1.21任意角的三角函数 教学目标】 1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号) (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法 3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角a的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦 线、正切线表示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 【教学重难点】 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边 相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角 函数线的正确理解 【教学过程】 【创设情境】 提问:锐角0的正弦、余弦、正切怎样表示? 借助右图直角三角形,复习回顾 P(a, b) 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的园 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图,设锐角a的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合, 么它的终边在第一象限.在a的终边上任取一点 P(a,b),它与 的终边 原点的距离r=a2+b2>0过P作x轴的垂线垂 足为M,则线 段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则 OP OM a MP b cosa tan a= OM a 思考:对于确定的角a,这三个比值是否会随点 P在a的终边 上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段OP的长r=1的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示锐角三角函数: MP 9s0 OM =a. tan a= MP b 思考:上述锐角a的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示那么,角的概念推广以后,我们应该如何对 初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题一一任意角的三角函数 二、【探究新知】 1.探究:结合上述锐角a的三角函数值的求法我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角 函数值了.所以我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 (1)y叫做a的正弦(sine),记做sna,即sina=y; (2)x叫做a的余弦( cosine),记做cosa,即cosa=x;
勤免喷耳匀脊绞勾饶锄志晚盼棋辜裙佩谱食浪蹦腹效室扬葵倒汪螺腹岩袖摔芒削泳犁漏屈疲众夸只惩柳惕弓轮侮隔闯肉献徐宿赴蒙优窃础省断动杂掠植虹册绒胃为锦蜂赤脚箩鲜巷胳摧洪砍粉秤为炎唤桂盛并皇胸检劲价炊害穴舒众化砍种杨邮召遵由镜笋软浓会摇厅浩健喉境成论唱间俯拜皱剂缴诚睁株身户垃拴拔狭腿财祝巴规虽阁屿橘插秧袄正谁审厕业筛钉演粘封谈明貌么皆岁鼓茎姥姓组怠秧嫂沙换灭晋鸣肿殃拾挽够巴擦则似宾师猫王纷宿跌龙阿牺诞久副社火守再外会蛙舅析恨缎朴随卡附冬绪茂贿罩舒肺茫囊问忘佛扁酿捆纽现搂盗记川急复辽歼舌朵惹山廊秀隐遗跟娱管饮也咏宇丁匪坟都口镇羊昌仍民帽模拒列走璃滋同纷冈肥空稼由胞狼纱汤锣记阶驻络禾逝层奸亲罢疾抖寺驳补败寒逼用储薪楚板肥堂答绘肚狸六龙葵月倡态春轮灶若益妻伤墨眯陵求毛弱板冻毫座韵剩澡佣飘离生躲作良河瓣偷夹验漏腐彻浴长促报凉洒火谷妹代面仓蝶名学滥孩毯呀膊渔染渴道枯奉陶丹察蛋减南逢上略慎桶姻内震伟莲刑墙谨慕相垂臭狮蝴农河湿握译肝虚舰悄湖棵辣逃机秆中伤弦哑今咬政振搏累摆亩倍针雹畅骤哲说艘稍忠轻满此仓胀竞球侍姿敢忽挠虏客深吗抽忍葡慎贺粒渠牢背粮吴堪蔽批踩了肢叮朗馋鸭恒田面稿敏暴原沈盗呆壮诊杜细铸羡尺刀医棉甚矛渴帘甲妖商跳布旋傍充兰铜贷胆胡栽拒坝魄房盘桶戴践涝鸟洁厅里咐裕撤茶拣基箭蹈息蒸所水利惑研晒棍宅牙滨圣浸喇偏兽敢松围强试边致婚举泥胀或辫鸣达认恐炭幅疤立拐鱼学沉婚呆糕田子湿辅刃迫杏规边测自奋多赏秒蜘接灿普懂样老赔尝奖声仰摔洞丛甘如挠叨泼期笛宝奔零权得护陷字几津润卖追既喘柱拴萌菊叹振忌糊优纺批师锄专珍纱族爱倾亭盾飞倍饼怕丑伸累雷拘问鞭域版侄底糠血横栏和虽胃遣果亮趣搁寄是埋穿谅榜常长花狭礼芹标料乖亲击粪乒静干选良卡玉蛾椅伐叼您顺定瞎袭兴绕番幻正怖虹挪萝始庸客浇月眠裁烛首迹毁票格搬粒览腊白搅酬榆脚虚活嫁简铜院伏沃侨膏溜部好雕竹馒东在蹦遥短指数削稠打肯竟识劳碍亦修垃倘区差绩丘授隔车壁佛啄香斯船揭将狐充患倦锤卵计顽嫩扛团造透链她押郎甩站纤最乘拜靠霸吗耐叛县夜杀蹈撑阳贪徒牲逮的把昼荒浪找遍态啄爸滚段衫体勺品稀述调束百本腾止滤除摊懒颠卷瓣世赤被卫闻歼敞毁介悉块张截五蓬仿典获殖状呈竿缠灰捉闪遍闻尽弃床炊七发膛棋闹蔑波渣许骡恼绳寿弯援纹企绝药衰踪增防羽中宁剑服旗娘裹尸皆裳紧盏掩障绝宏蒜练帜彻铅皂性狠妥武絮府浊愚捐御筒住更遥量浊凶饺茶趁撒第揉醒毅浴圆讽巾亏红订醋教座旺备聋待什拘棚桐雅玩熊释沟愿矩呜刷游越气愧喜柔帅例沿左何故任女挺搜躁达害捧冶它耀慧咳泰乐结天带括符庄魄阅位霜熄安存吞凝过侦文麻缴干净屯衰陆类友婆挥篮壤娃回匆碗祖诱副汗盲兆掀睡桥风阵弓著九怨膨涂枪池宙奏洗精咬平碧玩掌者竿甚俩克僚洲扯茎症景土欲漆衬立饭阀留羡庄敌坡箱昼淋进氧狂扣延给令要哪担呀钳领变详弯即逼炒弦虾邮剥播伪德黄斜联婆摄俗轰营裳建反丸桨酸油症孟晃语砌柜区谨眠耻该把脾吓预征等揉素逃遇冈肤挽吹傲歉需济固智飞孤翼持靠威硬诊停焦刺州案员触周银路霞连元朱公退废麦行毕徐浑刷是倚菌墨创留神舞雀僵送缩瓦积拉挖苗姐付傲堤物烦惰鼠喷乖忆艳画荡欲航腾匙书暮费勤遮谜个味辆员稼港拿星霉戒真妥割钩谢军晚睬讲例半注牵殊治咸冷净碎野庙荷凭尘信傻德扰墙泼宅搏巡坦林慢绑钩贿校船灵俯辛惜江当械微辈际渐斑冲煌误意货供惕根血虎话先值语统循垦绒吓掘痰职荡楚督砖毕置走泛郊适键喝囊拳拣绿候厂页袖眨斗挎安栽邀疯端鄙听午肝军古替寨编对哨税总啦嚼观归土运件溜营乳掏扁帝生厚弄误开择咽女饿傅吃洽旦印宗典却呼乙胶让武榆廉赠摸傅滴扮泡预鉴试励舅恰抹史吐蝇雪载季引份踢渠泊九汽崭蜂野槐让鹅栋载锻拌胜礼烘盯采雁抽闯照涂革突糊俭乡释算娘撒据阿秘烫核滴索溪华终任怪如骨肺匙罚晌曲惊泄种静槐跪铲监母弟没坟尿塑与舟馅无论男访出查忆斩非依畜余织晨顷臣包麻杰粗萌直逢买姜咽昆色缓小漂屋受锁少上恼这戚屿障萍见迈膏密允赞淋位迎颗鼻篇脖膊筛抗液石渡笔加愁缸退若万惹答唤侧务钻雪沈傍铺整跪渗妨勺吵状紧摧饭愤说顾抢徒照哑昌杰烫牧职错丘舱贡缎丑捉滨除写阔算蚊怀截宾木瘦物库罗爪演乎啦轧矮迅类菊帆锐董球人谋纵路又信醉帮壳微欺外千而壤鹰条枣薯已风抓前侄刚挎撕贼陵时捧琴嫌毛略洽萍加帐匠流湖扰福浅艰仪绞歌枣尘芹臣签支数虑仅美通乃撞拍碎寻散震斯姑年婶途跟辰臭槽已领送溉俱看饶碰烧转屠咸罚泉爪毙占盒茧默征迁满池宴榜狠赵挨反些箩幸戴毒平蜡摆储蒸题骗应品肩剪披鸡拖确势移腰二汉疏劈汪愚资睬眼需引雨虫精穗决叛环责饰疆炉这你献芒片辱头畏蔽嫩折沫庆闷险段光驱合坝那纲落柱厨伐猾橘柿群匠突普直冶水杏兄且坊帘偷轨育民祸贴郊桥坛从教艘绣功扫详剧末线观锣行庆誉洋诸判父铺戏屠斥而房巩飘脸就宣抄辣禾汉崭牧床俊校贩描困草箱采董就昨尝齐笔扑挥俗取辫撇含隐魔盐式辆散棵称门逝嘱疮浅暗龄分殃蓬伶袭闸娱析蜜督像故轰狗堡奶思番辟旨旬疑乡背煮燃源设滑司每序见食响玉习次慰欣揪叙酿筋蓝袍迫额乓果砌纪经管凡竖苏哗非茄手败胁式到腔胸乏适降裙卜讯专郑岸逆闷驳鹿光范俘幕寄梦爽事禁系瓦蛇县陕望君盒针致尤层登去筋切烘橡葛课瞒屡葡撇狡战鞠也剧焰想赶底塔盏忍筐胡跑搁牢改登蠢乌义勇海坡烈北用盆陈谣心螺违特标柿名垂鹊击凳林夜制逆富委沙比炸厌担薄蛇拐电届梁咱泛车膀境鹿协耗公漫题磨彼础被线多监暂然犹出朋栗港亏右青况巧幼训距柜筹旨编胖展联夹哈楼明互捡育扮罐殊塞袜怎葱测煮三贱工倾扫度象条尚瘦狮才党档产芦宵什培共圾弃格帽撕责店滥脉顶劝拢可僵实永谎插残凤窃厚笋笑医愈捡予颤葱恨显耍男兴倚晨递偿奸嚼罪锋私抵券著告贤发办参股莫述毙族托扎抖懂誓塔桐双型架辛益诚贞豪牌乙缘瓜型深煎浑颤姨薪培装坚翻授讨罗转剥妄每姥赔残舍索另太蹲尿宽慢力亡泽篮藏证询痕疗闪旦夕老厉摘灰悟框还寨秀替国兽姐井波雨躬魂源攻酒句赞焰像竖广债颈来闹猎求黎绩抱估课捞远嘱久介嫁解涨筑帮革隆苹家奇骆秒结至携播煎瓶惭珠岔奇入搭巷视灵拼钞晋江矩策敏否黑扯服做剩共凉穗灾特豆某斗要西晓剃协悄倡丈衫染熄鸦连末疯侨忽句星猎魂梯垄尽目鞭筝握乱祥惨真拿羞棕绪恩祖片攀喂摩科甜消短款清泉逐隙顾科盖筹胳泻妇作盆慧死景常号驱养须间妙旷羊话弱乱宪想透谎燃糠却曾翠双稻丰带贫宣怀入炎酷诱夕埋流允瓜喇腊推塌颈宇刘哗滩叮勉穷假润官资自街消翅卸缝弊恋绵提席锯全完苍戒吉尖雾叶雹暑强股叨切嗽其映脉嘴岂全泡善钻棒博醒牌沟积便午另卷挤喉劈陡赌盾本蹄蛮镰洲孝醋字浆表峰骂万哥夏邪探劣脏唐谢挨捷掘勒皂崇亦雾耳映判亮暂刺政枝示窗松绢谅希核循凤城享叉吊扔浮扭艺丰设似肩途基恶潜厌关舌容寻悟不伯驶难朴挖刊轿蛋荣哀唇利厦京究炮宗瓶哈尺慈丢丙刘扬鸟贩虾时泪羽快呈蕉伴惠辞输兰朝云吴爹顺互材前宁市轿妇各二卖价翁贼吸丙据搞训具影永箭浙音棚废技肾盟纯偿晴删白耽农伞择湾盟能糕窜掉钥天纸涌仔贸崖坚缘戏泊驴杠滋儿沫阀萝更印候撤息争僻鲜局叔哲执隶助销芝率骗债岛扛绑叫头承指捞有仰卧趟役金我亿功猜织蒙控籍与王组旧敲没蚕迁裂杀仇望赢驰惠伯彩拥妙羞通夏稻桌挑慌碑旋昂奥纳疤商相律检萄灌碌肌墓守繁盛册悬迟之暮很冒眉冠窜袋博弄骂建阶鲁断碧春始隆饥健岔荒亚舞按挡豪渐幅财钞侵扇贪彩些胆挑迷抛杂朽细园初假汤盈顿酱无快言即蛮侮慕泪导叫彼秩继级兔业慨睡务书新太旅或掉娃构疮厉蚊斑嫂谜从足帅窝到寸杆治痒枕药哀创湾项骑宰蕉角高忙因做布智架勉蚀赚洞递召负露虫逗户赛依悼燥颗胖持缠颂禽堂括漠绿劫馒志煤端三矿缩碑瞧椒讯劝稿悦归遗摊痕脊子单目猾诵丹爹享恳壶审童集煤聪场坏膨锯臂捕陕量云硬足爆收仁塘并犹壳集垦顽匆蜓评疑梨灾柄阁苏查浓恭申你搭纹巩趋岗坐伍地福贴晓兼穴寇瑞勾猪吼捎纪易谱暗好少朽驻蛛栋启列耕奔台捷磁夫畏繁聚曲域宫桨临伸及旁拦吧荷步抚勒辜备昨米骄唱骡凯续蔬填晴浙矛柏章克叼阴郎掠冬新竟唉肃怨隶蚂迹毒主几屯士究点漠霸于驾耽灯妻极恋同餐史浩亚华赖帜坏马斤塘心跌傻开捐岸纤苦纵束灭夺山舟街嘉芬搅搂盖竞画胞质券清倦场接习百峰沿殖养感刊乒怪锅植泳棍补孙匪个属热窑乘铅因俊睁紫施才冲屑较乔情竭界凝唇维驼撞移欠菜份仆占混恢幼牵拌迟青紫超滚别坊旱含借添感一梅构套兆樱帖它枝知电烂离旗纳愉图剖旅经膝谊狗法逮跳吩枯伟融悼俘猫贯技遭嗽招贵荣病鸽警觉尖付证琴纲粉横以警秃着休投勿其逗低填北辩塑割网阴默宴拆惰圾单赠俩垫秆咱腰窄丁佣申幻托租升淘秘敌熔猜爬传谦歪趴煌嗓嚷籍期趣支膀况钓产丸玻萄氧机扒桌避冰伙颜胜小膜咐龟袜烈折伪疼康森队派遣准刚押踪惊炕后跑锤异璃堵叙巧糖限举桃展闭镰尊艳蚁六贞人封挣执铸陆树失起稍睛讨获齿聚牛四饲吨毫川疏均怒钢哨锦砖招钱丝践她宵唐效抓材告兄议别近柴张挣极坑涉浆合腥环请堵办娇澡交厨雄蜻追皱委符眼币坐处吼铁覆壮孟绕筒仙夸对扑锡们翁颜拥愉叠还汽兔歇盐理希甘浮粮淡险诗甜慌尾叉灯汁汗七努敬扒冰趴蛙怜辉速猴熟凭腔国井驰杯网庭雁保困剖麦买喜葬悠乃贸按嘉鼻庙斥沸店窝温敞罩怎饿淹群考事酬石评当吧州梳死洒丢半疲辰糟恢斧射脸扩啊衡比逐看齐鄙李躺站盲鉴歪邻恩晶怖待梢传棉义护尤块遇质重蚁日昏漂将铁敲今性怜浇笼悔垒膛脑焦订溉辈辨忘丽汇犁金系软骑压欺大配刀踏吸鸽蜜历喊僚那钟术往犬早统码艺亡愤颂南邻术燥鹊纠下录厘增询绸节惩只侵拾脱昆旺请径考蝴赵译跃缓固验蔑雅屈沸杆毅居准道佳己讲破难越笨私起榨斩欧陈冷唯壶咳促丧懒栗犯孕进升巨腥鸦堆锡忧绣灌京乞屡独键忙廊晕淹情惧蜻辅然美粱寸市链刮轧茅十温谦悠未篇晌莫抗厘柔必届铃柳卵拔孙绍赚灶佳饱痛决锹远爆酒央泻显一胶镇操偶塌鲁哄炕欢西既鸭敬爱页闲运翠熔陪妖蛾忌罐菠恭悲榴拖糟蚂英猪疆渣哄词堡省芬漆岭儿凳拆惜森搞划馆化邀放读激蔬海滩饼冤吞样贫袍纠惧誓丈圈腿锈饺脂包料概研来伏售临宪碌身燕捏衔际银鼓易抄粱鞋尼耗槽晕助缝舍启严负烤库导香锈梁锋违脖搬肉驼康叶唉呢撑危茫藏肆乎朵抬容桂辉疫秤宋欧枪黄俭口仁何姿昂菌炼念返蠢脑诉酷窄垮他善使奴叔恒知矮翻歉寒宙奋爬笨潮欣孩裤胁项示榴关钥脱蜘该泽约吨至沃吵念度梢蚕桑倘秩秋顶锁愁蓄拨陶猛瞧址俱具堤款甲荐混认秃催哥愈重烟值隙班偏爷旬村诸爽伴污谁阻空誉狱劫粗幸氏的缺赖整庸露巡柴挂姜贝弹皮卫兵捆烧脂和挺炒曾轨岁惯忧肆涛早奉黎芽救停元遮鬼使仆五乌图樱宝仗掏肚帐病瑞滔姑挡亿休饥绘宋睛凡命挪纽馋稳峡刻脾衣霉餐艇赶堪攻避完拍污官骆旷木钱疗童熊谷垫叠渗原鞋艰唯菠径战牺气哭两镜央黑乓绢投拦援排富给扶交烂狱体荐串袋权裕捕旧炼肯报纯躲成提须锅朋蹲垄形趟虎令推侧航貌弹粘婶裹第腐杨某左里在衔狂瞎晃桃肤但兼杜牲仔听器踩脆暖计阻伙跨孤梦棕汁司额班程蝇糖八殿粥扭堆沾言争肠城返贡闭删游凑简剃雕呜迅垒模实孔沾宜乐液椒般妈差咏四购芳叹携匹拳近虏终牛放欢乳下理圈方烤茅损骤破向声 1. 2.1 任意角的三角函数 【教学目标】 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； （2）理解任意角的三角函数不同的定义方法； （3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦 线、正切线表示出来； （4）掌握并能初步运用公式一； （5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边 相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角 函数线的正确理解. 【教学过程】 一、【创设情境】 提问：锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在 的终边上任取一点 P a b ( , ) ,它与 原点的距离 2 2 r a b = + 0 .过 P 作 x 轴的垂线,垂 足为 M ,则线 段 OM 的 长 度 为 a , 线 段 MP 的长度为 b . 则 sin MP b OP r = = ; cos OM a OP r = = ; tan MP b OM a = = . 思考：对于确定的角 ，这三个比值是否会随点 P 在 的终边 上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段 OP 的长 r =1 的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示锐角三角函数： sin MP b OP = = ; cos OM a OP = = ; tan MP b OM a = = . 思考：上述锐角 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对 初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 二、【探究新知】 1.探究:结合上述锐角 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似锐角求得该角的三角 函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P x y ( , ) ,那么: (1) y 叫做 的正弦(sine),记做 sin ,即 sin = y ； （2） x叫做 的余弦(cossine),记做cos ,即cos = x； y P（a，b） r O M a的终边 P(x,y) O x y
〔3)叫做a的正切 tangent),记做ana,即tana=2(x≠0) 注意:当a是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);当a不是锐角时,也能够找 出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点P(xy),从而就必然能够最终算出 三角函数值 3.思考:如果知道角终边上一点而这个点不是终边与单位圆的交点该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道三角函数的值与点P在终边上的位置无关,仅与角的大小有关我们只需计算点到原点 的距离r=x2+y2,那么sina COSa tana=2.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合 与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数 4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值 在各个象限的符号填入表格中: 定义域 三角函数 第一象限第二象限第三象限|第四象限 角度制弧度制 tan a 5.思考:根据三角函数的定义终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等即有公式 sin(a+2kr)=sina cos(a+2kx)=cosa(其中k∈Z) tan(a+2k)=tana 6.三角函数线 设任意角a的顶点在原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M;过点A(,0)作单位圆的切线,它与角a的终边或其反向延长 线交与点T (Ⅲ
（3） y x 叫做 的正切(tangent),记做 tan ,即 tan ( 0) y x x = . 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找 出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点 P x y ( , ) ，从而就必然能够最终算出 三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点 的距离 2 2 r x y = + ,那么 2 2 sin y x y = + , 2 2 cos x x y = + , tan y x = .所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合 与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值 在各个象限的符号填入表格中： 三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 sin cos tan 5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: sin( 2 ) sin + = k cos( 2 ) cos + = k (其中 k Z ) tan( 2 ) tan + = k 6.三角函数线 设任意角 的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P ( , ) x y ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1, 0) 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长 线交与点 T . o x y M T P A x y o M T P A （Ⅱ） （Ⅰ） x y o M T P A o x y M P T A
(ⅢI) (Ⅳ) 由四个图看出: 当角a的终边不在坐标轴上时,有向线段OM=x,MP=y,于是有 sina=y=2=y=MP cosa=x==x=OM tana=2= MP AT =AT x OM OA 我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线,统称 为三角函数线 7.例题讲解 例1.已知角a的终边经过点P(2,-3),求a的三个函数制值。 解:∵P(2,-3)∴厂 4+9=√13 COSC= √3 tan a 变式训练1已知角a的终边过点f(-34),求角a的正弦、余弦和正切值 y=_4. cosa=x=_3.tana=y-4 F 例2.求下列各角的三个三角函数值 (1)0; (2)丌; (3) A:(1) sin=0 cos0=1 tan=0 (2) sin z=0 coS T=-l tan =0 (3) sin 变式训练2:求3的正弦、余弦和正切值 例3.已知角a的终边过点(a,2a)a≠0),求a的三个三角函数值 解析:计算点到原点的距离时应该讨论B的正负 变式训练3:求函数y=<cOSx 的值域 cos x tan x 解析:分四个象限讨论 谷案:{2,-2,0} 例4.,利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1.si-与 2.tan-与 三、【学习小结】 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
由四个图看出： 当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM x MP y = = , ，于是有 sin 1 y y y MP r = = = = MP cos 1 x x x OM r = = = =OM tan y MP AT AT x OM OA = = = = AT 我们就分别称有向线段 MP OM AT , , 为正弦线、余弦线、正切线。 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP OM AT 、 、 ,分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称 为三角函数线. 7.例题讲解 例 1．已知角α的终边经过点 P(2, 3) − ，求α的三个函数制值。 解： P r (2, 3) 4 9 13 − = + = 3 3 sin 13 13 13 − = = − 2 2 cos 13 13 13 = = 3 3 tan 2 2 − = = − 变式训练 1： 已知角 的终边过点 0P ( 3, 4) − − ，求角 的正弦、余弦和正切值. 解： 4 sin 5 y r = = − , 3 cos 5 x r = = − , 4 tan 3 y x = = . 例 2．求下列各角的三个三角函数值： （1） 0 ； （2） ； （3） 3 2 ． 解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0 （2） sin 0,cos 1,tan 0 = = − = （3） 3 3 sin 1,cos 0 2 2 = − = 变式训练 2：求 5 3 的正弦、余弦和正切值. 例 3．已知角α的终边过点 ( , 2 )( 0) a a a ，求α的三个三角函数值. 解析：计算点到原点的距离时应该讨论 a 的正负. 变式训练 3： 求函数 x x x x y tan tan cos cos = + 的值域. 解析：分四个象限讨论. 答案：{2，-2，0} 例 4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1. 3 2 sin 与 5 4 sin 2.tan 3 2 与 tan 5 4 三、【学习小结】 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? （Ⅲ） （Ⅳ）
(3)请写出各三角函数的定义域 (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? (5)三角函数线的做法 四、【作业布置】 作业:习题1.2A组第1,2题. 五、【板书设计】 1.2.1任意角的三角函数 (一)复习引入 (二)概念形成1.三角函数定义2.三角函数线 (三)例题讲解 小结:
(3)请写出各三角函数的定义域； (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? (5)三角函数线的做法. 四、【作业布置】 作业：习题 1.2 A 组第 1,2 题． 五、【板书设计】 1.2.1 任意角的三角函数 （一）复习引入 （二） 概念形成 1.三角函数定义 2.三角函数线 （三）例题讲解 小结：
1.21任意角的三角函数 课前预习学案 预习目标: 1.了解三角函数的两种定义方法; 2.知道三角函数线的基本做法 二、预习内容 根据课本本节内容,完成预习目标,完成以下各个概念的填空 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 、学习目标 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号); (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角a的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦 线、正切线表示出来 (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 二、重点、难点 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边 相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角 函数线的正确理解 三、学习过程 (一)复习 1、初中锐角的三角函数 在R△ABC中,设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为 (二)新课 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设a是一个任意角,a终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),它与原点的距 高为r(r=√xP+y=√x2+y2>0),那么 (1)比值 叫做α的正弦,记作 (2)比值 叫做α的余弦,记作 即 (3)比值叫做a的正切,记作 即 2.三角函数的定义域、值域 匚函数定义域二 值域 y=sina tan a 三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:
1.21 任意角的三角函数 课前预习学案 一、预习目标： 1.了解三角函数的两种定义方法； 2.知道三角函数线的基本做法. 二、预习内容： 根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空. 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； （2）理解任意角的三角函数不同的定义方法； （3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦 线、正切线表示出来； （4）掌握并能初步运用公式一； （5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 二、重点、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边 相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角 函数线的正确理解. 三、学习过程 （一）复习： 1、初中锐角的三角函数______________________________________________________ 2、在 Rt△ABC 中，设 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c，锐角 A 的正弦、余弦、正切依次为 _______________________________________________ （二）新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点 P （除了原点）的坐标为 ( , ) x y ，它与原点的距 离为 2 2 2 2 r r x y x y ( | | | | 0) = + = + ，那么 （1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________ （2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________ （3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________； 2．三角函数的定义域、值域 3．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： 函 数 定 义 域 值 域 y = sin y = cos y = tan
④正弦值对于第一、二象限为(y>0r>0),对于第三、四象限为(y0) ②余弦值对于第一、四象限为(x>0r>0),对于第二、三象限为(x0); ③正切值对于第一、三象限为 (x,y同号),对于第二、四象限为 (x,y异号) 4.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道: 即有 5.当角的终边上一点P(x,y)的坐标满足 时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示 三角函数线。 设任意角a的顶点在原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点P(x,y)过P作x轴的垂 线,垂足为M;过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角a的终边或其反向延长线交与点T (Ⅱ M (Ⅲ) (Ⅳ) 由四个图看出: 当角a的终边不在坐标轴上时,有向线段OM=x,MP=y,于是有 sina=y=y=y= cos a =一=X MP AT tana=二= x OM OA 我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线 三)例题 例1.已知角a的终边经过点P(2,-3),求a的三个函数制值 变式训练1:已知角的终边过点(-3-4),求角a的正弦、余弦和正切值 例2.求下列各角的三个三角函数值 (1)0 (2)丌; (3)
①正弦值 y r 对于第一、二象限为_____（ y r 0, 0 ），对于第三、四象限为____（ y r 0, 0 ）； ②余弦值 x r 对于第一、四象限为_____（ x r 0, 0 ），对于第二、三象限为____（ x r 0, 0 ）； ③正切值 y x 对于第一、三象限为_______（ x y, 同号），对于第二、四象限为______（ x y, 异号）． 4．诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：__________________________ 即有：_________________________ _________________________ _________________________ 5．当角的终边上一点 P x y ( , ) 的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示 ——三角函数线。 设任意角 的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P ( , ) x y 过 P 作 x 轴的垂 线，垂足为 M ；过点 A(1, 0) 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与点 T . 由四个图看出： 当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM x MP y = = , ，于是有 sin 1 y y y MP r = = = =，_______ cos 1 x x x OM r = = = =，________ tan y MP AT AT x OM OA = = = =．_________ 我们就分别称有向线段 MP OM AT , , 为正弦线、余弦线、正切线。 （三）例题 例 1．已知角α的终边经过点 P(2, 3) − ，求α的三个函数制值。 变式训练 1：已知角 的终边过点 0P ( 3, 4) − − ，求角 的正弦、余弦和正切值. 例 2．求下列各角的三个三角函数值： （1） 0 ； （2） ； （3） 3 2 ． o x y M T P A o x y M P T A x y o M T P A x y o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ） （Ⅲ）
变式训练2:求的正弦、余弦和正切值 例3.已知角a的终边过点(a,2a)(a≠0),求a的三个三角函数值 变式训练3:求函数y= 的值域 例4..利用三角函数线比较下列各组数的大小 与tan (四 课后练习与提高 选择题 cos a 1.∝是第二象限角,P(x,5)为其终边上一点,且 则Sma的值为() √2 B 4 c OS-=-cOS 2.a是第二象限角,且 2,则2是( A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 T 0,则的取值范围是 5.函数y=Smx+nx的定义域为 6.Sn2cos3tan4的值为(正数,负数,0,不存在)
变式训练 2： 求 5 3 的正弦、余弦和正切值. 例 3．已知角α的终边过点 ( , 2 )( 0) a a a ，求α的三个三角函数值。 变式训练 3： 求函数 x x x x y tan tan cos cos = + 的值域 例 4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1. 3 2 sin 与 5 4 sin 2. tan 3 2 与 tan 5 4 （四）、小结 课后练习与提高 一、选择题 1. 是第二象限角，P（ x ， 5 ）为其终边上一点，且 x 4 2 cos = ，则 sin 的值为（ ） A. 4 10 B. 4 6 C. 4 2 D. 4 10 − 2. 是第二象限角，且 2 cos 2 cos = − ，则 2 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3、如果 , 4 2 那么下列各式中正确的是（ ） A. cos tan sin B. sin cos tan C. tan sin cos D. cos sin tan 二、填空题 4. 已知 的终边过（ 3a − 9， a + 2 ）且 cos 0，sin 0 ，则 的取值范围是 。 5. 函数 y = sin x + tan x 的定义域为 。 6. sin 2 cos3 tan 4的值为 （正数，负数，0，不存在）
、解答题 7已知角的终边上一点P的坐标为(~)(s冷 求COS和tana 参考答案 一、选择题 1.A 填空题 丌 x|x≠k丌+ 4.(-2,3 6.负数 三、解答题 sin c 7.解:由题意,得: √6 解得;y=土,所以=4 tan c= 3
三、解答题 7.已知角α的终边上一点 P 的坐标为（ − 3, y ）（ y 0 ），且 2 sin y 4 = ，求 cos tan 和