3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 难易度及题号 知识点及角度 基础 中档 稍难 角函数式的化简求值1、5 条件求值问题 6、7、8 综合问题 2、3 9、11 12 基磁 1. A sin(a+ B)cos B-cos (a+ B)sin B=0, u sin( a+2 B)+sin( a-2 B) 等于() 解析:由于sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB=0,所以sina=0 所以a=k兀,k∈Z 当k为偶数时,sin(a+2B)+sin(a-2B)=sin2B-sin2B=0 当k为奇数时,sin(a+2B)+sin(a-2B)=-sin2B+sin2B=0. 综上可知,sin(a+2B)+sin(a-2B)=0 答案:C 2.在△ABC中,若2 cos Bsin a=sinC,则△ABC的形状一定是() A.等腰直角三角形 直角三角形 等腰三角形 D.等边三角形 AFtr: 2cos Bsin A=sin C=sin(A+B=sin Acos B+cos AsinB, sin Acos B-cos Asin B=0, p sin (A-B=0 又A、B是△ABC的内角,∴AB=0,即A=B故选C. 答案:C 3.在锐角△ABC中,设x= sin asin b,y=cosA·cosB,则x,y的大小关系是( B. xy 解析:∵π>A+B一,∴cos(A+B<0. 即 cos Acos B- sin asin b0,亦即y-x0
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 知识点及角度 难易度及题号 基础 中档 稍难 三角函数式的化简求值 1、5 10 条件求值问题 4 6、7、8 综合问题 2、3 9、11 12 1．若 sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则 sin(α＋2β)＋sin(α－2β) 等于( ) A．1 B．－1 C．0 D．±1 解析：由于 sin (α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，所以 sin α＝0. 所以 α＝kπ，k∈Z. 当 k 为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin 2β－sin 2β＝0， 当 k 为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin 2β＋sin 2β＝0. 综上可知，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝0. 答案：C 2．在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ABC 的形状一定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析：2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos AsinB， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即 sin (A－B)＝0. 又 A、B 是△ABC 的内角，∴A－B＝0，即 A＝B.故选 C. 答案：C 3．在锐角△ABC 中，设 x＝sin Asin B，y＝cos A·cos B，则 x，y 的大小关系是( ) A．x≤y B．xy 解析：∵π>A＋B> π 2 ，∴cos(A＋B)y
答案:D n角(3)÷则m的值等千() V6-1 6 VG D.=26-1 解析::a为锐角,sin 0=x)=22 6 cos a=cos a-I+I 6 E、5 VG 答案:A 5.化简sin=+a+cos+a的结果是 解析:原式=2sa+2ina+2 cos a Sin a=cos a 答案:cosa 设角的终边经过点(,-0,则c(+)为 解析:由三角函数定义可知, 4 sin B cos B 32+-4 0+ y2 (c 答案:10 7.已知sin(a+B)=,sin(a-B) tan的信 求一 解:∵sin(a+B)= sin a cos B+ cos a sin B
答案：D 4．若 α 为锐角，sin α－ π 6 ＝ 1 3 ，则 cos α 的值等于( ) A. 2 6－1 6 B. －2 6－1 6 C. 2 6＋1 6 D. －2 6－1 6 解析：∵α 为锐角，sin α－ π 6 ＝ 1 3 ， ∴cos α－ π 6 ＝ 2 2 3 . ∴cos α＝cos α－ π 6 ＋ π 6 ＝cos α － π 6 cos π 6 －sin α － π 6 sin π 6 ＝ 2 2 3 × 3 2 － 1 3 × 1 2 ＝ 2 6－1 6 . 答案：A 5．化简 sin π 6 ＋α ＋cos π 3 ＋α 的结果是______． 解析：原式＝1 2 cos α＋ 3 2 sin α＋ 1 2 cos α－ 3 2 sin α＝cos α. 答案：cos α 6．设角 θ 的终边经过点(3，－4)，则 cos θ＋ π 4 的值为______． 解析：由三角函数定义可知， sin θ＝ －4 3 2＋ －4 2＝－ 4 5 ， cos θ＝ 3 3 2＋ －4 2＝ 3 5 ， ∴cos θ ＋ π 4 ＝ 2 2 (cos θ－sin θ)＝ 2 2 × 7 5 ＝ 7 2 10 . 答案：7 2 10 7．已知 sin(α＋β)＝ 2 3 ，sin(α－β)＝ 1 5 ，求tan α tan β 的值． 解：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝ 2 3
sin(a-B=sin a cos B-cos a sin B sin a cos 30’ cos asin6、7 tan a sin a cos B 13 tan B cos a sin B 7 8.已知a,B都为锐角,sina=,cos(a+B)=14,求sinB与cosB的值 解:由于a,B都为锐角,sina=1 cos(a+B)5y 则 COs a= sIn sin(a+B)=v1-cos a+B 14)1 sin B=sin(a+B-a)=sin( a+ B) cos a-cos( a B)s _55=395 故sinB 98 利用同角关系式,得cosB 能力提升》 9.函数f(x)=cosx(1+tanx)的最小正周期为() B. 解析:f(x)=cosx1+ cos x+yasin x COS X =(13+2(3 7=2丌 答案:A 10.已知cos(a-a)+sina=,则sin(a+ 6
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ 1 5 ， ∴sin αcos β＝ 13 30，cos αsin β＝ 7 30. ∴ tan α tan β ＝ sin αcos β cos αsin β ＝ 13 7 . 8．已知 α，β 都为锐角，sin α＝ 1 7 ，cos(α＋β)＝ 5 3 14 ，求 sin β 与 cos β 的值． 解：由于 α，β 都为锐角，sin α＝ 1 7 ， cos(α＋β)＝ 5 3 14 ，则 cos α＝ 1－sin 2α ＝ 1－ 1 7 2＝ 4 3 7 ， sin(α＋β)＝ 1－cos 2 α＋β ＝ 1－ 5 3 14 2＝ 11 14. sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝ 11 14× 4 3 7 － 5 3 14 × 1 7 ＝ 39 3 98 . 故 sin β＝ 39 3 98 ，利用同角关系式，得 cos β＝ 71 98. 9．函数 f(x)＝cos x(1＋ 3tan x)的最小正周期为( ) A．2π B．π C. 3 2 π D. 1 2 π 解析：f(x)＝cos x 1＋ 3 sin x cos x ＝cos x· cos x＋ 3sin x cos x ＝2 cos xcos π 3 ＋sin xsin π 3 ＝2cos x－ π 3 ， ∴T＝2π. 答案：A 10．已知 cos α－ π 6 ＋sin α＝ 4 5 3，则 sin α＋ 7π 6 ＝________
解析;(2-)+sia =cos acos -+sin asin -+sin a 从而cosa +ina= 即 所以 sin a +) 答案 11.若sina 5, sin B=vio 且a、B为锐角,求a十B的值. 10 解:∵a、β均为锐角, cos a=v1-sin a 2V5 cos B=v1-sin' B 10 . cos(a+B=cos a cos B-sin a sin B √5y02 05×10=2 又∵a、B为锐角, ∴0<a+B< a+ B=- 探究拓展》 12.已知向量a=(cosa,sina),b=(cosB,sinf),|a-b (1)求cos(a-B)的值; (2)若0<a< <B<0,且sinB=-,,求sina的值
解析：cos α－ π 6 ＋sin α ＝cos αcos π 6 ＋sin αsin π 6 ＋sin α ＝ 4 5 3， 即 3 2 cos α＋ 3 2 sin α＝ 4 5 3， 从而1 2 cos α＋ 3 2 sin α＝ 4 5 ， 即 sin π 6 ＋α ＝ 4 5 ， 所以 sin α＋ 7π 6 ＝sin π＋ α＋ π 6 ＝－sin α＋ π 6 ＝－ 4 5 . 答案：－ 4 5 11．若 sin α＝ 5 5 ，sin β＝ 10 10 ，且 α、β 为锐角，求 α＋β 的值． 解：∵α、β 均为锐角， ∴cos α＝ 1－sin2α＝ 2 5 5 ， cos β＝ 1－sin2β＝ 3 10 10 . ∴cos(α＋β)＝cos αcosβ－sin αsin β ＝ 2 5 5 × 3 10 10 － 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 . 又∵α、β 为锐角， ∴0<α＋β<π. ∴α＋β＝ π 4 . 12．已知向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝ 2 5 5 . (1)求 cos(α－β)的值； (2)若 0＜α＜ π 2 ，－ π 2 ＜β＜0，且 sin β＝－ 5 13，求 sin α 的值．
解:(1)∵县=(cosa,sina),b=(cosB,sinB), b=(cos a-cos B, sin a-sin B) 又∵|a-b √osa-0+smn-snB=2M Bp 2-2cos(a-B)=-,cos (a-B) (2)∵0<a<一,一一<B<0,∴0<a-B<丌 又∵cos(a-B)=,sinB sin( a-B)5, cos 8x12 .sin a=sin[( a-B)+B=sin(a-B). cos B+cos a-B).sin B=-X 感悟升华 1.运用两角和与差的三角函数公式关键在于构造角的和差.在构造过程中,要尽量使 其中的角为特殊角或已知角,这样才能尽可能地利用己知条件进行化简或求值 2.灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征,联想 具有类似特征的相关公式.然后经过适当变形、拼凑,再正用或逆用公式解题
解：(1)∵a＝(cos a，sin α)，b＝(cos β，sin β)， ∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． 又∵|a－b|＝ 2 5 5 ， ∴ cos α－cos β 2＋ sin α－sin β 2＝ 2 5 5 ， 即 2－2cos(α－β)＝ 4 5 ，cos(α－β)＝ 3 5 . (2)∵0＜α＜ π 2 ，－ π 2 ＜β＜0，∴0＜α－β＜π. 又∵cos(α－β)＝ 3 5 ，sin β＝－ 5 13， ∴sin(α－β)＝ 4 5 ，cos β＝ 12 13. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝ 4 5 × 12 13 ＋ 3 5 × － 5 13 ＝ 33 65. 1．运用两角和与差的三角函数公式关键在于构造角的和差．在构造过程中，要尽量使 其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能地利用已知条件进行化简或求值． 2．灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想 具有类似特征的相关公式．然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题．