3.2简单的三角恒等变换 、选择题 5丌 cos(a一 1.设-3m(a-2,则化简 的结果是() A. si B CoST D [答案]C 解析]∵-3π0.∴cosB-cosa>0,cosB>cosa,又 在(0,π)上,y=cosx是减函数.∴B<a∴0<a-B<丌 a+B a+BB B 由原式可知:2sin (2sin sin),∴tan √3 2 3.在△ABC中,若 sinSing=cos2a,则△ABC是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 [答案]B [解析 ∴ sinSing=cosz’… SInSing=+co Bp 2sinBsinC=1-Cos(B+ 用心爱心专心
用心 爱心 专心 - 1 - 3.2 简单的三角恒等变换 一、选择题 1．设－3π0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又 在(0，π)上，y＝cosx 是减函数．∴β<α∴0<α－β<π 由原式可知：2sin α＋β 2 ·cos α－β 2 ＝ 3 3 (－2sin α＋β 2 ·sin β－α 2 )，∴tan α－β 2 ＝ 3，∴ α－β 2 ＝ π 3 ，∴α－β＝ 2π 3 . 3．在△ABC 中，若 sinBsinC＝cos 2A 2 ，则△ABC 是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 [答案] B [解析] ∵sinBsinC＝cos 2 A 2 ，∴sinBsinC＝ 1＋cosA 2 ，即 2sinBsinC＝1－cos(B＋
0, 2sinBsinc=1-cos Bcos C+sinBsinC 即 cos Bcos+ sinsing=1 1,∴B-C=0,∴B=C 4.在△ABC中,若B=30°,则 cosSing的取值范围是() A.[-1,1] 11 B.[一,可 [答案]C [解析] cos Asin=[sin(+0-sin(A-O] i-osin(a-o ∵-1≤sin(A-O≤1,∴ cosSing∈[-元 5.已知cos2a-cos2B=a,那么sin(a+B)·sin(a-B)等于() a [答案]C [解析]法一:sin(a+B)sin(a-B) (sin a cos B+cos a sin B)(sin a cos B-cos a sin B) sin acos B-cos a B (1-cos a )cos B-cos a(1-cos B) Cs2B-cos2a=-a,故选C 法二:原式=-(cos2a-c0s2B)=-(2cos2a-1-2cos2B+1)=cos2B-cos2a= 6.函数f(x)=cos2x+ sInXCosX的最大值是( VE 1+ 2 [答案]C [解析]f(x)=cosx(cosx+sinx)=cosx (20sx+2m 2cosxsin(x+- 2tin2+2+n7=y2n2+)+ ∴当sin(2x+)=1时,f(x)取得最大值 用心爱心专心
用心 爱心 专心 - 2 - C),2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC， 即 cosBcosC＋sinBsinC＝1， ∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C. 4．在△ABC 中，若 B＝30°，则 cosAsinC 的取值范围是( ) A．[－1,1] B．[－ 1 2 ， 1 2 ] C．[－ 1 4 ， 3 4 ] D．[－ 3 4 ， 1 4 ] [答案] C [解析] cosAsinC＝ 1 2 [sin(A＋C)－sin(A－C)] ＝ 1 4 － 1 2 sin(A－C)， ∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈[－ 1 4 ， 3 4 ]． 5．已知 cos 2α－cos 2β＝a，那么 sin(α＋β)·sin(α－β)等于( ) A．－ a 2 B. a 2 C．－a D．a [答案] C [解析] 法一：sin(α＋β)sin(α－β) ＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ) ＝sin2αcos 2β－cos 2αsin2β ＝(1－cos 2α)cos2β－cos 2α(1－cos 2β) ＝cos 2β－cos 2α＝－a，故选 C. 法二：原式＝－1 2 (cos2α－cos2β)＝－ 1 2 (2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝ －a. 6．函数 f(x)＝cos 2 x＋sinxcosx 的最大值是( ) A．2 B. 3 2 C. 2＋1 2 D. 1＋2 2 2 [答案] C [解析] f(x)＝cosx(cosx＋sinx)＝cosx· 2( 2 2 cosx＋ 2 2 sinx)＝ 2cosxsin(x＋ π 4 ) ＝ 2 2 [sin(2x＋ π 4 )＋sin π 4 ]＝ 2 2 sin(2x＋ π 4 )＋ 1 2 ∴当 sin(2x＋ π 4 )＝1 时，f(x)取得最大值
1 即f(x)=x ×1+== cos2 a √2 7.若 ,则cosa+sina的值为( 4 [答案]C [解析]法一:原式左边= -2cos sina+cosa)=、1 2 sin a+cos as l ,故选C 法二:原式 sna·cosA-cosa·snA (cos a-sin a)(cos a+sin a) (sin a-cos a) v2 V2(sin a +cos a)=-y, ∴cosa+sina=,故选C. 8.设5丌<0<6,cos=a,则sin,等于() [答案]D 3丌 解析]∵5π<0<6π,∴ 用心爱心专心
用心 爱心 专心 - 3 - 即 f ( x)max ＝ 2 2 ×1 ＋ 12 ＝ 2 ＋ 1 2 . 7．若 cos2 α si n α － π 4 ＝－ 2 2 ，则 cos α ＋sin α 的值为 ( ) A．－ 7 2 B．－ 12 C. 12 D. 7 2 [答案 ] C [解析 ] 法一：原式左边＝ sin π 2 － 2 α －si n π 4 － α ＝ 2si n π 4 － α co s π 4 － α －si n π 4 － α ＝－2cos π 4 － α ＝－ 2(sin α ＋cos α )＝－ 2 2 ， ∴sin α ＋cos α ＝ 12 ，故选 C. 法二：原式＝ cos 2 α －sin 2 α sin α·co s π4 －cos α·si n π4 ＝ (cos α －sin α ) (cos α ＋sin α ) 2 2 (sin α －cos α ) ＝－ 2(sin α ＋cos α )＝－ 2 2 ， ∴cos α ＋sin α ＝ 12 ，故选 C. 8．设 5π< θ<6π ，cos θ2 ＝ a，则 sin θ4 等于 ( ) A. 1 ＋ a 2 B. 1 － a 2 C．－ 1 ＋ a 2 D．－ 1 － a 2 [答案 ] D [解析 ] ∵5π< θ<6π ， ∴ 5π4 < θ4 < 3π2
9.(09·江西文)函数f(x)=(1+√tanx)cosx的最小正周期为() 3丌 A.2 D. [答案]A 解析]因为f(x)=(1+√tanx)osx=cosx+ sinr 所以f(x)的最小正周期为2 10.已知 a<-丌 2+2V2+2o2a的值为() sIn coS [答案]A 解析)原式=(+o0 (cos a) cos a SIn,. 选 填空题 11.若cos2a=m(m≠0),则ta 解析]∵cs2a=m,∴sin2a=±√1一, 1-cos2-+ 4 1+sin2a1±1 cos2 a 3 12.sin10°-5in80°的值为 用心爱心专心
用心 爱心 专心 - 4 - ∴sin θ 4 ＝－ 1－cos θ 2 2 ＝－ 1－a 2 . 9．(09·江西文)函数 f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx 的最小正周期为( ) A．2π B. 3π 2 C．π D. π 2 [答案] A [解析] 因为 f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx＝cosx＋ 3sinx ＝2cos x－ π 3 ， 所以 f(x)的最小正周期为 2π. 10．已知－3π 2 ＜α＜－π，则 1 2 ＋ 1 2 · 1 2 ＋ 1 2 cos2α的值为( ) A．－sin α 2 B．cos α 2 C．sin α 2 D．－cos α 2 [答案] A [解析] 原式＝ 1 2 ＋ 1 2 cos 2α ＝ 1 2 ＋ 1 2 (－cosα)＝ 1 2 (1－cosα) ＝|sinα 2 |＝－sin α 2 ，∴选 A. 二、填空题 11．若 cos2α＝m(m≠0)，则 tan π 4 ＋α ＝________. [答案] 1± 1－m 2 m [解析] ∵cos2α＝m，∴sin2α＝± 1－m 2， ∴tan π 4 ＋α ＝ 1－cos2 π 4 ＋α sin2 π 4 ＋α ＝ 1＋sin2α cos2α ＝ 1± 1－m 2 m . 12. 1 sin10°－ 3 sin80°的值为________．
[答案]4 解析原式=18=0ykin 2cos(10°+60°) os asin a 13.已知a、B均为锐角,且tanB cos a+sin a 则tan(a+B) [答案]1 -0,∈(2,2)厂mr 上是单调增函数 B B ∴tan(a+B) 三、解答题 cos12°+sin54°的值 解析]sin42°-cos12°+sin54° =sin42°-sin78°+sin54° 2cos60°sinl8°+sin54 sin54°-sinl8°=2cos36°sin18° 2cos36°sinl8°cos18°cos36°sin36° cosl8° 2cos36°sin36°sin72°1 2cos18 4π +cos 6的值 [解析] coS-T cos 2sin-cos-+2sin-cos-+2sin-cos- sIn 2sin- sIn Sin J-sin 16.方程8x+6kx+2k+1=0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值,若能 用心爱心专心
用心 爱心 专心 - 5 - [答案] 4 [解析] 原式＝ 1 sin10°－ 3 cos10°＝ cos10°－ 3sin10° sin10°cos10° ＝ 2cos(10°＋60°) 1 2 sin20° ＝4. 13．已知 α、β 均为锐角，且 tanβ＝ cosα－sinα cosα＋sinα ，则 tan(α＋β)＝________. [答案] 1 [解析] tanβ＝ cosα－sinα cosα＋sinα ＝ 1－tanα 1＋tanα ＝tan π 4 －α ， ∵ π 4 －α，β∈ － π 2 ， π 2 且 y＝tanx 在 － π 2 ， π 2 上是单调增函数， ∴β＝ π 4 －α，∴α＋β＝ π 4 ，∴tan(α＋β)＝tan π 4 ＝1. 三、解答题 14．求 sin42°－cos12°＋sin54°的值． [解析] sin42°－cos12°＋sin54° ＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54° ＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18° ＝ 2cos36°sin18°cos18° cos18° ＝ cos36°sin36° cos18° ＝ 2cos36°sin36° 2cos18° ＝ sin72° 2cos18°＝ 1 2 . 15．求 cos 2π 7 ＋cos 4π 7 ＋cos 6π 7 的值． [解析] cos 2π 7 ＋cos 4π 7 ＋cos 6π 7 ＝ 1 2sin π 7 · 2sin π 7 cos 2π 7 ＋2sin π 7 cos 4π 7 ＋2sin π 7 cos 6π 7 ＝ 1 2sin π 7 sin 3π 7 －sin π 7 ＋ sin 5π 7 －sin 3π 7 ＋ sin 7π 7 －sin 5π 7 ＝ 1 2sin π 7 sinπ－sin π 7 ＝－ 1 2 . 16．方程 8x 2＋6kx＋2k＋1＝0 的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，若能
求出k的值:若不能,请说明理由. [解析]设直角三角形两锐角分别为a、B,设已知方程的两根为x、2, 则 x=sin a, x2=sin P=sin/t cos a 由韦达定理得 XI+xa=sin a +cos a a+-0<a< x·x2=sina·cosa=asin2a0<a< x+x2=1 于是有1<+≤V 9k2-8k-20=0 =2或k= 1<-k≤ 即 2 4 4 ≤K 2k+11 k≤ 易知该混合组无解. 故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值 [点评]此题易产生下面错解. 设直角三角形的两个锐角分别为a和B 已知方程的两根为x和x,则x=sina,x=sinB. 又a与B互余,∴=sin a=cos a 由sin2 1得 +x2=1→(x+x)2 6k 2k+1 10 由韦达定理得 1→9k2-8k-20=0.解得:k=2,k2 错因是忽视了一元二次方程有实根应满足Δ≥0,锐角的三角函数值应为正值的条件.事 实上,当k=2时,原方程可化为8x+12x+5=0,此时△40,方程无实根.当=-9 11 原方程化为:8x2 39=0,此时x 72即 sin a cos a 72a是锐角,∴该 式显然不成立 用心爱心专心
用心 爱心 专心 - 6 - 求出 k 的值；若不能，请说明理由． [解析] 设直角三角形两锐角分别为 α、β，设已知方程的两根为 x1、x2， 则 x1＝sinα，x2＝sinβ＝sin π 2 －α ＝cosα 由韦达定理得： x1＋x2＝sinα＋cosα＝ 2sin α ＋ π 4 0<α< π 2 x1·x2＝sinα·cosα＝ 1 2 sin2α 0<α< π 2 于是有 x 2 1＋x 2 2＝1 1<x1＋x2≤ 2 0<x1x2≤ 1 2 ， 即 9k 2－8k－20＝0 1<－ 3 4 k≤ 2 0< 2k＋1 8 ≤ 1 2 ，∴ k＝2或k＝－ 10 9 － 4 2 3 ≤k<－ 4 3 － 1 2 <k≤ 3 2 ， 易知该混合组无解． 故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值． [点评] 此题易产生下面错解． 设直角三角形的两个锐角分别为 α 和 β. 已知方程的两根为 x1 和 x2，则 x1＝sinα，x2＝sinβ. 又 α 与 β 互余，∴x2＝sin π 2 －α ＝cosα. 由 sin2α＋cos 2α＝1 得 x 2 1＋x 2 2＝1⇒(x1＋x2) 2－2x1x2＝1. 由韦达定理得： － 6k 8 2－2· 2k＋1 8 ＝1⇒9k 2－8k－20＝0.解得：k1＝2，k2＝－ 10 9 . 错因是忽视了一元二次方程有实根应满足 Δ≥0，锐角的三角函数值应为正值的条件．事 实上，当 k＝2 时，原方程可化为 8x 2＋12x＋5＝0，此时 Δ<0，方程无实根．当 k＝－ 10 9 时， 原方程化为：8x 2－ 20 3 x－ 11 9 ＝0，此时 x1x2＝－ 11 72，即 sinαcosα＝－ 11 72.∵α 是锐角，∴该 式显然不成立．
17.求函数y=cos3x·cosx的最值 [解析]y=cos3x·cosx=a(cos4x+cos2x) os 2x-1+cos2x)=cos 2x+-cos2x- ∵cos2x∈[-1,1] ∴当cos2x=-时,y取得最小值 当cos2x=1时,y取得最大值1 用心爱心专心
用心 爱心 专心 - 7 - 17．求函数 y＝cos3x·cosx 的最值． [解析] y＝cos3x·cosx＝ 1 2 (cos4x＋cos2x) ＝ 1 2 (2cos2 2x－1＋cos2x)＝cos 2 2x＋ 1 2 cos2x－ 1 2 ＝ cos2x＋ 1 4 2－ 9 16. ∵cos2x∈[－1,1]， ∴当 cos2x＝－ 1 4 时，y 取得最小值－ 9 16； 当 cos2x＝1 时，y 取得最大值 1