三角函数 一、填空题:本大题共14题,每小题5分,共70分 1.sin315 2.已知角a的终边经过点P(x,-6),且 tana=、3 ,则x的值为 3.已知扇形的半径为10cm,圆心角为60°,则该扇形的面积为 4.将函数y=sinx图象上每一点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将整个图象沿x 向右平移一个单位,得到的函数解析式为 √3 且丌0),若∫(乃)=f(女),且f(x)在区间(,)内有 最大 值,无最小值,则O= 11.若函数y=sinx(a0)图象上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是 14.方程1=25im)在区间2010,201所有根之和等于
三角函数 一、填空题：本大题共 14 题，每小题 5 分，共 70 分． 1．sin 315 =__________． 2．已知角 的终边经过点 P x( , 6) − ，且 3 tan 5 = − ，则 x 的值为__________． 3．已知扇形的半径为 10cm ，圆心角为 60 ，则该扇形的面积为 2 cm . 4．将函数 y x = sin 图象上每一点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再将整个图象沿 x 轴 向右平移 4 个单位，得到的函数解析式为__________． 5．已知 3 cos 3 = − ，且 3 2 ，则 tan = __________． 6．函数 f (x) = sin x cos x cos 2x 的最小正周期为__________． 7．在 ABC 中，若 tan A+ tanB + 3 = 3 tan A tanB ，则角 C 的大小为__________． 8．函数 2 sin sin cos ( ) 1 cos 2 x x x f x x − = + ( 0 2 x )的最小值为__________． 9 ． 若 函数 ( ) sin cos 2 2 x x f x a = + 的 图 象 关 于 直线 3 x = 对称，则常数 a 的值等于 __________． 10．已知函数 ( ) sin( ) ( 0) 3 f x x = + ，若 ( ) ( ) 6 2 f f = ，且 f x( ) 在区间 ( , ) 6 2 内有 最大 值，无最小值，则 =__________． 11．若函数 y x = sin ( ) a x b 的值域是 1 [ 1, ) 2 − ，则 b a − 的最大值是__________． 12．已知 3 cos( ) 3 3 x − = ，则 cos( 2 ) 3 x + 的值等于__________． 13．函数 f x a ax a ( ) cos( )( 0) = + 图象上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是 __________． 14．方程 1 2sin( ) 1 x x = − 在区间[-2010，2012]所有根之和等于__________．
解答题:本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边做两个锐角a,B,它们的终边分别与 单位圆相交于A、B两点,已知A、B的横坐标分别为 (I)求tan(a+β)的值; (Ⅱ)求a+2B的值 (第15题) 16.(本小题满分14分) 已知函数f(x)=Asin(ox+q)(A>0,>0,9kx)的一段图象如下图所示, (1)求函数f(x)的解析式 (2)求函数∫(x)的单调增区间; 3丌丌 (3)若x∈[ 8x],求函数∫(x)的值域
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与 单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 2 2 5 , 10 5 ． （Ⅰ）求 tan( + )的值； （Ⅱ）求 + 2 的值． 16．(本小题满分 14 分) 已知函数 f x A x ( ) sin( ) = + （ A 0, 0,| | ）的一段图象如下图所示， （1）求函数 f x( ) 的解析式； （2）求函数 f x( ) 的单调增区间； （3）若 3 [ , ] 8 4 x − ，求函数 f x( ) 的值域． [来源:Zx x k.Com] 3 8 8 − 2 −2 0
17.(本小题满分14分) 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度 h=4m,仰角∠ABE=a,∠ADE=B (1)该小组已经测得一组α、B的值,tana=124,tanβ=120,请据此算出H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m), 使α与β之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时, a-B最大? 18.(本小题满分16分) 已知函数∫(x)=3√3 sin x cosx+3cos2x 2 (1)若x∈0,2x),且(人3 求x的值 (2)将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图像, 且函数y=g(x)是偶函数,求m的最小值 (3)若关于x的方程f(x)-a=0在x∈[0,-)上只有一个实数解,求a的取值范围
17．(本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角∠ABE= ，∠ADE= ． （1）该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d （单位：m ）， 使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高 度为 125m，试问 d 为多少时， − 最大？ 18．(本小题满分 16 分) 已知函数 2 3 ( ) 3 3 sin cos 3cos 2 f x x x x = + − ． （1）若 0 x [0,2 ) ，且 0 3 ( ) 2 f x = ，求 0 x 的值； （2）将函数 f x( ) 的图像向右平移 m m( 0) 个单位长度后得到函数 y g x = ( ) 的图像， 且函数 y g x = ( ) 是偶函数，求 m 的最小值； （3）若关于 x 的方程 f x a ( ) 0 − = 在 [0, ) 2 x 上只有一个实数解，求 a 的取值范围．
19.(本小题满分16分) 已知向量m=(10sox),=(smax(>0),函数f(x)=mm,且f(x)图象上一个 最高点为P(,2),与P最近的一个最低点的坐标为(,-2) (1)求函数f(x)的解析式; (2)设a为常数,判断方程f(x)=a在区间[0,]上的解的个数 (3)在锐角△ABC中,若cos(-B)=1,求∫(A)的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知向量a=(cosa,sina),b=( cOSX, SInx),c=(sinx+2sina,cosx+2cosa), 其中0<a<x<π (1)若a=4,求函数f(x)=bc的最小值及相应X的值 (2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2a的值 四参考答案
19．(本小题满分 16 分) 已知向量 m x n x = = (1,cos , sin , 3 ) ( ) ( 0) ，函数 f (x) = m n ，且 f (x) 图象上一个 最高点为 P ,2) 12 ( ，与 P 最近的一个最低点的坐标为 , 2) 12 7 ( − ． （1）求函数 f (x) 的解析式； （2）设 a 为常数，判断方程 f x a ( ) = 在区间 [0, ] 2 上的解的个数； （3）在锐角 ABC 中，若 ) 1 3 cos( − B = ，求 f (A) 的取值范围． 20．(本小题满分 16 分) 已知向量 a b c = = = + + (cos sin cos sin sin 2sin cos 2cos ， )， ( x x x x ， )， ( ， )， 其中 0 x π ． （1）若 π 4 = ，求函数 f x( ) = b c 的最小值及相应 x 的值； （2）若 a 与 b 的夹角为 π 3 ，且 a⊥c，求 tan 2 的值． 四参考答案
填空题 解析:本小题考查诱导公式,sin315=sin(360-45)=-in 2.答案:10 解析:本小题考查三角函数定义,tna==6=-3 x 3.答案:50 解析:本小题考查扇形面积公式,S=q217102_50丌 4.答案:y=sin(x-)解析:本小题考查图象变换,y=sinx→y=sinx→ y=sin-(x 5.答案:√2 解析:本小题考查同角三角函数关系,cosa= (丌0所以tanx=时,有函数的最小值 9.答案:√3解析:本小题考查辅助角公式和图象性质 因为f(x)=sin+acos=Vl+a2sin(+q) 图象关于直线x=对称,所以当x=时,函数f(x)有最大值或最小值,即有 x)=inx+acos引=√+a2成立,解得a=√
一、 填空题 1．答案： 2 2 − 解析：本小题考查诱导公式， sin315 sin(360 45 ) = − = −sin 45 2．答案：10 解析：本小题考查三角函数定义， 6 3 tan x 5 − = = − [ 来源:学§科§网 Z§X§X§K] 3．答案： 50 3 解析：本小题考查扇形面积公式， 1 1 2 2 10 2 2 3 S r = = 50 3 = 4．答案： 1 sin ( ) 2 4 y x = − 解析：本小题考查图象变换， 1 sin sin 2 y x y x = → = → 1 sin ( ) 2 4 y x = − 5．答案： 2 解析：本小题考查同角三角函数关系， 3 cos 3 = − （ 3 2 ）， 6 sin 3 = − ， sin tan 2 cos = = . 6．答案： 2 解析：本小题考查二倍角公式和周期公式， 1 ( ) sin 4 4 f x x = 最小正 周期为 2 4 2 T = = 7．答案： 3 解析：本小题考查诱导公式和两角和正切公式 tan tan( ( )) C A B = − + = − + tan( ) A B = tan tan 1 tan tan A B A B + − − （*） 据题意得： tan tan A B + = 3 tan tan A B − 3 代入（*）得 tanC = 3 又因为在 ABC 中，所以角 C 为 3 . 8.答案： 1 8 − 解析：本小题考查二倍角公式和同角三角函数关系 2 2 sin sin cos ( ) 2cos x x x f x x − = 1 2 (tan tan ) 2 = −x x 因为 0 2 x 所以 tan x >0,所以 1 tan 2 x = 时，有函数的最小值 1 8 − 。[来 源: 学科网] 9．答案： 3 解析：本小题考查辅助角公式和图象性质 因为 ( ) sin cos 2 2 x x f x a = + = 2 1 sin( ) 2 x + + a 图象关于直线 3 x = 对称，所以当 3 x = 时，函数 f(x)有最大值或最小值，即有 2 ( ) sin cos 1 3 6 6 f a a = + = + 成立，解得 a = 3
解析:本小题考查图象性质,因为f()=f(),所以函数f(x)的图象 上两点(,f()(,f(x)关于直线x=对称,又因为f(x)在区间(,打)内有最大值, 无最小值,所以(z)=1得a=6k+1(k∈Z),又因为T>(z-)=x,所以0<<6, 所以O 11.答案:一解析:本小题考查正弦图象性质,根据正弦函数在一个周期内的图象,要使 b-a取得最大值,f(a)=∫(b)=,易得a-b的最大值为 12.答案:-解析:本小题考查诱导公式,“配角”思想,和二倍角公式 因为cos( +2x)=cos(2(x-2)+)=-cos2(x-)=1-2cos2(-x) 3 所以cos+2x)=1-2(3)3=1(主要找出所求角与已知角的关系) 13.答案:2√丌解析:本小题考查“数形结合”思想利用图象性质解题 图象上最高点与最低点的距离√x-x)+(02-x1),x2-x==z y2-y1 距离为、2)2+(2a)22x(20)=2√z 14.答案:4020解析:本小题考查零点问题和“数形结合”思想,方程的根即为图象交点 的横坐标,如图,因为图象s、1 x-1和y=2sin(zx) 关于点(1,0)对称,所以一对根的和为2,每个周期内(除了 [0,2])均有两个交点,[2010,2012]共有4020个交点,即 有2010对关于(1,0)对称的点,所以所有根的和为4020 二、解答题: 15.解析:本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式 解:由已知条件及三角函数的定义可知,c0ga=1.cos=25 因为a,B为锐角,所以sm=22sm=5 因此ana=7,tanB=1
10.答案： 1 2 解析：本小题考查图象性质，因为 ( ) ( ) 6 2 f f = ，所以函数 f x( ) 的图象 上两点 ( , ( )),( , ( )) 6 6 2 2 f f 关于直线 3 x = 对称，又因为 f x( ) 在区间 ( , ) 6 2 内有最大值， 无最小值，所以 ( ) 1 3 f = 得 1 6 ( ) 2 = + k k Z ，又因为 ( ) , 2 6 3 T −= 所以 0 6 ， 所以 = 1 2 11．答案： 4 3 解析：本小题考查正弦图象性质，根据正弦函数在一个周期内的图象，要使 b a − 取得最大值， 1 ( ) ( ) 2 f a f b = = ,易得 a b − 的最大值为 4 3 12．答案： 1 3 解析：本小题考查诱导公式，“配角”思想，和二倍角公式 因为 cos( 2 ) 3 x + = cos(2( ) ) 3 x − + cos 2( ) 3 x = − − = 2 1 2cos ( ) 3 x − − ， 所以 3 1 2 cos( 2 ) 1 2( ) 3 3 3 x + = − = （主要找出所求角与已知角的关系） 13．答案： 2 解析：本小题考查“数形结合”思想利用图象性质解题 图象上最高点与最低点的距离 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) x x y y − + − ， 2 1 2 T x x a − = = ， 2 1 y y a − = 2 ，则 距离为 2 2 ( ) (2 ) 2 (2 ) 2 a a a a + = 14．答案：4020 解析：本小题考查零点问题和“数形结合”思想，方程的根即为图象交点 的横坐标， 如图，因为图象 1 1 y x = − 和 y x = 2sin( ) 关于点 (1,0) 对称，所以一对根的和为 2，每个周期内（除了 [0，2]）均有两个交点，[-2010，2012]共有 4020 个交点，即 有 2010 对关于（1，0）对称的点，所以所有根的和为 4020。 二、解答题： 15．解析：本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式． 解：由已知条件及三角函数的定义可知， 2 2 5 cos ,cos 10 5 = = ， 因为 , 为锐角，所以 sin = 7 2 5 ,sin 10 5 = 因此 1 tan 7, tan 2 = =
(I) tan(a+B)=tan a+tan B=-3 1-tan a tan B (Ⅱ)tan2B=,2tanB4 ,所以tan(a+2B)= tan a+tan 2B B 3 1-tan a tan 2B ∵a,B为锐角,∴0<a+2B< a+2G3兀 析:(1)由题意知:A=2,=2 f∫(x)=2sin(2x+ (2)由2kz-≤2x+37≤2k+、k∈Z得 x≤k丌 丌 k 减区间为[kx-,kx-。],k∈Z (3)值域为 17.解析:本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用 =tanB→AD= AD H,同理:AB tan a AD一AB=DB,故得 解得:h=~ han a 4×124124 4 tanβ tan a tan B tan B-tana 1. 24-1.20 因此,算出的电视塔的高度H是124m (2)由题设知d=AB,得ma、b, tanp ad db d H H-h tan(a-B) tan a-tanb d d h 1+ tana tanB 1+HH-h d'+H(H-h) d.H(H-h H(H-h ≥2H(H-h),(当且仅当d=HH-h)=√125×121=555时,取等号) 故当d=555时,tan(a-B)最大 因为0<B<a<x,则0<a-B<,所以当d=55时,a-B最大。 故所求的d是555m
（Ⅰ）tan( + )= tan tan 3 1 tan tan + = − − （Ⅱ） 2 2 tan 4 tan 2 1 tan 3 = = − ，所以 ( ) tan tan 2 tan 2 1 1 tan tan 2 + + = = − − ∵ , 为锐角，∴ 3 0 2 2 + ，∴ + 2 = 3 4 16．解析：（1）由题意知： A = = 2, 2 3 ( ) 2sin(2 ) 4 f x x = + （2）由 3 2 2 2 , 2 4 2 k x k k Z − + + 得 5 8 8 k x k − − 减区间为 5 [ , ], 8 8 k k k Z − − （3）值域为 [ 2,2] − 17．解析：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1） tan tan H H AD AD = = ，同理： tan H AB = ， tan h BD = 。 AD—AB=DB，故得 tan tan tan H H h − = ，解得： tan 4 1.24 124 tan tan 1.24 1.20 h H = = = − − 。 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。 （2）由题设知 d AB = ，得 tan , tan H H h H h d AD DB d − = = = = ， 2 tan tan tan( ) 1 tan tan ( ) ( ) 1 H H h d d hd h H H h H H h d H H h d d d d − − − − = = = = + + − − − + + ( ) 2 ( ) H H h d H H h d − + − ，（当且仅当 d H H h = − = = ( ) 125 121 55 5 时，取等号） 故当 d = 55 5 时， tan( ) − 最大。 因为 0 2 ，则 0 2 − ，所以当 d = 55 5 时， - 最大。 故所求的 d 是 55 5 m
18.解析:(1)f(x)=3sin(2xo6小y sin(2x0+-) 2x+=2kx+或2 x=k或x=kr+,k∈Z x∈[02x)∷x=0或石或或4z (2)8(x)=f(x-m)=3sin(2x-2miZ g(x)是偶函数∴-2m+=+kz,k∈Z z (3)由y=f(x)x∈0,)与y=a图像只有一个交点得2∠2时,f(x)=a在区间[0上无解 (3)在锐角△BC中,0.<A< <2A+ n(2A+)∈( f(A)=2si(2A+)∈(-3,3 即f(4)的取值范围是(-√3,√3)
18．解析：（1） 0 0 0 3 1 ( ) 3sin(2 ) sin(2 ) 6 2 6 2 f x x x = + = + = 0 0 5 2 2 2 2 6 6 6 6 x k x k + = + + = + 或 0 0 , 3 x k x k k Z = = + 或 0 0 4 [0,2 ) 0 3 3 x x = 或 或 或 （2） ( ) ( ) 3sin(2 2 ) 6 g x f x m x m = − = − + g x( ) 是偶函数 2 , 6 2 m k k Z − + = + 2 6 k m = − − min 0 3 m m = （3）由 ( ), [0, ) 2 y f x x = 与 y a = 图像只有一个交点得 3 3 3 2 2 − = a a 或 19．解析：本题主要考查三角函数图象性质，两角和差公式及向量数量积坐标表示综合问题 （1） f x m n x x ( ) sin 3 cos = = + 1 3 2( sin cos ) 2 2 = + x x 2sin( ) 3 x = + . f (x) 图象上一个最高点为 P ,2) 12 ( ，与 P 最近的一个最低点的坐标为 , 2) 12 7 ( − , 7 2 12 12 2 T = − = ， = T ，于是 2 2 T = = . 所 以 ( ) 2sin(2 ) 3 f x x = + . （2）当 x[0, ] 2 时， 4 2 3 3 3 x + ，由 ( ) 2sin(2 ) 3 f x x = + 图象可知： 当 a[ 3, 2) 时， f x a ( ) = 在区间 [0, ] 2 上有二解； 当 a −[ 3, 3) 或 a = 2 时， f x a ( ) = 在区间 [0, ] 2 上有一解； 当 a − 3 或 a 2 时， f x a ( ) = 在区间 [0, ] 2 上无解. （3）在锐角 ABC 中， 2 0 B ， 6 3 3 − − B .[来源:学_科_网Z_X_X_K] 又 ) 1 3 cos( − B = ，故 0 3 − B = ， 3 B = . 在锐角 ABC 中, , , 2 2 6 2 A A B A + . 2 4 2 3 3 3 A + 3 3 sin(2 ) ( , ) 3 2 2 A + − , ( ) 2sin(2 ) 3 f A A = + −( 3, 3). 即 f (A) 的取值范围是 ( 3, 3). −
20.解析:(1)∵b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sina,cosx+2cosa),a f(x)=bc=cos x+2 cos xsina +sin xcos x+ 2sin xcosa 2sinxcosx+N2(sinx+cosx) 令t=sinx+cosx(0<x<π),则2 esin x cosx=t2-1,且-l<t≤√2 则y=f(x)=2+√2-1=(+y2) 时 ,此时 √2 由于0<x<π,故,11兀 所以函数f(x)的最小值为-3,相应x的值为1z (2)∵a与b的夹角为,∴ab = cos a cosx+sin a sin x= cos(x la|·|b 0<x-a<丌 a_IC,.. cos a(sinx+2sina)+sin a(cos x + 2cosa)=0 sin(x +a)+2sin 2a=0, sin(2a+-)+2sin 2a=0 √3 sin 2a +-cos 2a=0, .. tan 20=
20．解析：（1）∵ b c = = + + (cos , sin , sin 2sin , cos 2cos x x x x ) ( ) ， π 4 = ， ∴ f x( ) = b c = + + + cos sin 2cos sin sin cos 2sin cos x x x x x x = + + 2sin cos 2(sin cos ) x x x x ． 令 t x x x = + sin cos (0 π) ，则 2 2sin cos 1 x x t = − ，且 − 1 2 t ≤ ． 则 2 2 2 3 ( ) 2 1 ( ) 2 2 y f x t t t = = + − = + − ， − 1 2 t ≤ ． ∴ 2 2 t = − 时， min 3 2 y = − ，此时 2 sin cos 2 x x + = − ． 由于 0 x π ，故 11π 12 x = ． 所以函数 f x( ) 的最小值为 3 2 − ，相应 x 的值为 11π 12 ． （2） ∵a 与 b 的夹角为 π 3 ，∴ π cos cos cos sin sin cos( ) 3 | | | | s x x x = = + = − a b a b ． ∵ 0 x π ，∴ 0 − x π ，∴ π 3 x − = ． ∵a⊥c，∴ cos (sin 2sin ) sin (cos 2cos ) 0 x x + + + = ．[来源:学科网 ZXXK] ∴ sin( ) 2sin 2 0 x + + = ， π sin(2 ) 2sin 2 0 3 + + = ． ∴ 5 3 sin 2 cos 2 0 2 2 + = ，∴ 3 tan 2 5 = − ．