1.3三角函数的诱导公式 整体设计 教学分析 本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、 化简、证明问题. 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学 习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意 角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题 在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想, 无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数 值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数 学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化 归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+ a角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用. 公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大 于90°的非负角,但是在推导中却把a拓广为任意角,这一思维上的 转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本 课时的难点所在 课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的 角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困 难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但
1.3 三角函数的诱导公式 整体设计 教学分析 本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、 化简、证明问题. 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学 习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意 角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题. 在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想, 无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数 值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数 学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化 归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定 180°+ α角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用. 公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大 于 90°的非负角,但是在推导中却把α拓广为任意角,这一思维上的 转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本 课时的难点所在. 课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的 角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困 难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但
必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度 制的转化的练习 三维目标 1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解 诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转 化及分类讨论的思想 2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角 函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用 3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题 多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力 重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三 角函数式的求值、化简和证明等 教学难点:六组诱导公式的灵活运用 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值 ②复习诱导公式一及其用途 思路2在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数
必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度 制的转化的练习. 三维目标 1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解 诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转 化及分类讨论的思想. 2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角 函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用. 3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题 多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三 角函数式的求值、化简和证明等. 教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. ②复习诱导公式一及其用途. 思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数
值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函 数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函 数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(x到2π)范围内的 角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到 锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题 推进新课 新知探究 提出问题 由公式一把任意角a转化为[0°,360°)内的角后,如何进一步 求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得, 特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通 过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问 题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360° 的角β能否与锐角a相联系?通过分析B与a的联系,引导学生得出 解决设问的一种思路:若能把求[90°,360°)内的角β的三角函数值 转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这 思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想 图1
值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函 数转化为 0°到 360°(0 到 2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函 数值,我们可以通过查表求得,对于 90°到 360°( 2 到 2π)范围内的 角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到 锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 推进新课 新知探究 提出问题 由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步 求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得, 特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通 过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问 题:0°到 90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到 360° 的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出 解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值, 转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这 一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想. 图 1
讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1 180°-a,B∈[90°180°] B={180°+a,B∈80°2701 360°-a,B∈[270°,360°l 提出问题 ①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? ③任意角a与180°+a呢? 活动:分a为锐角和任意角作图分析:如图2 图2 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系 无论α为锐角还是任意角,180°+a的终边都是a的终边的反向延长 线,所以先选择180°+a为研究对象 利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的 位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P 指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: in(180°+a)=sina,cos(180°+a)=-cosa 并指导学生写出角为弧度时的关系式 sin(π+a)=-sina,cos(π+a)=cosa,tan(π+a)=tana
讨论结果:通过分析,归纳得出:如图 1. β= − + − 360 , [270 ,360 ], 180 , [180 ,270 ], 180 , [90 ,180 ], a a a 提出问题 ①锐角α的终边与 180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? ③任意角α与 180°+α呢? 活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图 2. 图 2 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系. 无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长 线,所以先选择 180°+α为研究对象. 利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的 位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是 P(x,y)和 P′ (-x,-y). 指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα. 并指导学生写出角为弧度时的关系式: sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用 讨论结果:①锐角a的终边与180°+a角的终边互为反向延长 线 ②它们与单位圆的交点关于原点对称 ③任意角a与180°+a角的终边与单位圆的交点关于原点对称 提出问题 ①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么? ②-a角的终边与角a的终边位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中讨论-a与a的位置关系,这时可通过复习正 角和负角的定义,启发学生思考 任意角a和-a的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系 及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式 三的推导,即 sin(-a)=-sina, cos (-a )=cos a, tan(-a )=tan a 教师点拨学生注意:无论a是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步 引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的 三角函数值转化为求正角的三角函数值 讨论结果 ①根据分析下一步的研究对象是-a的正弦和余弦 ②-a角的终边与角a的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐 标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数 提出问题
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用. 讨论结果:①锐角α的终边与 180°+α角的终边互为反向延长 线. ②它们与单位圆的交点关于原点对称. ③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称. 提出问题 ①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么? ②-α角的终边与角α的终边位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正 角和负角的定义,启发学生思考: 任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系 及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式 三的推导,即: sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα. 教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步 引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的 三角函数值转化为求正角的三角函数值. 讨论结果: ①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦. ②-α角的终边与角α的终边关于 x 轴对称,它们与单位圆的交点坐 标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数. 提出问题
①下一步的研究对象是什么? ②π-a角的终边与角a的终边位置关系如何? 活动:讨论-a与a的位置关系,这时可通过复习互补的定义, 引导学生思考:任意角a和-a的终边的位置关系;它们与单位圆的 交点的位置关系及其坐标,探索、概括、对照公式二、三的推导过程, 由学生自己完成公式四的推导,即 sin( -a)=sin a, Cos(J-a)=-cos a, tan(J-a)=-tan a 强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立 引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-a角 的三角函数值转化为求角a的三角函数值 让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆 我们可以用下面一段话来概括公式一一四 a+k·2π(k∈Z),-a,π±a的三角函数值,等于a的同名函数值 前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号 进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公 式中的a是任意角. 讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-a的三角函数 ②π-a角的终边与角a的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点 坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数 示例应用 思路1 例1利用公式求下列三角函数值
①下一步的研究对象是什么? ②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何? 活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义, 引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的 交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程, 由学生自己完成公式四的推导,即: sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα. 强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立. 引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角 的三角函数值转化为求角α的三角函数值. 让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆. 我们可以用下面一段话来概括公式一—四: α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值, 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公 式中的α是任意角. 讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数; ②π-α角的终边与角α的终边关于 y 轴对称,它们与单位圆的交点 坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数. 示例应用 思路 1 例 1 利用公式求下列三角函数值:
(1)cos225°;(2)sin1x;(3)sin(-16x);(4)cos(-2040°). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习 加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围 对照公式找出哪个公式适合解决这个问题 解:(1)c0s225°=0180°+45°)=c0s45°=y2; 2 2)sin l1丌 (3)sin(-16T )=-sinI67 3sin(5丌+z) sin (4)cos(-2040°)=cos2040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60° cos60° 点评:利用公式一一四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数, 一般可按下列步骤进行: 用公式 任意负角的 任意正角的 角函数 三角函数 用公式一 用公式 0~2x的角的 角数 上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法 变式训练 利用公式求下列三角函数值 (1)cos(-510°15′);(2)sin(-17m) 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′
(1)cos225°;(2)sin 3 11 ;(3)sin( 3 16 − );(4)cos(-2 040°). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习 加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围, 对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°= 2 2 − ; (2)sin 3 11 =sin(4π 3 − )=-sin 3 = 2 3 − ; (3)sin( 3 16 − )=-sin 3 16 =-sin(5π+ 3 ) =-(-sin 3 )= 2 3 ; (4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60°) =-cos60°= 2 1 − . 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数, 一般可按下列步骤进行: 上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法. 变式训练 利用公式求下列三角函数值: (1)cos(-510°15′);(2)sin( 3 17 − π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′
cos(360°+150°15′) cos150°15′=cos(180°-29°45′) cos29°45′=-0.8682 (2)sin(- =sin(-3 X2 J=sin=v 例22007全国高考,1 cos330°等于() D. 答案:C 变式训练 化简:1+2m2c430 sn250°+cos790 解 1+2sn290°cos430 sn250°+cos790 +2sm(360-70°)cos(360°+70) sn(180°+70°)+cos(720°+70°) √1-2sin7°cos70°|cos70°-sm70° sn70°+cos70 sn70°-cos70 cos70°-sn70 例3化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480° 活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目 利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合
=cos(360°+150°15′) =cos150°15′=cos(180°-29°45′) =-cos29°45′=-0.868 2; (2)sin( 3 17 − π)=sin( 3 -3×2π)=sin 3 = 2 3 . 例 2 2007 全国高考,1 cos330°等于( ) A. 2 1 B. 2 1 − C. 2 3 D. 2 3 − 答案:C 变式训练 化简: sin 250 cos790 1 2sin 290 cos 430 + + 解: sin 250 cos790 1 2sin 290 cos 430 + + = sin(180 70 ) cos(720 70 ) 1 2sin( 360 70 ) cos(360 70 ) + + + + − + = cos70 sin 70 | cos70 sin 70 | sin 70 cos70 1 2sin 70 cos70 − − = − + − = 1 cos70 sin 70 sin 70 cos70 = − − − . 例 3 化简 cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目. 利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合
并、约分 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480° =cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120° cos(-45°)-1-sin45°+cos120 2 =cos45° +cos(180°-60°) 2 222 点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的 目的 变式训练 求证:an2x=Osm2x=Ooy6rx-0)=tmnb (-cos)sn(5丌+b) 分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边 证明:左边=tm2x-Osm2x=Oo06x= B)sin( 5T+8) n(-b)n(-)cos(-6) (cosO)sin(T+0) tan esin ecos e tan0=右边 cos esin e 所以原式成立 规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边 都化简 知能训练 课本本节练习1-3
并、约分. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480° =cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°) 2 1 − -sin45°+cos120° =cos45° 2 1 − 2 2 − +cos(180°-60°) = 2 2 2 1 − 2 2 − -cos60°=-1. 点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的 目的. 变式训练 求证: tan ( cos )sin( 5 ) tan(2 )sin( 2 )cos(6 ) = − + − − − . 分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边. 证明:左边= ( cos )sin( 5 ) tan(2 )sin( 2 ) cos(6 ) − + − − − = ( cos )sin( ) tan( )sin( ) cos( ) − + − − − = cos sin tan sin cos =tanθ=右边. 所以原式成立. 规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边 都化简. 知能训练 课本本节练习 1—3
解答:1.(1)-cos4z;(2)-sin1;(3)-sin2;(4)cos70°6′ 点评:利用诱导公式转化为锐角三角函数 2.(1)1;2)1:(3)0.6428:()-3 2 点评:先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值 3.(1)-sin a cos a;(2)sin a 点评:先利用诱导公式变形为角a的三角函数,再进一步化简 课堂小结 本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公 式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到 的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记 法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要 多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想 作业 课本习题1.3A组2、3、4 设计感想 有关角的终边的对称性 (1)角a的终边与角+a的终边关于原点对称 (2)角a的终边与角-a的终边关于x轴对称 (3)角a的终边与角-a的终边关于y轴对称 三角函数的诱导公式应注意的问题 1)a+kπ(k∈Z),-a,π±a的三角函数值等于a的同名函数值, 前面加上一个把a看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名
解答:1.(1)-cos 9 4 ;(2)-sin1;(3)-sin 5 ;(4)cos70°6′. 点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数. 2.(1) 2 1 ;(2) 2 1 ;(3)0.642 8;(4) 2 3 − . 点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值. 3.(1)-sin2αcosα;(2)sin4α. 点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简. 课堂小结 本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公 式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到 的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记 法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要 多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想. 作业 课本习题 1.3 A 组 2、3、4. 设计感想 一、有关角的终边的对称性 (1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称. (2)角α的终边与角-α的终边关于 x 轴对称. (3)角α的终边与角π-α的终边关于 y 轴对称. 二、三角函数的诱导公式应注意的问题 (1)α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值, 前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名