课题:函数y=Asin(ox+g)的图象(第一课时 教材:普通高中课程标准实验教科书数学必修4 、内容与内容解析 本课地位和作用 三角函数是描述周期现象的数学模型,也是一种基本初等函数,在数学和其他 领域中具有重要的作用.“函数y=Asin(ox+g)的图象”是三角函数的一个重要内 容,通过揭示参数A,o,g变化对函数y=Asin(ox+q)图象的影响,有助于进一 步深化对函数图象变换的理解和认识,同时也有助于体会三角函数是描述周期现象 的重要数学模型. 2.本课内容剖析 函数y=Asi(ox+)的图象”主要是探讨函数y=Asi(ox+g)的图象与函数 y=sinx的图象之间的关系.图象是由点构成的,图象变换的本质是图象上点的位 置变化,而点的位置变化对应着点的坐标变化,因此,欲研究函数图象的变换规律, 只需研究图象上每个点坐标的变化规律 本节课是“函数y=Asin(ox+q)的图象”的第一课时,本节课的教学设计是先 分别探讨φ、A、o对y=sin(x+φ)、y= asin(4>0)、y= SInox(o>0)的图象的影响, 再探究y=sin(2x+1)的图象和y=sin2x的图象之间的变换关系.其中,对参数g 的研究方法可以迁移到后续问题解决中去 本节课的重点是:对y=sn(x+)、y= Asin(4>0)、y= sinox(o>0)的图象和 y=sinx的图象之间的变换规律的理解 二、目标与目标解析 1.分别探究φ、A、O对y=sin(x+q)、y= asin(A>0)、y= sInox(o>0)的图象 的影响; 2.在理解φ、A、O对y=sin(x+g)、y= asin(4>0)、y= sinox(o>0)的图象的 变换规律的基础上,探究ω不为1时的平移变换; 3.让学生自主探究研究策略,经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程, 培养学生的认知策略. 三、学生学情分析 在此之前,学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换,又在三角函
课题： 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象（第一课时） 教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修 4 一、内容与内容解析 1．本课地位和作用 三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他 领域中具有重要的作用．“函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内 容，通过揭示参数 A，ω，φ 变化对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一 步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象 的重要数学模型． 2．本课内容剖析 “函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数 y＝sinx 的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位 置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律， 只需研究图象上每个点坐标的变化规律． 本节课是“函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先 分别探讨 φ、A、ω 对 y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响， 再探究 y＝sin(2x＋1)的图象和 y＝sin2x 的图象之间的变换关系．其中，对参数 φ 的研究方法可以迁移到后续问题解决中去． 本节课的重点是：对 y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象和 y＝sinx 的图象之间的变换规律的理解. 二、目标与目标解析 1．分别探究 φ、A、ω 对 y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象 的影响； 2．在理解 φ、A、ω 对 y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的 变换规律的基础上，探究 ω 不为 1 时的平移变换； 3．让学生自主探究研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程， 培养学生的认知策略． 三、学生学情分析 在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函
数的图象和性质中对周期变换有所涉及,本节课是对一般函数图象变换内容的延伸 和拓展,从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规 律 1.参数φ引起的平移变换,学生已有经验“左加右减”,为什么如此呢?在教 学中引导学生理性思考,让新旧知识交汇,有利于提升学生对平移变换的理解 2.A、O对y=Asin(A>0)、y= SInox(o)>0)图象的影响,由学生类比方法独立 研究.其中,参数A和ω的取值,学生会忽视00)、y= sinox(o>0)的图象的影响.比 如,从y=sinx到y= sInox,代数上是用ox代换x,因此是将y=sinx图象上坐标 为(xo,y)的点变换到坐标为(x0,1)的点,所以是将y=sinx图象上各点纵坐标不 变、横坐标变为原来的一;②从y=sin2x的图象变换到y=sn(2x+1)的图象,究竟 是向左平移1个单位还是个单位?突破难点的方法是通过坐标变换理性分析,如 果学生仍有困难,结合几何画板作图观察. 教学中,不急于把结论抛给学生,而是结合多个具体的例子,增加供归纳的样 本,让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程,逐步概括图象变换的规 律.学生通过充分地思考和探究,发现函数图象之间的关系,并对结论进行理性思 考,从中学习解决问题的一般方法. 本节课遵循自主探究的教学方式,因为每个人的知识、能力不同,因此认识问 题的习惯与特点不同,所以本节课并不把探究过程设计成一个封闭的、静态的系统, 而是设计为一个动态的、开放的系统,充分发挥学生的主观能动性,这有利于学生 认知策略的发展 五、教学过程 创设情境,提出问题
数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸 和拓展，从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规 律． 1．参数 φ 引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教 学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对平移变换的理解； 2．A、ω 对 y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)图象的影响，由学生类比方法独立 研究．其中，参数 A 和 ω 的取值，学生会忽视 0＜A＜1 和 0＜ω＜1 情况，在这里 注意引导，从而全面认识参数 A 和 ω 的变化引起的图象变换． 通过本节课的学习，学生经历从由形导数到由数释形的深化过程，形成研究函 数图象变换的一般策略． 四、教学策略分析 本节课的难点是：①伸缩变换；②ω 不为 1 时的平移变换． 突破难点的策略是：①通过探讨 φ 对 y＝sin(x＋φ)图象的影响，初步感悟变换 的实质，进而类比探究 A、ω 对 y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响．比 如，从 y＝sinx 到 y＝sinωx，代数上是用 ωx 代换 x，因此是将 y＝sinx 图象上坐标 为(x0，y0)的点变换到坐标为( 1 ω x0，y0)的点，所以是将 y＝sinx 图象上各点纵坐标不 变、横坐标变为原来的1 ω ；②从 y＝sin2x 的图象变换到 y＝sin(2x＋1)的图象，究竟 是向左平移 1 个单位还是1 2 个单位？突破难点的方法是通过坐标变换理性分析，如 果学生仍有困难，结合几何画板作图观察． 教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体的例子，增加供归纳的样 本，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，逐步概括图象变换的规 律．学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思 考，从中学习解决问题的一般方法． 本节课遵循自主探究的教学方式，因为每个人的知识、能力不同，因此认识问 题的习惯与特点不同，所以本节课并不把探究过程设计成一个封闭的、静态的系统， 而是设计为一个动态的、开放的系统，充分发挥学生的主观能动性，这有利于学生 认知策略的发展． 五、教学过程 创设情境，提出问题
研制策略,优化方案 合作探究,感悟方法 以问题为載体 以活动为主线 类比方法,自主探究 思考巩固,深化铺垫 整理小结,规划任务 1.创设情境、提出问题 如图,摩天轮的半径为Am(4>0),摩天轮逆时针做匀速转动,角速度为orad /min(ω>0),如果当摩天轮上点P从图中点Po处开始计算时间.请在如图所示的 坐标系中,确定时刻xmin时点P的纵坐标y 【设计意图】 用数学的眼光观察世界,感悟函数y=Asin(αx+φ)是刻画自然界周期现象的常 见的数学模型,具有丰富的自然背景.借助于实际意义来理解函数y=Asin(ωx+φ) 的图象性质是自然的、清楚的、明白的! 师生活动:先将点P置于x轴正半轴上,利用正弦函数的定义得到y= asino;再 将点P置于如图所示位置,得到在时刻xmin时点P的纵坐标y=Asin(onx+ (4,0)
1. 创设情境、提出问题 如图，摩天轮的半径为 A m (A>0)，摩天轮逆时针做匀速转动，角速度为 ω rad ／min (ω>0)，如果当摩天轮上点 P 从图中点 P0 处开始计算时间．请在如图所示的 坐标系中，确定时刻 x min 时点 P 的纵坐标 y． 【设计意图】 用数学的眼光观察世界，感悟函数 y＝Asin(ωx＋φ)是刻画自然界周期现象的常 见的数学模型，具有丰富的自然背景．借助于实际意义来理解函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象性质是自然的、清楚的、明白的！ 师生活动：先将点 P0 置于 x 轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到 y＝Asinωx；再 将点 P0 置于如图所示位置，得到在时刻 x min 时点 P 的纵坐标 y＝Asin(ωx＋φ)． 以问题为载体 以活动为主线 研制策略，优化方案 合作探究，感悟方法 类比方法，自主探究 思考巩固，深化铺垫 整理小结，规划任务
小结:形如y=Asi(ox+q)的函数在生活中经常可见,如弹簧振子在振动过程中离 开平衡位置的位移满足y=Asin(ωux+φ),如图所示,再比如潮汐现象中水位的高 度等也满足这个解析式,因此今天我们来探讨这个函数,为了探讨方便,这里A>0, 设问1:按照我们以往的经验,一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢? 结论:图象 板书课题:函数y=Asin(ox+q)(A>0,o>0)的图象 设问2:显然,参数A,O,p取不同实数,我们就得到不同的函数表达式,进而 函数图象就发生变化,在这个大家庭中,有你熟悉的函数吗? 结论:函数y=sinx 2.研制策略,优化方案 问题1:如何由y=sinx的图象得到y=Asin(ox+g4>0,o>0)的图象? 师生活动:引导学生制定研究方案,教师板书方案. 小结:在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案,即相对固定其中2个,仅一个 变动,先分别探讨φ、A、对函数y=sin(x+g)、y= asin(40)、y= SInox(o>0) 的图象的影响,再综合 【设计意图】 首先,强调面对一个问题,让学生去规划研究思路,重在引导学生思考解决问 题的方法;其次,面对多变量问题,学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化, 体会从简单到复杂的研究问题的一般方法 3.合作探究,感悟方法 问题2:如何由y=sinx的图象得到y=sin(x+1)的图象 师生活动:①让学生们说一说,几何画板作图验证,追问学生“为什么?”;②再 举几个例子如:y=sm(x-1),y=sm(x+5):③抽象到一般
小结：形如 y＝Asin(ωx＋φ)的函数在生活中经常可见，如弹簧振子在振动过程中离 开平衡位置的位移满足 y＝Asin(ωx＋φ)，如图所示．再比如潮汐现象中水位的高 度等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个函数，为了探讨方便，这里 A>0， ω>0． 设问 1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢？ 结论：图象． 板书课题：函数 y＝Asin(ωx＋φ)（A>0，ω>0）的图象 设问 2：显然，参数 A，ω，φ 取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而 函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？ 结论：函数 y＝sinx． 2．研制策略，优化方案 问题 1：如何由 y＝sinx 的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？ 师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案． 小结：在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中 2 个，仅一个 变动，先分别探讨 φ、A、ω 对函数 y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0) 的图象的影响，再综合． 【设计意图】 首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问 题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化， 体会从简单到复杂的研究问题的一般方法． 3．合作探究，感悟方法 问题 2：如何由 y＝sinx 的图象得到 y＝sin(x＋1)的图象？ 师生活动：①让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？”；②再 举几个例子如：y＝sin(x－1)，y＝sin(x＋ π 3 )； ③抽象到一般．
9=1.0 M:(2.52,0.58) (1.52,O. 动 xy-xN=1.o 板书: 向左平移1个单位 y=sin(x+1) 点M(x0,y0) 点N(x0-1,y0) 向左(q>0或向右(q0)的图象? (2)如何由y=sinx的图象得到y= SInox(>0)的图象? 师生活动:让学生类比之前的方法自主探讨,然后交流 ①y= asin(4>0)的图象可以看作是把y=sinx图象上所有点在横坐标不变的情况 下纵坐标变为原来的A倍得到的
板书： y＝sinx ———————→ y＝sin(x＋1) 点 M (x0，y0) ———————→ 点 N(x0－1，y0) y＝sinx ———————→ y＝sin(x＋φ) 点 M (x0，y0) ———————→ 点 N(x0－φ，y0) 【设计意图】 第一，人们认识问题大多从具体到抽象，具体的研究清楚了，抽象的就不难了； 第二，引导学生说明为什么？从形上说图象变换是图象上每点的位置变化，从数上 讲是点的坐标变化，这里找出是纵坐标相同的两点，从横坐标的变化关系解释平移 变换． 着重探讨清楚 φ 对函数 y＝sin(x＋φ)的图象的影响，学生可以将探究方法迁移 到后续对 A、ω 的探究中去． 4．类比方法，自主探究 问题 3：(1) 如何由 y＝sinx 的图象得到 y＝Asinx(A>0)的图象？ (2) 如何由 y＝sinx 的图象得到 y＝sinωx(ω>0)的图象？ 师生活动：让学生类比之前的方法自主探讨，然后交流． ① y＝Asinx(A＞0)的图象可以看作是把 y＝sinx 图象上所有点在横坐标不变的情况 下纵坐标变为原来的 A 倍得到的． 向左(φ>0)或向右(φ<0) 平移|φ|个单位 向左平移 1 个单位
M:(2.61,0.51) N:(2.61,1.00) A=2.0 =2.0 M 板书: y=sinr _横坐标不变, y=Asinx(A>0) 纵坐标变为原来的A倍 点Mx0,y) 点N(xo,A ②y= SInox(o>0)的图象可以看作是把y=sinx图象上所有点在纵坐标不变的情况 下横坐标变为原来的一倍得到的 N:(1.89,一0.58) M:63.76,0.58) O=2.0 一=2.0 纵坐标不变 板书 y=sinr y=sinox(o>0) 横坐标变为原来的一倍 点M(xo,10) 点N(二,1) 【设计意图】 类比前面的探讨方法,请学生独立探究A、o对y= Asin、y= SiNtox的图象有 什么影响.此处不仅从形的角度认识规律,更加突出从点的坐标这一数的本质去理 解,实现思维水平的提升
板书： y＝sinx ————————→ y＝Asinx (A>0) 点 M (x0，y0) ————————→ 点 N (x0，Ay0) ② y＝sinωx(ω＞0)的图象可以看作是把 y＝sinx 图象上所有点在纵坐标不变的情况 下横坐标变为原来的1 ω 倍得到的． 板书： y＝sinx ————————→ y＝sinωx (ω＞0) 点 M (x0，y0) ————————→ 点 N ( x0 ω ，y0) 【设计意图】 类比前面的探讨方法，请学生独立探究 A、ω 对 y＝Asinx、y＝sinωx 的图象有 什么影响.此处不仅从形的角度认识规律，更加突出从点的坐标这一数的本质去理 解，实现思维水平的提升. 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的1 ω 倍
设问3:刚才我们分别探讨了p、A、O对函数图象的影响,我们是怎样研究的呢? 结论:(1)从特殊到一般;(2)作图比较;(3)理性分析 小结:φ引起的是图象的平移变换,A、ω引起的是图象的伸缩变换.图象变换的 本质就是图象上每个点的位置变化,而点的位置变化对应了点的坐标的变化.因此, 欲研究函数图象的变换规律,只需研究图象上每个点坐标的变化规律. 5.思考巩固,深化铺垫 探究:如何由y=sinx的图象得到y=sin(2x+1)的图象呢? 师生活动:学生讨论后交流.这里是向左平移1个单位还是向左平移三个单位?① 利用几何画板画图观察,②从坐标关系理性分析 板书 向左平移个单位 y=sina y=sin(2x+1) 点N 小结:从中发现,横向变换只对x的变化而言,同理纵向变换仅对y的变化而言 y=sin2x的图象向左平移个单位,得到的函数图象对应的解析式是y=sin2(x+), 而不是y=sn(2x+) 【设计意图】 探讨y=sin(2x+1)的图象与y=sin2x的图象的关系,仅作为平移变换的巩固, 深化对变换本质的把握,为下节课的研究铺垫.“为理解而学习、教学”是建构主 义的核心目标 鼓励学生进行探究,并用自己的语言进行表述,充分暴露学生的思维,鼓励学 生对出现的不同结论进行探讨,找出问题的正确解答.这样做有利于培养学生的学 习积极性,有利于培养学生的思维能力 整理小结,规划任务 小结:今天我们分别探讨了q、A、O对函数y=sin(x+p) y= asin(4>0)、y= SInox(o>0)的图象的变换规律,下面 探讨什么呢?
设问 3：刚才我们分别探讨了 φ、A、ω 对函数图象的影响，我们是怎样研究的呢？ 结论：（1）从特殊到一般；（2）作图比较；（3）理性分析． 小结：φ 引起的是图象的平移变换，A、ω 引起的是图象的伸缩变换．图象变换的 本质就是图象上每个点的位置变化，而点的位置变化对应了点的坐标的变化．因此， 欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律． 5．思考巩固，深化铺垫 探究：如何由 y＝sin2x 的图象得到 y＝sin(2x＋1)的图象呢？ 师生活动：学生讨论后交流．这里是向左平移 1 个单位还是向左平移1 2 个单位？① 利用几何画板画图观察，②从坐标关系理性分析． 板书： y＝sin2x ————————→ y＝sin(2x+1) 点 M(x0，y0) ————————→ 点 N(x0－ 1 2 ，y0) 小结：从中发现，横向变换只对 x 的变化而言，同理纵向变换仅对 y 的变化而言． y＝sin2x 的图象向左平移1 2 个单位，得到的函数图象对应的解析式是 y＝sin2(x＋ 1 2 )， 而不是 y＝sin(2x＋ 1 2 )． 【设计意图】 探讨 y＝sin(2x＋1)的图象与 y＝sin2x 的图象的关系，仅作为平移变换的巩固， 深化对变换本质的把握，为下节课的研究铺垫. “为理解而学习、教学”是建构主 义的核心目标． 鼓励学生进行探究，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学 生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答．这样做有利于培养学生的学 习积极性，有利于培养学生的思维能力． 6．整理小结，规划任务 小结：今天我们分别探讨了 φ、A、ω 对函数 y＝sin(x＋φ)、 y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变换规律，下面 探讨什么呢？ 向左平移1 2 个单位
【设计意图】 培养学生反思的习惯,确定接下来的探讨内容和方法. 布置作业:1.阅读课本(系统回顾本节课学习内容,学习规范表达); 2.书第39页练习第1题,第4题
【设计意图】 培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法. 布置作业：1．阅读课本（系统回顾本节课学习内容，学习规范表达）； 2．书第 39 页练习第 1 题，第 4 题．