人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学案(4)

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教材分析 本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,为了引起学生学习本章的兴趣, 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变 换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲 二、教学目标 1.掌握两角和与差公式的推导过程 2培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力: 3发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质 、教学重点难点 重点:两角和与差公式的应用和旋转变换公式 难点:两角和与差公式变 a sina+ bOsa为一个角的三角函数的形式。 四、学情分析 五、教学方法 1.温故、推新,循序渐进,以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2.学案导学:见后面的学案 3.新授课教学基本环节:预习检査、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 多媒体课件 七、课时安排:1课时 八、教学过程 (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式: cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B: cos(a-B)=cosa cos B+sinasin B 这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? 提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决 今天的问题有帮助吗? 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式 (a+B) cOS a cos B+sin -a sin B 2 sin a cos B+cos sin B sin(a-B)=sin[a+(B)=sina cos(-B)+cos a sin(B)=sina cos B-cos a sin B 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式(学生动手)

3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、教材分析 本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣， 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变 换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。 二、教学目标 ⒈掌握两角和与差公式的推导过程； ⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。 三、教学重点难点 重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式； 难点：两角和与差公式变 aSina＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。 四、学情分析 五、教学方法 1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 多媒体课件 七、课时安排：1 课时 八、教学过程 （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： cos cos cos sin sin (      + = − ) ； cos cos cos sin sin (      − = + ) ． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决 今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. sin cos cos cos cos sin sin ( ) ( ) 2 2 2 2                         + = − + = − + = − + −                     = + sin cos cos sin     ． sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin (            − = + − = − + − = − )   ( ) ( ) ( )   让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

tan(a+p) sin(a+B)sina cos B+cosasin B cos(a+B) cosa cos B-sin sin B 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tana、tanβ的形式呢?(分式分子、分 母同时除以 cosa cos B,得到tan(a+B)= tana+ tan B I-tan a tan B 注意:a+B≠+kx,以≠+kx,B≠+k(k∈z) 以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢? tan(a- B)=tan a+(-B)]=tana+ tan(-)=tana-tan p 1+t 注意:a+B≠-+k丌,a≠+kx,B≠+kr(k∈z) (二)例题讲解 例1、已知sina=--,a是第四象限角,求sin a l, cos+a l, tan a 4 解:因为sina=-2,a是第四象限角,得cosa=√1-sin2a= (-3 sIna 3 tan a coS a 4 于是有sin|z zn=4√3)27 sIn-cosc- cos-sina 72 cos+a|=cos-coSa-Sn-Sma=×---× 252 两结果一样,我们能否用第一章知识证明? tan a-tan 1+tana tanT 1+/-3-7 4

( ) ( ) ( ) sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin               + + + = = + − ． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan 、 tan  的形式呢？（分式分子、分 母同时除以 cos cos   ，得到 ( ) tan tan tan 1 tan tan       + + = − ． 注意： , , ( ) 2 2 2 k k k k z           +  +  +  +  以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ ( ) ( ) ( ) ( ) tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan             + − − − = + − = =     − − + 注意： , , ( ) 2 2 2 k k k k z           +  +  +  +  ． （二）例题讲解 例 1、已知 3 sin , 5   = − 是第四象限角，求 sin ,cos , tan 4 4 4                   − + −       的 值. 解：因为 3 sin , 5   = − 是第四象限角，得 2 2 3 4 cos 1 sin 1 5 5     = − = − − =     ， 3 sin 3 5 tan cos 4 4 5    − = = = − ， 于是有 2 4 2 3 7 2 sin sin cos cos sin 4 4 4 2 5 2 5 10               − = − =  −  − =     2 4 2 3 7 2 cos cos cos sin sin 4 4 4 2 5 2 5 10               + = − =  −  − =     两结果一样，我们能否用第一章知识证明？ 3 tan tan 1 4 4 tan 7 4 3 1 tan tan 1 4 4       − − −     − = = = −     + + −   

例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值 (1)、sin72cos42-cos72sin42°;(2)、cos20cos70-sin20sin70°:(3)、 1+tan 15 tan 15 解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差 正弦、余弦和正切公式中哪个相象 (1), sin 72 cos 42-cos 72 sin 42=sin(72'-42)=sin 30=7 (2), cos 20 cos 70-sin 20 sin 70 =cos(20+70")=cos 90=0 (3) 1+tan 15 tan 45+tan I5 tan 15 1-tan 45 tan 15 ta(45+15)=tan6o=3 例3、化简√2cosx-√6sinx 解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢? COS x sin x=2 coS x snx|=25(si00sx-030smx)=22sn(30-x) 思:2万是怎么得到的?232=5)+),我们是构造一个叫使它的正 余弦分别等于和 (三)反思总结,当堂检测 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要 善于发现规律,学会灵活运用教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测 设计意图:引导学生构建知识络并对所学内容进行简单的反馈纠正。(课堂实录) (四)发导学案、布置预习。 设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸 拓展训练。 九、板书设计 十、教学反思 (1)注重教学过程,注重探索,应贯穿于每一节课的始终。 (2)充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系,创设问题情景,激发学 生的学习兴趣 (3)通过不断地提出问题、解决问题,逐步培养学生的分析问题解决问题的能力 在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也 希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步! 十一、学案设计(见下页)

例 2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、 sin 72 cos 42 cos72 sin 42 − ；（2）、 cos 20 cos70 sin 20 sin 70 − ；（3）、 1 tan15 1 tan15 + − ． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差 正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、 ( ) 1 sin 72 cos 42 cos72 sin 42 sin 72 42 sin 30 2 − = − = = ； （2）、 cos 20 cos70 sin 20 sin 70 cos 20 70 cos90 0 − = + = = ( ) ； （3）、 ( ) 1 tan15 tan 45 tan15 tan 45 15 tan 60 3 1 tan15 1 tan 45 tan15 + + = = + = = − − ． 例 3、化简 2 cos 6 sin x x − 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ ( ) ( ) 1 3 2 cos 6 sin 2 2 cos sin 2 2 sin 30 cos cos30 sin 2 2 sin 30 2 2 x x x x x x x   − = − = − = −       思考： 2 2 是怎么得到的？ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 = + ，我们是构造一个叫使它的正、 余弦分别等于 1 2 和 3 2 的. （三）反思总结，当堂检测。 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要 善于发现规律，学会灵活运用.教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。 设计意图：引导学生构建知识络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录） （四）发导学案、布置预习。 设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸 拓展训练。 九、板书设计 十、教学反思 ⑴注重教学过程，注重探索，应贯穿于每一节课的始终。 ⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系，创设问题情景，激发学 生的学习兴趣。 ⑶通过不断地提出问题、解决问题，逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。 在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也 希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步! 十一、学案设计(见下页)

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课前预习学案 、预习目标 1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,初步运用公式求一些角的三角函数 值 2经历两角和与差的三角公式的探究过程,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力 预习内容 1、在一般情况下sin(a+β)≠sina+sinβ,cos(a+β)≠cosa+cosB in6 则sin(O 若是第四象限角,则sin(O-)= 4 tan=2,是第三象限角,求t(-2)= 注意角的变换及公式的灵活运用,如a=(a+B)-B2a=(a+B)-(a-B) a+B 2=(a-2)-(2-B)等。 已知tan(a+B)=g,tam(a-B)=1 那么tan(a+2)的值为() B、 3.在运用公式解题时,既要注意公式的正用,也要注意公式的反用和变式运用.如公式 tan(a±B)=如mna如B可变形为:tana±tanB=tan(a±B)(1干 tan a tan p) 1千 tan a tan A ttan a tan B=1-如 nat tan B tan(a±B) tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°= 4、又如: asin d+besa=√a2+b2( sin a cos+ cos a sin()=√a2+b2sin(a+ φ),其中tanφ=一等,有时能收到事半功倍之效 sin a+ cosa sin a- a 、提出疑惑

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课前预习学案 一、预习目标 1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数 值； 2.经历两角和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力； 二、预习内容 1、在一般情况下 sin(α+β)≠sinα+sinβ,cos(α+β)≠cosα+cosβ. 3 sin , sin( ) _________; sin( ) _________. 5 4 4       = − = − = 则 若 是第四象限角，则 ) ___________. 6 tan = 2, tan( − =   是第三象限角，求  2、 等。 注意角的变换及公式的灵活运用，如 ) 2 ) ( 2 ( 2 ( ) ;2 ( ) ( ),                = − − − + = + − = + − − 已知 + = , tan( − ) = 5 2 tan(  )   4 1 ，那么 )的值为 5 tan(   + ( ) A、－ 18 3 B、 18 3 C、 12 13 D、 22 3 3.在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用.如公式 tan(α±β)=     1 tan tan tan tan   可变形为：tanα±tanβ=tan(α±β)(1  tanαtanβ); ±tanαtanβ=1- tan( ) tan tan       , tan 20 + tan 40 + 3 tan 20 tan 40 = ___________.     4、又如：asinα+bcosα= 2 2 a + b (sinαcosφ+cosαsinφ)= 2 2 a + b sin(α+ φ),其中 tanφ= a b 等，有时能收到事半功倍之效. sin  + cos = __________; sin  − cos = ___________. 3 cosx −sin x =_____________. 三、提出疑惑

同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习目标 1.能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,以及两角和与差的正弦、正切公式, 了解公式间的内在联系。 2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题 学习重难点 1.教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用 2.教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用 二、学习过程 (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式: 动手完成两角和与差正弦和正切公式 观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tana、tanβ的形式呢?(分式分子、分 母同时除以 cosa cos B,得到tan(a+B)= tana+ tan B 1-tan a tan B 注意:a+B≠+k丌,a≠+kn,B≠+k(k∈=) 2 以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢? tana+tan(-P)tan B tan(a tan a+l- -tana tan(-B)1+ tana tan B 注意:a+B≠+k≠兀+k,B≠+kx(k∈2) (二)例题讲解 例1、已知sina=-a是第四象限角,求sin|-a,cos+aana-|的

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式， 了解公式间的内在联系。 2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 学习重难点： 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 二、学习过程 （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： 动手完成两角和与差正弦和正切公式. 观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式. 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan 、 tan  的形式呢？（分式分子、分 母同时除以 cos cos   ，得到 ( ) tan tan tan 1 tan tan       + + = − ． 注意： , , ( ) 2 2 2 k k k k z           +  +  +  +  以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ ( ) ( ) ( ) ( ) tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan             + − − − = + − = =     − − + 注意： , , ( ) 2 2 2 k k k k z           +  +  +  +  ． （二）例题讲解 例 1、已知 3 sin , 5   = − 是第四象限角，求 sin ,cos , tan 4 4 4                   − + −       的

例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)、sin72cos42-cos72sin42;(2)、cos20cos70-sin20sin70°;(3)、 1+tan15° 1-tan 15 例3、化简√2cosx-√6sinx (三)反思总结 (四)当堂检测 l、sn7°cos37°-sn83°sn37的值为

值. 例 2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、 sin 72 cos 42 cos72 sin 42 − ；（2）、 cos 20 cos70 sin 20 sin 70 − ；（3）、 1 tan15 1 tan15 + − ． 例 3、化简 2 cos 6 sin x x − （三）反思总结 (四)当堂检测 1、sin 7cos37 −sin 83sin 37的值为 ( )

(A) 的值为() tan 7 A)2√3 (C)-23 √3 (D) 3若sn2xsn3x=cos2xcos3x,则x的值是() (C)Z (D)z 若cosO=,O 2则sinb+ 3-tan 15 1+√3tan15° 6, cos(a+B)cos B+sin(a+B)sin B 参考答案 2√6+ 2、C3、A4 16、cosa 课后练习与提高 1.已知tan(a+B)=,tan|B 求tana+的值.(

(A) 2 3 − (B) 2 1 − (C) 2 1 (D) 2 3 ( ) tan 75 1 tan 75 2 2 、 的值为  −  (A) 2 3 (B) 3 2 3 (C) − 2 3 (D) 3 2 3 − 3、若sin 2xsin 3x = cos2xcos3x,则x的值是 ( ) (A) 10  (B) 6  (C) 5  (D) 4  ________ . 3 ,2 , sin 2 3 , 5 1 4 cos  =       +      =      、若   则 _________. 1 3 tan15 3 tan15 5 = +  −  、 6、 cos( + )cos +sin( + )sin  = _________. 参考答案 1、 2 1 − 2、C 3、A 4、 10 − 2 6 + 3 5、1 6、cos 课后练习与提高 1. 已知 ( ) 2 1 tan , tan , 5 4 4       + = − =     求 tan 4       +   的值．（ ）

2.若a,B均为锐角,且sna-snB=--,cosa-cosB=,则tan(a-B)= 3、函数y=cosx·cos2(x-1)的最小正周期是 4、a为第二象限角,sma=3,为第一象限角,sB=5求(2-B)的值 5已知sma-B)=4cos-B)=13 且α-B为第二象限角,2-B为第三象限角 求 参考答案 253

2. 若 , tan( ) . 2 1 ,cos cos 2 1 ,均为锐角，且sin  − sin  = −  −  = 则  −  = 3、函数 y = x  2 cos  ( 1) 2 cos x −  的最小正周期是___________________. 4、 为第二象限角，  = 为第一象限角，  = .求tan(2 − ）的值。 13 5 , cos 5 3 sin . 2 tan 2 2 , 13 12 ) 2 , cos( 5 4 ) 2 5. sin(           + − = − = − − − 求 已知 且 为第二象限角， 为第三象限角