三角函数的图象和性质单元复习题 选择题 1.命题甲:“x是第一象限角”,命题乙:“sinx是增函数”,则命题甲是命题乙的( A.充分但不必要条件 必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由x是第一象限角推不出sinx是增函数,如2(2+,但S(2x+工) 由sinx是增函数也推不出x是第一象限角,如sinx在区间[-]是增函数,但 [-,0]内的所有角都不是第一象限角 答案:D 2右图是函数y=2sin(ax+q)(|g|<x=的图象,那么() 10 11 6 丌 解析:由点(0,1)在其图象上,可知1=2sin,又|q1<,:q=6 1lT 又 6 答案:C 3.已知c0sx=4,x∈(-,0),则x的值是() A -arccos B.丌- arccos C arccos arcco 解析:∵ arccos∈(0,),而xe(2,0) 答案:A 4要得到函数y=sin(2x--)的图象,只要将y=sin2x的图象( A.向左平移 B.向右平移
三角函数的图象和性质单元复习题 一、选择题 1.命题甲：“x 是第一象限角”，命题乙：“sinx 是增函数”，则命题甲是命题乙的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由 x 是第一象限角推不出 sinx 是增函数，如 ) 6 sin( 2 3 , sin 6 2 3 + 但 + ； 由 sinx 是增函数也推不出 x 是第一象限角，如 sinx 在区间 ,0] 2 [ − 是增函数，但 ,0] 2 [ − 内的所有角都不是第一象限角. 答案：D 2.右图是函数 y＝2sin(ωx＋ )(｜ ｜＜ 2 ＝的图象，那么( ) A.ω＝ 11 10 ， ＝ 6 B.ω＝ 11 10 ， ＝－ 6 C.ω＝2， ＝ 6 D.ω＝2， ＝- 6 解析：由点(0，1)在其图象上，可知 1＝2sin ，又｜ ｜＜ 2 ，∴ ＝ 6 . 又∵ 12 11 ω＋ 6 ＝2π ω＝2. 答案：C 3.已知 cosx＝ 9 4 ，x∈(－ 2 ，0)，则 x 的值是( ) A.－ａrccos 9 4 B.π－arccos 9 4 C.arccos 9 4 D. 2 －arccos 9 4 解析：∵arccos 9 4 ∈(0， 2 )，而 x∈(－ 2 ，0) ∴x＝－arccos 9 4 . 答案：A 4.要得到函数 y＝sin(2x－ 4 )的图象，只要将 y＝sin2x 的图象( ) A.向左平移 4 B.向右平移 4
C.向左平移 D.向右平移工 解析:当 时,2x→2( 答案:D 5.函数y=sin2(ox)-cos2(ax)的周期7=4x,那么常数a为() B.2 解析 4丌 答案:C 6.函数y=sin(2x+)的图象的一条对称轴方程为() 8 解析: yEsIn(zx cos2x x=一是它的一条对称轴 7.函数y=1 o g cosI COSX的值域是( C.(-∞,O]D.[0,+∞)] 解析:由题意知0<cos1<1,0<cosκ≤1,∴y≥0 答案:D 8.如果|x|≤ 4’那么函数f(x)=cos2x+sinx的最小值是 B 解析:f(x)=(1-sin2x)+sinx=-(sinx-)2+ 5 由丨sinx|≤ SInX 答案:B 9函数f(x)=s1nx+5x,g(x=002’则( A.f(x)与g(x)皆为奇函数 B.f(x)与g(x)皆为偶函数 C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数 D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
C.向左平移 8 D.向右平移 8 解析：当 x→x－ 8 时，2x→2(x－ 8 )＝2x－ 4 答案：D 5.函数 y＝sin2 (ωx)－cos 2 (ωx)的周期 T＝4π，那么常数ω为( ) A. 2 1 B.2 C. 4 1 D.4 解析：∵y＝－cos(2ωx)，T＝ 2 2 =4 ∴ω＝ 4 1 . 答案：C 6.函数 y＝sin(2x＋ 2 5 )的图象的一条对称轴方程为( ) A.x＝ 4 5 B.x＝－ 2 C.x＝ 8 D.x＝ 4 解析：∵y＝sin(2x＋ 2 5 )＝cos2x， ∴x＝－ 2 是它的一条对称轴. 答案：B 7.函数 y＝ｌｏｇcos1cosx 的值域是( ) A.［－1，1］ B.(－∞，＋∞) C.(－∞， 0] D.［0，＋ ) ］ 解析：由题意知 0＜cos1＜1，0＜cosx≤1,∴y≥0. 答案：D 8.如果｜x｜≤ 4 ，那么函数 f(x)＝cos 2 x＋sinx 的最小值是( ) A. 2 2 −1 B. 2 1− 2 C.－ 2 2 +1 D.－1 解析：f(x)＝(1－sin2 x)＋sinx＝－(sinx－ 2 1 ) 2＋ 4 5 由｜sinx｜≤ 2 2 ，知当 sinx＝－ 2 2 时 f(x)ｍｉｎ＝－(－ 2 2 － 2 1 ) 2＋ 4 5 ＝ 2 1− 2 . 答案：B 9.函数 f(x)＝sin 2 x + 5 ，ｇ(x)＝cos 2 x + 5 ，则( ) A.f(x)与ｇ(x)皆为奇函数 B.f(x)与ｇ(x)皆为偶函数 C.f(x)是奇函数，ｇ(x)是偶函数 D.f(x)是偶函数，ｇ(x)是奇函数
解析:∵f(x) x+5丌 x g(x)=cos(-+二) 10.下列函数中,图象关于原点对称的是() A C y=sin(-I xI) D y=sin I x I 解析:∵点(x,y关于原点的对称点P(一x,一y),把P点坐标逐一代入选择支,知y =-x·sin|x|关于原点对称 答案 二、填空题 11.函数y=3sin(xx+3)的振幅是 周期是,初相是 答案:3 12.v= COS xX 的值域是 x 解析:由 x≠2kx++,k∈Z 答案:(-√2 3.若函数y=Acos(ax-3)的周期为2,则a 若最大值是5,则A 答案 5 14在下列函数中:①y=4sin(x-x),②y=2sin(x-3),③y=2sin(x+x),④y =4sin(x+),⑤厂=sin(13π)关于直线=5 对称的函数是 (填序 解析:…∵y=4s1n(3一丌)=4sin兀=4,y取最大值 ∴x=二为它的一个对称轴 5丌1
解析：∵f(x)＝sin＝ 2 x + 5 =sin( 2 5 ＋ 2 x )＝cos 2 x ｇ(x)＝cos( 2 x ＋ 2 5 )＝－sin 2 x 答案：D 10.下列函数中，图象关于原点对称的是( ) A.y＝－｜sinx｜ B.y＝－x·sin｜x｜ C.y＝sin(－｜x｜) D.y＝sin｜x｜ 解析：∵点(x,y)关于原点的对称点 P(－x，－y)，把 P 点坐标逐一代入选择支，知 y ＝－x·sin｜x｜关于原点对称. 答案：B 二、填空题 11.函数 y＝3sin(πx＋3)的振幅是 ，周期是 ，初相是 . 答案：3 2 3 12. 2 sin 2 cos cos x x x y − = 的值域是 . 解析：由 2 sin 2 cos cos x x x y − = ＝ 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 x x x x − − ＝ ) 2 4 2 sin( 2 sin 2 cos + = + x x x , x≠2kπ+ 2 ＋,k∈Z ∴y≠± ) 2 4 2, sin( + x ＜1 ∴y∈(－ 2 ， 2 ) 答案：(- 2 ， 2 ) 13.若函数 y＝Acos(ωx－3)的周期为 2，则ω＝ ；若最大值是 5，则 A ＝ ． 答案：π 5 14.在下列函数中：①y＝4sin(x－ 3 )，②y＝2sin(x－ 6 5 )，③y＝2sin(x＋ 6 )，④y ＝4sin(x＋ 3 ),⑤y＝sin(x－ 6 13 )关于直线 x＝ 6 5 对称的函数是 (填序 号). 解析：∵y＝4sin( 6 5 － 3 )＝4sin 2 ＝4，y 取最大值. ∴x＝ 6 5 为它的一个对称轴. 又 y＝sin( 6 5 － 6 13 )＝sin 2 3 ＝－1
x=5是对称轴 答案:①⑤ 15.使函数y=2tanx与y=cosx同时为单调递增的区间是 解析:当x∈(kx kx+)时,y=2tanx是增函数, 当x∈(kx-x,kx)时,y=cosx是增函数, x∈(kx-,kz)时,y=2tanx与y=cosx均是增函数 答案:(kx-,km)k∈z 16.函数y=tanx的周期为 y=sin2x的周期是 +-)的周期 答案: 17.在y= arcsin√x中 答案:[0,1][0,丌]角 18.利用单位圆将sin2,sin3,sin4由小到大排列的顺序为 答案:sin40) 答案:| 纵扩大到 解析::=-c0s2x+3c0sx+10=-(c0-,2× 20.y=(2+cosx)(5-c0sx)的最大值为 最小值 当cosx=-1时,ym1n=6 当cosx=1时,y1n=12 答案:126 三、解答题 21.求y= 的定义域 lg(tan x +D) 解:由题意得
∴x＝ 6 5 是对称轴. 答案：①⑤ 15.使函数 y＝2tanx 与 y＝cosx 同时为单调递增的区间是 . 解析：当 x∈(kπ－ 2 ，kπ＋ 2 )时，y＝2tanx 是增函数, 当 x∈(kπ－π，kπ)时，y＝cosx 是增函数, ∴当 x∈(kπ－ 2 ，kπ)时，y＝2tanx 与 y=cosx 均是增函数. 答案：(kπ- 2 ，kπ)k∈Z 16.函数 y＝tan x 5 3 的周期为 ，y＝sin2 2x 的周期是 ，y＝－cos(5x ＋ 6 )的周期 是 ． 答案： 3 5 2 5 2 17.在 y＝arcsin x 中，x∈ ，y∈ 的一个 . 答案：［0，1］ ［0， 2 ］ 角 18.利用单位圆将 sin2，sin3，sin4 由小到大排列的顺序为 . 答案：sin4＜sin3＜sin2 19.由 y＝sinx 变为 y＝Asin(ωx＋ )，若“先平移，后伸缩”，则应平移 个单位； 若“先伸缩，后平移”，则应平移 个单位即得 y＝sin(ωx＋ )；再把 坐标 原来的 A 倍，就是 y＝Asin(ωx＋ )(其中 A＞0). 答案：| | | 2 | 纵 扩大到 20.y＝(2＋cosx)(5－cosx)的最大值为 ，最小值为 . 解析：∵y＝－cos2x＋3cosx＋10＝－(cosx－ 2 3 ) 2＋ 4 49 当 cosx＝－1 时，yｍｉｎ＝6 当 cosx＝1 时，yｍｉｎ＝12 答案：12 6 三、解答题 21.求 lg(tan 1) 2 cos 1 + − = x x y 的定义域. 解：由题意得
2kx-x≤x≤2kx+x 2cosx-1≥ cosx≥一 anx+1)0→anx)-1→12kx、兀(x(2+3 (k∈Z) tanx+1≠1 x≠k丌 →2k丌-2(x(2n或2km(x≤2kx+x(k∈Z) 2.已知函数y=a-bc0sx的最大值是3,最小值是一1,求函数y=-4as1n3bx 的最大值、最小值、周期、振幅、频率. 解:当b>0时 +b 2→y 1b= 当b(O时, →=2sn3x a+b= 最小值是-2,最大值是2,7= 3 A=-2(b>0)或2(b<0=,=3 23.若f(x)=/in(x-)+B,且f()+r()=7,f(m)-r(0)=2√3,求r(x) 解:由已知得: f(x)=Asin(x-)+B B+-A+B=7 A=2 f()+f()=7 +3 →f(x)=2sn(x-) f(x)-f0)=23 A+B+A-B=23 2 24.若 ∫x=sn+cosb ,试求y=f(x)的解析式 J=sn 6 cos 解:由x=sinb+coso→x2=1+2 sin ecos0→ sin cos g=x-1 =f(x=sin cos 0
( ) 3 2 2 2 4 2 ( ) 4 3 2 4 2 3 2 3 2 tan 0 tan 1 2 1 cos tan 1 1 tan 1 0 2cos 1 1 k x k k x k k Z x k k x k k Z k x k x x x x x x − + − + − + − + + − 或 22.已知函数 y＝ａ－ｂcosx 的最大值是 2 3 ，最小值是－ 2 1 ，求函数 y＝－4ａsin3ｂx 的最大值、最小值、周期、振幅、频率. 解：当ｂ＞0 时 y x b a a b a b 2sin 3 1 2 1 2 1 2 3 = − = = − = − + = x b a a b a b b 2sin 3 1 2 1 2 1 2 3 0 , = = − = + = − − = 当 时 ∴最小值是－2，最大值是 2，T＝ 3 2 A＝－2(ｂ＞0)或 2(ｂ＜0＝，f＝ 2 3 . 23.若 f(x)＝Asin(x－ 3 )＋B，且 f( 3 )＋f( 2 )＝7，f(π)－f(0)＝2 3 ，求 f(x). 解：由已知得： ) 3 3 ( ) 2sin( 3 2 2 3 2 3 2 3 7 2 1 ( ) (0) 2 3 ) 7 2 ) ( 3 ( ) 3 ( ) sin( + = − = = + + − = + + = − = = + + = − f x x B A A B A B B A B f f f f f x A x B 24．若 = = + sin cos sin cos y x ，试求 y＝f(x)的解析式. 解：由 x＝sinθ＋cosθ x 2＝1＋2sinθcosθ sinθcosθ＝ 2 1 2 x − ∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝ 2 1 2 x −
又x=sin0+cos0=√2sin(0+) 而|sin(0+-)|≤1∴|x|≤√2, y=f(x)=-x2 x∈[-√2,√2]
又 x＝sinθ＋cosθ＝ 2 sin(θ＋ 4 ) 而｜sin(θ＋ 4 )｜≤1 ∴｜x｜≤ 2 ， ∴y＝f(x)＝ 2 1 x 2－ 2 1 ，x∈［－ 2 ， 2 ］．