1.5函数y=Asin(ax+中)的图象 教学目的: 1、理解振幅变换和周期变换和平移变换;会用图象变换的方法画y=Asin(ox+φ)的图象 2、会用“五点法画y=Asin(ox+9)的图象: 3、会求一些函数的振幅、周期、最值等 4、渗透分类讨论的数学思想,提高分析和解决问题的能力 教学重点、难点 重点:用图象变换的方法画y=Asin(ox+9)的图象。 难点:理解振幅变换和周期变换和平移变换。 教学过程: 复习引入: 1.正弦曲线 23A丌5丌6兀 f(×)= 2.余弦曲线 y f(×) 3.五点法做图 二、讲授新课: 1、函数图象的左右平移变换 如在同一坐标系下,作出函数y=sm(x+3)和y=sin(x-4)的简图,并指出它 们与y=snx图象之间的关系 解析:函数y=sn(x+)的周期为2丌,我们来作这个函数在长度为一个周期的 闭区间上的简图。 x+-=z sin(x+ =sinZ x=Z-- ,那么 2x7x5 当Z取0、2x丌、2丌 时,x取36363。所对应的五点 是函数=smx+3 图象上起关键作用的点 列表 丌 丌 77 6 6 0 sin(x+一)
y = sin(x + ) 3 1.5 函数 y=Asin（ωx+φ）的图象 教学目的： 1、理解振幅变换和周期变换和平移变换;会用图象变换的方法画 y＝Asin（ωx＋ ）的图象； 2、会用“五点法”画 y＝Asin（ωx＋ ）的图象； 3、会求一些函数的振幅、周期、最值等； 4、渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。 教学重点、难点 重点：用图象变换的方法画 y＝Asin（ωx＋ ）的图象。 难点：理解振幅变换和周期变换和平移变换。 教学过程： 一、复习引入： 1．正弦曲线 -1 1 y -6 -5 6 x -4 -3 -2 - 0 2 3 4 5 f(x) = sin(x) 2. 余弦曲线 -1 1 y -6 -5 6 x -4 -3 -2 - 0 2 3 4 5 f(x) = cos(x) 3.五点法做图 二、讲授新课： 1、函数图象的左右平移变换 如在同一坐标系下，作出函数 和 的简图，并指出它 们与 y = sin x 图象之间的关系。 解析：函数 的周期为 2 ，我们来作这个函数在长度为一个周期的 闭区间上的简图。 设 x + = Z 3 ，那么 sin(x + ) = sin Z 3 ， x = Z − 3 当 Z 取 0、 2 3 2 、 、 、2 时，x 取 − 3 6 2 3 7 6 5 3 、 、 、 、 。所对应的五点 是函数 y = sin(x + ) 3 ， x [− ] 3 5 3 ， 图象上起关键作用的点。 列表： x − 3 6 2 3 7 6 5 3 x + 3 0 2 3 2 2 sin(x + ) 3 0 1 0 －1 0 y = sin(x − ) 4 y = sin(x + ) 3
y=sin(x- 类似地,对于函数 可列出下表 丌 0 2 mx-2° 0 描点作图(如下) n sin(x+ 利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出 x∈R y=sin(x 及 4,x∈R的简图(图略)。 2兀 62 y= Sin(x3的图象可以看作是把=sinx的图象上所有的点向左 丌 由图可以看出 丌 sin(x- 平行移动3个单位而得到的 4的图象可以看作是把y=Snx的图象上所有 丌 的点向右平行移动4个单位得到的 注意:一般地,函数y=sm(x+9)(≠0)的图象,可以看作是把y=sx的图象上 所有的点向左(当>0时)或向右(当9<0时)平行移动个单位而得到的 2、函数图象的纵向伸缩变换 如在同一坐标系中作出y=2sinx及Snr 的简图,并指出它们的图象与 y=sx的关系
类似地，对于函数 y = sin(x − ) 4 ，可列出下表： x 4 3 4 5 4 7 4 9 4 x − 4 0 2 3 2 2 sin(x − ) 4 0 1 0 －1 0 描点作图（如下） 利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出 y = sin(x + ) 3 ，x R 及 y = sin(x − ) 4 ， x R 的简图（图略）。 由图可以看出， y = sin(x + ) 3 的图象可以看作是把 y = sin x 的图象上所有的点向左 平行移动 3 个单位而得到的， y = sin(x − ) 4 的图象可以看作是把 y = sin x 的图象上所有 的点向右平行移动 4 个单位得到的。 注意：一般地，函数 y = sin(x +)( 0) 的图象，可以看作是把 y = sin x 的图象上 所有的点向左（当 0 时）或向右（当 0 时）平行移动 || 个单位而得到的。 2、函数图象的纵向伸缩变换 如在同一坐标系中作出 y = 2 sin x 及 y = x 1 2 sin 的简图，并指出它们的图象与 y = sin x 的关系
解析:函数y=2及sinx 的周期T=2x,我们先来作x∈[O,2n]时函数 的简图。 列表: 3 SInX 0 0 2 描点作图,如图: sinx anT 利用这类函数的周期性,我们可以把上图的简图向左、向右扩展,得到 y=2sinx,x∈Ry=sinx,x∈R 的简图(图略)。 从上图可以看出,对于同一个x值,y=2sinx的图象上点的纵坐标等于y=snx的 图象上点的纵坐标的两倍(横坐标不变),从而y=2inx,x∈R的值域为[-2,2],最 大值为2,最小值为-2。 类似地, y=2的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到 原来的2倍(横坐标不变)而得到的,从而sinx,x∈R 的值域是[22],最 大值为2,最小值为2。 注意:对于函数y=Asmx(A>0且A≠1)的图象,可以看作是把y=snx的图象 上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的,y=Asnx,x∈R的值域为[-A,A],最大值为A,最小值为-A。 3、函数图象的横向伸缩变换 如作函数y=sin2xy=Sn=x 的简图,并指出它们与=snx图象间的关系 解析:函数y=sin2x的周期2,我们来作x∈0,z时函数的简图 2丌 设2x=Z,那么sin2x=sinZ,当Z取0、2 寸,所对应的五点是函数
解析：函数 y = 2 sin x 及 y = x 1 2 sin 的周期 T = 2 ，我们先来作 x [0，2] 时函数 的简图。 列表： x 0 2 3 2 2 sinx 0 1 0 －1 0 2sinx 0 2 0 －2 0 1 2 sin x 0 1 2 0 − 1 2 0 描点作图，如图： 利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到 y = 2sin x，x R 及 y = x x R 1 2 sin ， 的简图（图略）。 从上图可以看出，对于同一个 x 值， y = 2 sin x 的图象上点的纵坐标等于 y = sin x 的 图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而 y = 2sin x，x R 的值域为［－2，2］，最 大值为 2，最小值为－2。 类似地， y = x 1 2 sin 的图象，可以看作是把 y = sin x 的图象上所有点的纵坐标缩短到 原来的 1 2 倍（横坐标不变）而得到的，从而 y = x x R 1 2 sin ， 的值域是［ − 1 2 1 2 ， ］，最 大值为 1 2 ，最小值为 − 1 2 。 注意：对于函数 y = Asin x （A>0 且 A≠1）的图象，可以看作是把 y = sin x 的图象 上所有点的纵坐标伸长（当 A>1 时）或缩短（当 0<A<1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变） 而得到的， y = Asin x，x R 的值域为［－A，A］，最大值为 A，最小值为－A。 3、函数图象的横向伸缩变换 如作函数 y = sin2x 及 y = sin x 1 2 的简图，并指出它们与 y = sin x 图象间的关系。 解析：函数 y = sin2x 的周期 T = = 2 2 ，我们来作 x [0，] 时函数的简图。 设 2x = Z ，那么 sin2x = sin Z ，当 Z 取 0、 2 3 2 、 、 、2 时，所对应的五点是函数
y=sinz,z∈[0,2a图象上起关键作用的五点,这里 所以当ⅹ取0、 丌3丌 时,所对应的五点是函数y=Sn2x,x∈[0,丌的图象上起关键作用的五 点。 列表 丌 0 0 2丌 4丌 y=sin--x 函 的周期 ,我们来作x∈[O,4z]时函数的简图。 列表 0 2 0 0 描点作图,如图: 37 y=sinar y=sinr x 利用这类函数的周期性,我们可以把上面的简图向左、右扩展,得出y=sin2x,x∈R y=sinx R的简图(图略)。 从上图可以看出,在函数y=sn2x的图象上横坐标为2(x0∈R)的点的纵坐标同 y=smnx上横坐标为x的点的纵坐标相同(例如当2m2.x)=smn=1 x sInx 2)。因此,y=si2x的图象可以看作是把y=snx的图象上所有点的横 坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的
y = sinZ，Z [0，2] 图象上起关键作用的五点，这里 x Z = 2 ，所以当 x 取 0、 4 、 2 3 4 、 、 时，所对应的五点是函数 y = sin2x，x [0，] 的图象上起关键作用的五 点。 列表： x 0 4 2 3 4 2x 0 2 3 2 2 sin 2x 0 1 0 －1 0 函数 y = sin x 1 2 的周期 T = = 2 1 2 4 ，我们来作 x [0，4] 时函数的简图。 列表： x 0 2 3 4 1 2 x 0 2 3 2 2 sin 1 2 x 0 1 0 －1 0 描点作图，如图： 利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出 y = sin2x ，x R 及 y = sin x 1 2 ， x R 的简图（图略）。 从上图可以看出，在函数 y = sin2x 的图象上横坐标为 x0 2 （ x0 R ）的点的纵坐标同 y = sin x 上横坐标为 x 0 的点的纵坐标相同（例如，当 x0 2 = 时， sin(2 ) sin 2 2 1 0 = = x ， sin x0 sin 2 = = 1 ）。因此， y = sin2x 的图象可以看作是把 y = sin x 的图象上所有点的横 坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变）而得到的
类、91的图象可以看作是把y=snx的图象上所有点的横坐标伸长到原 来的2倍(纵坐标不变)而得到的。 注意:一般地,函数y= sInox(O>0且O≠1)的图象,可以看作是把y=Snx的图 象上所有点的横坐标缩短(当O>1时)或伸长(当00)或向右(gy=sin(x+o) 横坐标变为原来的一倍 y= sin(ax+o) 纵坐标不变 一坐标变为原来的yy=Asin(amx+) 横坐标不变 法二:先伸缩后平移 横坐标变为原来的一倍 y= sinx 纵坐标不变 y= sina-向(0)向(00)y=si(amx+g) 平移同个单位 纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变 y=Asin(ax+o) 可以看出,前者平移9个单位,后者平移O个单位。原因在于相位变换和周期变换 都是针对变量x而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序,否则 必然会出现错误。 当函数y=Asin(ox+)(A>0,O>0,x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A就 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次 T 所需要的时间 ,它叫做振动的周期:单位时间内往复振动的次数72x,它 叫做振动的频率;+φ叫做相位,9叫做初相(即当x=0时的相位) 三、典型例题
类似地， y = sin x 1 2 的图象可以看作是把 y = sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原 来的 2 倍（纵坐标不变）而得到的。 注意：一般地，函数 y = sinx( 0且 1) 的图象，可以看作是把 y = sin x 的图 象上所有点的横坐标缩短（当 1 时）或伸长（当 0 1 时）到原来的 1 倍（纵坐标 不变）而得到的。 4、函数 y = Asin(x +) 的图象 作函数 y = Asin(x +) 的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图 用“五点法”作 y = Asin(x +) 的简图，主要是通过变量代换，设 z =x + ，由 z 取 0， 2 ， ， 3 2 ， 2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出 图象。 （2）由函数 y = sin x 的图象通过变换得到 y = Asin(x +) 的图象，有两种主要途 径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一：先平移后伸缩 y = x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → y = x + sin sin( ) ( ) ( ) | | 向左 或向右 平移 个单位 0 0 横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → y = sin(x +) 纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变 A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ y = Asin(x +) 法二：先伸缩后平移 y = sin x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 1 y = x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → y = x + sin sin( ) ( ) ( ) | | 向左 或向右 平移 个单位 0 0 纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变 A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ y = Asin(x +) 可以看出，前者平移 || 个单位，后者平移 | | 个单位。原因在于相位变换和周期变换 都是针对变量 x 而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则 必然会出现错误。 当函数 y = Asin(x +) （A>0， 0 ，x [0， + ) ）表示一个振动量时，A 就 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次 所需要的时间 T = 2 ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数 f T = = 1 2 ，它 叫做振动的频率； x + 叫做相位， 叫做初相（即当 x＝0 时的相位）。 三、典型例题
例1.用两种方法将函数y=Smx的图象变换为函数 y=sin(2x+1) 3的图象。 分析1:x→2x→2x+)=2x+z 横坐标缩短到原来的 y=sinx 解法1: 纵坐标不变 向左平移个单位 V= Sin 2 y=sin 2(x+J=sin(2x x→x+x→2x+x 分析2 向左平移《个单位 解法2:y=sinx y=sin( 丌、横坐标缩短到原来的 坐标不变 注意:在解法1中,先伸缩,后平移;在解法2中,先平移,后伸缩,表面上看来, 种变换方法中的平移是不同的(即6和3),但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得 到的结果是一致的。 y=2sn(2x+) 例2.用五点法作出函数 3的图象,并指出函数的单调区间 解:(1)列表 列表时 取值为。、丌、2、2π,再求出相应的x值和y值。 7丌 5丌 2 0 2 (2)描点 (3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示: 利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到 n(2x+ 3,x∈R的简图(图略)
例 1. 用两种方法将函数 y = sin x 的图象变换为函数 y = sin(2x + ) 3 的图象。 分析 1： x → 2x → 2 x + = x + 6 2 3 ( ) 解法 1： y = sin x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 1 2 y = sin2x ⎯⎯⎯⎯6 ⎯⎯→ 向左平移 个单位 y = sin[2(x + )] = sin( x + ) 6 2 3 分析 2： x → x + → x + 3 2 3 解法 2： y = sin x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 向左平移 个单位 3 y = sin(x + ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 3 1 2 横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 y = sin(2x + ) 3 注意：在解法 1 中，先伸缩，后平移；在解法 2 中，先平移，后伸缩，表面上看来，两 种变换方法中的平移是不同的（即 6 和 3 ），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得 到的结果是一致的。 例 2. 用五点法作出函数 y = 2 2x + 3 sin( ) 的图象，并指出函数的单调区间。 解：（1）列表 列表时 2 3 x + 取值为 0、 2 、 、 3 2 、2 ，再求出相应的 x 值和 y 值。 x − 6 12 3 7 12 5 6 2 3 x + 0 2 3 2 2 y 0 2 0 -2 0 （2）描点 （3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示： 利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到 y = 2 2x + 3 sin( ) ， x R 的简图（图略）
可见在一个周期内,函数在[1212]上递减,又因函数的周期为丌,所以函数 k 的递减区间为 (k∈Z) [k丌-:丌,k+;](k 同理,增区间为 例3.如图是函数y=Asm(on+)的图象,确定A、O、卩的值 解:显然A=2 T (--)=丌 6 6 2丌2 T y=2 sin(2x+o) x 解法1:由图知当6时 0 故有 =2sin(2x+) 所求函数解析式为 解法2:由图象可知将y=2sin2x的图象向左移6 Rpg J=2sin2(x+ y=2n(2x+ 3 四、课堂练习: 课本62页练习第1、2、3、4、题 五、课堂小结 略 六、作业 课本第65页习题A组第1、3题B组第2、3题
可见在一个周期内，函数在［ 12 7 12 ， ］上递减，又因函数的周期为 ，所以函数 的递减区间为 k + k + k Z 12 7 12 ， ]( ) 。 同理，增区间为 [k k ](k Z) − + 5 12 12 ， 。 例 3. 如图是函数 y = Asin(x +) 的图象，确定 A、 、 的值。 解：显然 A＝2 T = − − = 5 6 6 ( ) = = = 2 2 2 T y = 2sin(2x +) 解法 1：由图知当 x = − 6 时，y＝0 故有 2 2 6 x + = − + = 0 ( ) ， = 3 所求函数解析式为 y = 2 2x + 3 sin( ) 解法 2：由图象可知将 y = 2 sin 2x 的图象向左移 6 即得 y = 2 2 x + 6 sin ( ) ，即 y = 2 2x + 3 sin( ) = 3 四、课堂练习： 课本 62 页练习第 1、2、3、4、题 五、课堂小结 略 六、作业 课本第 65 页习题 A 组第 1、3 题 B 组第 2、3 题