§4.4函数y=Asin(ax+Q)的图象及应用 、选择题 1.已知函数f(x)= sinl ox+(a>0)的最小正周期为,则该函数的图象 A.关于点。,0对称 B.关于直线x=对称 C.关于点,0对称 D.关于直线x=对称 解析由已知,a=2,所以f(x=sin2x+,因为f。=0,所以函数图象 关于点,0中心对称,故选A 2.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos2x的图象( A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移个单位 解析因为y=cos(2x+1)=cos(2(x+-),所以将y=cos2x向左平移个单位,故 选C. 3.若函数f(x)=2sin(ax+中),x∈R(其中a>0,|中|<)的最小正周期是 且r(O)= A B. =- = C.=2,= 2,φ 解析由=2=x,∴=2.由0)=5=2sin=V3, sinφ= √3 4.将函数y=f(x)·sinx的图象向右平移一个单位后,再作关于x轴对称变换, 得到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)可以是( A. sin x B. cos x C. 2sin x D. 2cos x
§4.4 函数 y＝Asin(ωx＋ )的图象及应用 一、选择题 1．已知函数 f(x)＝sin ωx＋ π 3 (ω>0)的最小正周期为 π，则该函数的图象 ( ) A．关于点 π 3 ，0 对称 B．关于直线 x＝ π 4 对称 C．关于点 π 4 ，0 对称 D．关于直线 x＝ π 3 对称 解析 由已知，ω＝2，所以 f(x)＝sin 2x＋ π 3 ，因为 f π 3 ＝0，所以函数图象 关于点 π 3 ，0 中心对称，故选 A. 2.要得到函数 y x = + cos(2 1) 的图象，只要将函数 y x = cos 2 的图象（ ） A. 向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. 向左平移 1 2 个单位 D.向右平移 1 2 个单位 解析 因为 1 cos(2 1) cos(2( ) 2 y x x = + = + ,所以将 y x = cos 2 向左平移 1 2 个单位,故 选 C. 3．若函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中 ω＞0，|φ|＜ π 2 )的最小正周期是 π，且 f(0)＝ 3，则( )． A．ω＝ 1 2 ，φ＝ π 6 B．ω＝ 1 2 ，φ＝ π 3 C．ω＝2，φ＝ π 6 D．ω＝2，φ＝ π 3 解析 由 T＝ 2π ω ＝π，∴ω＝2.由 f(0)＝ 3⇒2sin φ＝ 3， ∴sin φ＝ 3 2 ，又|φ|＜ π 2 ，∴φ＝ π 3 . 4．将函数 y＝f(x)·sin x 的图象向右平移π 4 个单位后，再作关于 x 轴对称变换， 得到函数 y＝1－2sin2 x 的图象，则 f(x)可以是( )． A．sin x B．cos x C．2sin x D．2cos x
解析运用逆变换方法:作y=1-2sin2x=cos2x的图象关于x轴的对称图象 得y=-cos2x=-sin2x+n的图象,再向左平移个单位得y=f(x)·sin sin 2(a +。=sin2x=2 sin xcos x的图象.∴f(x)=2cosx 5.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数=Asin(t+φ)(A0, o>0,00,一π<φ≤π.若f(x) 的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( A.f(x)在区间[-2丌,0]上是增函数B.f(x)在区间[-3丌,一π]上是增函数 C.f(x)在区间[3r,5π]上是减函数D.f(x)在区间[4I,6π]上是减函数 解析∵f(x)的最小正周期为6π,∴a=,∵当x=时,f(x)有最大值,∴
解析 运用逆变换方法：作 y＝1－2sin2 x＝cos 2x 的图象关于 x 轴的对称图象 得 y＝－cos 2x＝－sin 2 x＋ π 4 的图象，再向左平移π 4 个单位得 y＝f(x)·sin x＝－sin 2 x＋ π 2 ＝sin 2x＝2sin xcos x 的图象．∴f(x)＝2cos x. 5．电流 强度 I( 安)随时 间 t(秒 )变化 的函数 I＝Asin(ωt ＋φ)(A>0， ω>0,0<φ< π 2 )的图象如图所示，则当 t＝ 1 100秒时，电流强度是 ( ) A．－5 安 B．5 安 C．5 3安 D．10 安 解析：由函数图象知 A＝10， T 2 ＝ 4 300－ 1 300＝ 1 100. ∴T＝ 1 50＝ 2π ω ，∴ω＝100π. ∴I＝10sin(100πt＋φ)． 又∵点 1 300，10 在图象上， ∴10＝10sin 100π× 1 300＋φ ∴ π 3 ＋φ＝ π 2 ，∴φ＝ π 6 ， ∴I＝10sin 100πt＋ π 6 . 当 t＝ 1 100时，I＝10sin 100π× 1 100＋ π 6 ＝－5. 6．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω＞0，－π＜φ≤π.若 f(x) 的最小正周期为 6π，且当 x＝ π 2 时，f(x)取得最大值，则( )． A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 解析 ∵f(x)的最小正周期为 6π，∴ω＝ 1 3 ，∵当 x＝ π 2 时，f(x)有最大值，∴
+中=。+2k(k∈Z),中=+2k(k∈Z),π0),将y=f(x)的图象向右平移。个单位长度后 所得的图象与原图象重合,则a的最小值等于(). B.3 解析依题意得,将y=r(x)的图象向右平移。个单位长度后得到的是Ax cos o3= 3 的图象,故有C0su=cos(ox-3),而c0sx=02kn+ox-3)(k ∈2),故ox-ax-=-|=2kx(k∈2), 即a=6k(k∈2),∵ω>0,因此ω的最小值是6. 、填空题 8.将函数y=sin(ax+中)>0,。吹π的图象,向右最少平移。个单位 长度,或向左最少平移一。个单位长度,所得到的函数图象均关于原点中心对称, 则 解析因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的 半,则有 孔 =2π,故=4π, 答案 9.已知函数f(x)=sin(ox+)a>0,-≤中≤ 2图象上的两个相邻的 最高点和最低点的距离为2√2,则o
1 3 × π 2 ＋φ＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)，φ＝ π 3 ＋2kπ(k∈Z)，∵－π＜φ≤π，∴φ＝ π 3 . ∴f(x)＝2sin x 3 ＋ π 3 ，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而 在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不是单调的，在区间[4π，6π]上是单 调增函数． 7．设函数 f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将 y＝f(x)的图象向右平移π 3 个单位长度后， 所得的图象与原图象重合，则 ω 的最小值等于( )． A. 1 3 B．3 C．6 D．9 解析 依题意得，将 y＝f(x)的图象向右平移π 3 个单位长度后得到的是 f x－ π 3 ＝cos ω x－ π 3 ＝cos ωx－ ωπ 3 的图象，故有 cos ωx＝cos ωx－ ωπ 3 ，而 cos ωx＝cos 2kπ＋ωx－ ωπ 3 (k ∈Z)，故 ωx－ ωx－ ωπ 3 ＝2kπ(k∈Z)， 即 ω＝6k(k∈Z)，∵ω＞0，因此 ω 的最小值是 6. 二、填空题 8. 将函数 y＝sin(ωx＋φ) ω>0， π 2 0，－ π 2 ≤φ≤ π 2 的图象上的两个相邻的 最高点和最低点的距离为 2 2，则 ω＝________
解析:由已知两相邻最高点和最低点的距离为2V2,而r(x)m-r(x)m=2,由 勾股定理可得=√2√22-2=2,∴=4,∴ 2 10已知函数f()=3(x=6(o>0)和a()=202x+)+1的图象的 对称轴完全相同.若x∈0 2则x)的取值范围是 解析由题意知o=2,∴f(x)=3si2x) 当=2 eE-I5 f(x)的取值范围 11.在函数r(x)=Ain(ax+d)(心>0,a>0)的一个周期内,当x=时有最 值当x=15时有最小值一2若∈(02,则函数解析式(= 解析首先易知2,由于x= 四时n有最大值,当x=5时n有最小 值-,所以 2π 99 3,=3.又sin3×。+中 2 解得中=,故f(x)=sin3x+ 12设函数=(+(>0,(-2,2)的最小正周期为,且其 图象关于直线x=,。对称,则在下面四个结论中 ①图象关于点五,0对称;②图象关于点,O对称 ③在0 6是增函数:④_孤,0上是增函数 以上正确结论的编号为」 解析∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为π
解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 2，而 f(x)max－f(x)min＝2，由 勾股定理可得T 2 ＝ 2 2 2－2 2＝2，∴T＝4，∴ω＝ 2π T ＝ π 2 . 10．已知函数 f(x)＝3sin ωx－ π 6 (ω＞0)和 g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1 的图象的 对称轴完全相同．若 x∈ 0， π 2 ，则 f(x)的取值范围是________． 解析 由题意知 ω＝2，∴f(x)＝3sin 2x－ π 6 ， 当 x∈ 0， π 2 时，2x－ π 6 ∈ － π 6 ， 5 6 π ， ∴f(x)的取值范围是 － 3 2 ，3 . 11．在函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当 x＝ π 9 时有最 大值1 2 ，当 x＝ 4π 9 时有最小值－1 2 ，若 φ∈ 0， π 2 ，则函数解析式 f(x)＝ ________. 解析 首先易知 A＝ 1 2 ，由于 x＝ π 9 时 f(x)有最大值1 2 ，当 x＝ 4π 9 时 f(x)有最小 值－1 2 ，所以 T＝ 4π 9 － π 9 ×2＝ 2π 3 ，ω＝3.又 1 2 sin 3× π 9 ＋φ ＝ 1 2 ，φ∈ 0， π 2 ， 解得 φ＝ π 6 ，故 f(x)＝ 1 2 sin 3x＋ π 6 . 12．设函数 y＝sin(ωx＋φ) ω＞0，φ∈ － π 2 ， π 2 的最小正周期为 π，且其 图象关于直线 x＝ π 12对称，则在下面四个结论中： ①图象关于点 π 4 ，0 对称； ②图象关于点 π 3 ，0 对称； ③在 0， π 6 上是增函数； ④在 － π 6 ，0 上是增函数． 以上正确结论的编号为________． 解析 ∵y＝sin(ωx＋φ)最小正周期为 π
2π ===2,又其图象关于直线x=x。对称, 2×+=km+(k∈D),∴:巾=kπ+,k∈Z 由φ 3,:y=sin(2x+I 令2x+。=kπ(k∈Z),得x= k(k∈Z) 26 ∴y=sin2x+ 3)关于点(30 0树对称.故②正确 令2k一。≤2x+≤2k十。(k∈Z),得 5 kπ ≤x≤k+12 12 (k∈Z) 函数y=sin2x+。的单调递增区间为 12,km+1p(k∈2 k+;o|(k∈Z).∴④正确 、解答题 13.已知函数r(x)=ysin2x+2os2 (1)将f(x)的图象向右平移,。个单位长度,再将周期扩大一倍,得到函数g(x)的图象, 求g(x)的解析式 (2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间 解析(1)依题意f(x)=y3sin2x+2 sin2x+cos2x+1 =2sin2x+=|+1 6 将f(x)的图象向右平移1个单位长度,得到函数 f()=2si2x-+z+1=2sin2x+1的图象,该函数的周期为m,若将 其周期变为2π,则得g(x)=2sinx+ (2)函数f(x)的最小正周期为/=丌, 当2kπ一。≤2x+一≤2kπ+。(k∈Z)时,函数单调递增
∴ω＝ 2π π ＝2，又其图象关于直线 x＝ π 12对称， ∴2× π 12＋φ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)，∴φ＝kπ＋ π 3 ，k∈Z. 由 φ∈ － π 2 ， π 2 ，得 φ＝ π 3 ，∴y＝sin 2x＋ π 3 . 令 2x＋ π 3 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝ kπ 2 － π 6 (k∈Z)． ∴y＝sin 2x＋ π 3 关于点 π 3 ，0 对称．故②正确． 令 2kπ－ π 2 ≤2x＋ π 3 ≤2kπ＋ π 2 (k∈Z)，得 kπ－ 5π 12 ≤x≤kπ＋ π 12(k∈Z)． ∴函数 y＝sin 2x＋ π 3 的单调递增区间为 kπ－ 5π 12 ，kπ＋ π 12 (k∈Z)． ∵ － π 6 ，0 kπ－ 5π 12 ，kπ＋ π 12 (k∈Z)．∴④正确． 三、解答题 13．已知函数 f(x)＝ 3sin2x＋2cos2 x. (1)将 f(x)的图象向右平移π 12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数 g(x)的图象， 求 g(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间． 解析 (1)依题意 f(x)＝ 3sin2x＋2·cos2x＋1 2 ＝ 3sin2x＋cos2x＋1 ＝2sin 2x＋ π 6 ＋1， 将 f(x)的图象向右平移π 12个单位长度，得到函数 f1(x)＝2sin 2 x－ π 12 ＋ π 6 ＋1＝2sin2x＋1 的图象，该函数的周期为 π，若将 其周期变为 2π，则得 g(x)＝2sinx＋1. (2)函数 f(x)的最小正周期为 T＝π， 当 2kπ－ π 2 ≤2x＋ π 6 ≤2kπ＋ π 2 (k∈Z)时，函数单调递增
解得kπ一。≤ 3hx+一(k∈Z) 函数的单调递增区间为kx一正,k+正(k∈2 14.已知函数r(x)=23 e sIn Cos sin(x+I) (1)求f(x)的最小正周期 (2)若将f(x)的图象向右平移。个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在 区间[0,π]上的最大值和最小值 解析()因为()=√5sin(x+)+simx=√5csx+simx cos x+osin x=2sin x+ 所以f(x)的最小正周期为2丌. (2)∵将f(x)的图象向右平移一个单位,得到函数g(x)的图象, g(x) sinx+ 6 6 x∈[0,π], 7丌 当x+6=2,即x=3时,sm(x+6/=1,以()取得最大值2 当x+正7x 6=6,即x=时,si叫x ,g(x)取得最小值 【点评】解决三角函数的单调性及最值值域问题主要步骤有 第一步:三角函数式的化简,一般化成y= Asin x+φ+h或y= COS X +φ+h的形式 第二步:根据sinx、cosκ的单调性解决问题,将“ωx+φ”看作一个整体, 转化为不等式问题. 第三步:根据已知x的范围,确定“ωx+φ”的范围. 第四步:确定最大值或最小值. 第五步:明确规范表述结论
解得 kπ－ π 3 ≤x≤kπ＋ π 6 (k∈Z)， ∴函数的单调递增区间为 kπ－ π 3 ，kπ＋ π 6 (k∈Z)． 14．已知函数 f(x)＝2 3·sin x 2 ＋ π 4 cos x 2 ＋ π 4 －sin(x＋π)． (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若将 f(x)的图象向右平移π 6 个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在 区间[0，π]上的最大值和最小值． 解 析 (1) 因 为 f(x) ＝ 3 sin x＋ π 2 ＋ sin x ＝ 3 cos x ＋ sin x ＝ 2 3 2 cos x＋ 1 2 sin x ＝2sin x＋ π 3 ， 所以 f(x)的最小正周期为 2π. (2)∵将 f(x)的图象向右平移π 6 个单位，得到函数 g(x)的图象， ∴g(x)＝f x－ π 6 ＝2sin x－ π 6 ＋ π 3 ＝2sin x＋ π 6 .∵x∈[0，π]， ∴x＋ π 6 ∈ π 6 ， 7π 6 ， ∴当 x＋ π 6 ＝ π 2 ，即 x＝ π 3 时，sin x＋ π 6 ＝1，g(x)取得最大值 2. 当 x＋ π 6 ＝ 7π 6 ，即 x＝π 时，sin x＋ π 6 ＝－ 1 2 ，g(x)取得最小值－1. 【点评】 解决三角函数的单调性及最值 值域 问题主要步骤有： 第一步：三角函数式的化简，一般化成 y＝Asin ωx＋φ ＋h 或 y＝Acos ωx ＋φ ＋h 的形式. 第二步：根据 sin x、cos x 的单调性解决问题，将“ωx＋φ”看作一个整体， 转化为不等式问题. 第三步：根据已知 x 的范围，确定“ωx＋φ”的范围. 第四步：确定最大值或最小值. 第五步：明确规范表述结论
15.函数f(x)=/in(ux+)A>0,>0,00)的图象 的两个相邻交点之间的距离为π (1)求f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间
15．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0，0＜φ＜ π 2 的部分图象如图所示． (1)求 f(x)的解析式； (2)设 g(x)＝ f x－ π 12 2，求函数 g(x)在 x∈ － π 6 ， π 3 上的最大值，并确定此 时 x 的值． 解析 (1)由题图知 A＝2， T 4 ＝ π 3 ，则2π ω ＝4× π 3 ，∴ω＝ 3 2 . 又 f － π 6 ＝2sin 3 2 × － π 6 ＋φ ＝2sin － π 4 ＋φ ＝0， ∴sin φ－ π 4 ＝0，∵0＜φ＜ π 2 ，∴－ π 4 ＜φ－ π 4 ＜ π 4 ， ∴φ－ π 4 ＝0，即 φ＝ π 4 ， ∴f(x)的解析式为 f(x)＝2sin 3 2 x＋ π 4 . (2)由(1)可得 f x－ π 12 ＝2sin 3 2 x－ π 12 ＋ π 4 ＝2sin 3 2 x＋ π 8 ， ∴g(x)＝ f x－ π 12 2＝4× 1－cos 3x＋ π 4 2 ＝2－2cos 3x＋ π 4 ， ∵x∈ － π 6 ， π 3 ，∴－ π 4 ≤3x＋ π 4 ≤ 5π 4 ， ∴当 3x＋ π 4 ＝π，即 x＝ π 4 时，g(x)max＝4. 16．已知直线 y＝2 与函数 f(x)＝2sin2ωx＋2 3sinωxcosωx－1(ω>0)的图象 的两个相邻交点之间的距离为 π. (1)求 f(x)的解析式，并求出 f(x)的单调递增区间；
2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,求函数g(x) 的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合 解析(1)f(x)=2sin2ox+2V3 Sin XCos Ox cos2 ox+v3sin2 ax-1=2sin(2ax-6 2π 由题意可知函数的最小正周期/=x=(o>0),所以o=1 所以f(x)=2sin2x 令2k-≤2x-≤2k+可其中k∈Z, 解,尽k孤+3 +一,其中k∈Z, 6 即f(x)的递增区间为kπ k∈Z (2)g(x)=fx+=2sin 2 x+ =2sin 2x+ 则g(x)的最大值为2, 此时有2sin2x+=2,即 即2+2=24x+2,其中AE,解得x=k+12Ae, 所以当6(x)取得最大值时x的取值集合为x|x=km+ k∈Z
(2)将函数 f(x)的图象向左平移π 4 个单位长度得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x) 的最大值及 g(x)取得最大值时 x 的取值集合． 解析 (1)f(x)＝2sin2ωx＋2 3sinωxcosωx－1 ＝1－cos2ωx＋ 3sin2ωx－1＝2sin 2ωx－ π 6 ， 由题意可知函数的最小正周期 T＝ 2π 2ω ＝π(ω>0)，所以 ω＝1， 所以 f(x)＝2sin 2x－ π 6 ， 令 2kπ－ π 2 ≤2x－ π 6 ≤2kπ＋ π 2 其中 k∈Z， 解得 kπ－ π 6 ≤x≤kπ＋ π 3 ，其中 k∈Z， 即 f(x)的递增区间为 kπ－ π 6 ，kπ＋ π 3 ，k∈Z. (2)g(x)＝f x＋ π 4 ＝2sin 2 x＋ π 4 － π 6 ＝2sin 2x＋ π 3 ， 则 g(x)的最大值为 2， 此时有 2sin 2x＋ π 3 ＝2，即 sin 2x＋ π 3 ＝1， 即 2x＋ π 3 ＝2kπ＋ π 2 ，其中 k∈Z，解得 x＝kπ＋ π 12，k∈Z， 所以当 g(x)取得最大值时 x 的取值集合为 x x＝kπ＋ π 12， k∈Z