k + k Z ； ④不存在无穷多个α和β，使 sin( − ) = sin cos − cos sin ； 其中假命题是 （ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 2．函数 y = 2sin x(sin x + cos x) 的最大值是 （ ） A．1+ 2 B． 2 −1 C． 2 D． 2
3.当x∈[-z,z1 23]时,函数f(x)=Smx+√3cosx的 A.最大值为1,最小值为一1B.最大值为1,最小值为 C.最大值为2,最小值为-2D.最大值为2,最小值为 4.已知tan(a+B)=7,tana·tanB=,则cos(a-B)的值 B. 5.已知90°,则 tan a- tan B与1的关系为 A. tan A+tan b>1 B. tan a- tan B< C. tan A- tan b=l D.不能确定 12.sn20°cos70°+snl0°sn50°的值是 B. C.1 2 填空题(每小题4分,共16分,将答案填在横线上) 13.已知sm(a+B)·sn(B-a)=m,则cos2a-cos2B的值为
2 3．当 ] 2 , 2 [ x − 时，函数 f (x) = sin x + 3 cos x 的 （ ） A．最大值为 1，最小值为－1 B．最大值为 1，最小值为 2 1 − C．最大值为 2，最小值为－2 D．最大值为 2，最小值为－1 4．已知 , cos( ) 3 2 tan( + ) = 7, tan tan = 则 − 的值 （ ） A． 2 1 B． 2 2 C． 2 2 − D． 2 2 5．已知 − = + = − = , sin 2 5 3 ,sin( ) 13 12 ,cos( ) 4 3 2 则 （ ） A． 65 56 B．－ 65 56 C． 56 65 D．－ 56 65 6． sin 15 sin 30 sin 75 的值等于 （ ） A． 4 3 B． 8 3 C． 8 1 D． 4 1 7．函数 ) 4 , ( ) cot( 1 tan 1 tan ), ( ) 4 ( ) tan( h x x x x f x x g x = − − + = + = 其中为相同函数的是 （ ） A． f (x)与g(x) B． g(x)与h(x) C．h(x)与f (x) D． f (x)与g(x)及h(x) 8．α、β、 都是锐角， = = = ,则 + + 8 1 , tan 5 1 , tan 2 1 tan 等于 （ ） A． 3 B． 4 C． 6 5 D． 4 5 9．设 ) 0 4 tan tan( 2 和 − 是方程x + px + q = 的两个根，则 p、q 之间的关系是（ ） A．p+q+1=0 B．p－q+1=0 C．p+q－1=0 D．p－q－1=0 10．已知 cos = a,sin = 4sin( + ),则tan( + ) 的值是 （ ） A． 4 1 2 − − a a B．－ 4 1 2 − − a a C． 2 1 4 a a − − D． 4 1 2 − − a a 11．在△ABC 中， C 90 ，则 tan A tan B 与 1 的关系为 （ ） A． tan A+ tan B 1 B．tan Atan B 1 C． tan A tan B =1 D．不能确定 12． sin 20 cos70 + sin 10 sin 50 的值是 （ ） A． 4 1 B． 2 3 C． 2 1 D． 4 3 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分，将答案填在横线上） 13．已知 sin( + )sin( −) = m ，则 2 2 cos − cos 的值为
14.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=33,tan2B= tan A- tan C则∠B= 若sn(+24)=cos(24-0,则tan(6+60°) 16.若snx+sny=℃-,则cosx+cosy的取值范围是 三、解答题(本大题共74分,17-21题每题12分,22题14分) 17.化简求值:sn(2-3x)·cosx-3x)-cosz+3x).sm(z+3x) 18.已知0°<a<B<90°,且cosa,cosB是方程x2-√2sn50°x+smn250°-=0的两根, 求tan(B-2a)的值 19.求证:tan(x+y)+tan(x-y)= 20.已知,B(0,)且ma=B)=2如mnB=7,求2-B的值 2 sin 21.证明:tan=x-tan 2 cOSx+cos 2x 22.已知△ABC的三个内角满足:A+C=2B 求 A-C COs 的值 COS A COSC coS B
3 14．在△ABC 中， tan A+ tan B + tanC = 3 3， tan B tan A tan C 2 = 则∠B= . 15．若 sin( + 24 ) = cos(24 −), 则 tan( 60 ) + = . 16．若 x y , cos x cos y 2 2 sin + sin = 则 + 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共 74 分，17—21 题每题 12 分，22 题 14 分） 17．化简求值： 3 ) 4 sin( − x 3 ) 6 3 ) cos( 3 cos( − x − + x 3 ) 4 sin( + x ． 18．已知 0 90 ,且cos,cos 是方程 0 2 1 2 sin 50 sin 50 2 2 − + − = x x 的两根， 求 tan( − 2) 的值. 19．求证： x y x x y x y 2 2 cos sin sin 2 tan( ) tan( ) − + + − = ． 20．已知α，β∈（0，π）且 7 1 , tan 2 1 tan( − ) = = − ，求 2 − 的值. 21．证明： x x x x x cos cos 2 2sin 2 tan 2 3 tan + − = . 22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B， A C cos B 2 cos 1 cos 1 + = − 求 2 cos A − C 的值
两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案 5.B6.C7.C8.B9.B10.D 11.B12.A 丌 、1,原式号一33-335面 n(50°±45°) x,=sin 95=cos 5, x2=sin 5=cos 85, tan(B-2a)=tan75°=2+√3 左 nx+ y) sin((x +y)+(x-y) os(x+ y) cos(x-y) cos x cos y-sin xsin y 右 cos2x-(cosx+sin2 x)sin2y cos2x-sin2 y 20.tana=3,tan(2a-B)=1,2a-B=-4x 21.左 sin -x cos--cos-x sin sin x 2smx右 cos x +cos 2x COS-x. cOS cos -x cOS 2.由题设B=60°,A+C=120°,设a=4-C知A=60°+a,C=60° =-2√2即cosa=
4 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案 一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A 二、13．m 14． 3 15．− 2 − 3 16． ] 2 14 , 2 14 [− 三、17．原式= 3 ) 4 3 ) cos( 3 3 ) sin( 3 3 ) cos( 4 sin( − x − x − − x − x = 4 2 − 6 ． 18． sin( 50 45 ) 2 ) 2 1 2 sin 50 ( 2 sin 50 ) 4(sin 50 2 2 = − − − x = ， 1 2 = = = = x x sin 95 cos5 , sin 5 cos85 , tan( − 2 ) = tan 75 = 2 + 3 ． 19．证： x y x y x y x y x y x y x y x y 2 2 2 2 cos cos sin sin sin[( ) ( )] cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) − + + − = − − + + + 左 = = − = − + = x y x x x x y x 2 2 2 2 2 2 cos sin sin 2 cos (cos sin )sin sin 2 右． 20． 1 3 tan , tan(2 ) 1, 2 . 3 4 = − = − = − 21．左= = + = = − x x x x x x x x x x x x cos cos 2 2sin 2 cos 2 3 cos sin 2 cos 2 3 cos 2 sin 2 3 cos 2 cos 2 3 sin 右． 22．由题设 B=60°，A+C=120°，设 2 A − C = 知 A=60°+α， C=60°－α， 2 2 2 2, cos 4 3 cos cos cos 1 cos 1 2 = − = − + = 即 A C 故 2 2 2 cos = A − C ．