1.21《任意角的三角函数》导学案 【学习目标】 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符 号) (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法 (3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角a的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、 余弦线、正切线表示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【重点难点】 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号); 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号) 角函数线的正确理解. 【学法指导】 1.了解三角函数的两种定义方法 2.知道三角函数线的基本做法 【知识链接】 根据课本本节内容,完成预习目标,完成以下各个概念的填空 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 【学习过程】 (一)复习: 1、初中锐角的三角函数 2、在Rt△ABC中,设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为 (二)新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设a是一个任意角,a终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),它与原 点的距离为r(r=√xP+1y=√x2+y2>0),那么 (1)比值 叫做a的正弦,记作 即 (2)比值 叫做a的余弦,记作 (3)比值 叫做a的正切,记作 即 2.三角函数的定义域、值域
1.21《任意角的三角函数》导学案 【学习目标】 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符 号）； （2）理解任意角的三角函数不同的定义方法； （3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、 余弦线、正切线表示出来； （4）掌握并能初步运用公式一； （5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【重点难点】 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 三角函数线的正确理解. 【学法指导】 1.了解三角函数的两种定义方法； 2.知道三角函数线的基本做法. 【知识链接】： 根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空. 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 【学习过程】 （一）复习： 1、初中锐角的三角函数_____ _____ ___________________ _________________________ 2、在 Rt△ABC 中，设 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c，锐角 A 的正弦、余弦、正切依次为 _______ ________________________________________ （二）新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点 P （除了 原点）的坐标为 ( , ) x y ，它与原 点的距离为 2 2 2 2 r r x y x y ( | | | | 0) = + = + ，那么 （1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________ （2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________ （3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________； 2．三角函数的定义域、值域
义域 值域 y=sina y=cosa y=tan a 3.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知 ①正弦值对于第一、二象限为(y>0,r>0),对于第三、四象限为(y0) ②余弦值对于第一、四象限为(x>0.r>0),对于第二、三象限为(x0 ③正切值一对于第一、三象限为 (x,y同号),对于第二、四象限为 (x,y异号) 4.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道 即有: 5.当角的终边上一点P(x,y)的坐标满足 时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几 何表示一一三角函数线 设任意角a的顶点在原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点P(x,y)过P 作x轴的垂线,垂足为M;过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角a的终边或其反向延长线交与点T (Ⅱ) (I) (ID (Ⅳ) 由四个图看出
3．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值 y r 对于第一、二象限为_____（ y r 0, 0 ），对于第三、四象限为____（ y r 0, 0 ）； ②余弦值 x r 对于第一、四象限为_____（ x r 0, 0 ），对于第二、三象限为____（ x r 0, 0 ）； ③正切值 y x 对于第一、三象限为_______（ x y, 同号），对于第二、四象限为______（ x y, 异号）． 4．诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：__________________________ 即有：_______ __________________ _________________________ _________________________ 5．当角的终边上一点 P x y ( , ) 的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几 何表示——三角函数线。 设任意角 的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P ( , ) x y 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1,0) 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与点 T . 由四个图看出： 函 数 定 义 域 值 域 y = sin y = cos y = tan [ o x y M T P A o x y M P T A x y o M T P A x y o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ） （Ⅲ）
当角a的终边不在坐标轴上时,有向线段OM=x,MP=y,于是有 sin d y=y=y= Cosa= tana=y- MP AT x OM OA 我们就分别称有向线段MPOM,AT为正弦线、余弦线、正切线。 三)例题 例1.已知角a的终边经过点P(2,-3),求a的三个函数制值 变式训练1:已知角a的终边过点P(-3,-4),求角a的正弦、余弦和正切值 例2.求下列各角的三个三角函数值: (1)0 (3) 变式训练2:求3的正弦、余弦和正切值 例3.已知角a的终边过点(a,2a)(a≠0),求a的三个三角函数值 cos x tanx 变式训练3:求函数y= cos tan x 的值域 例4..利用三角函数线比较下列各组数的大小 2 4 2.tan-与tan
当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM x MP y = = , ，于是有 sin 1 y y y MP r = = = =，_______ cos 1 x x x OM r = = = =，________ tan y MP AT AT x OM OA = = = =．_________ 我们就分别称有向线段 MP OM AT , , 为正弦线、余弦线、正切线。 （三）例题 例 1．已知角α的终边经过点 P(2, 3) − ，求α的三个函数制值。 变式训练 1：已知角 的终边过点 0P ( 3, 4) − − ，求角 的正弦、余弦和正切值. 例 2．求下列各角的三个三角函数值： （1） 0 ； （2） ； （3） 3 2 ． 变式训练 2：求 5 3 的正弦、余弦和正切值. 例 3．已知角α的终边过点 ( ,2 )( 0) a a a ，求α的三个三角函数值。 变式训练 3： 求函数 x x x x y tan tan cos cos = + 的值域 例 4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1. 3 2 sin 与 5 4 sin 2. tan 3 2 与 tan 5 4
【学习反思】 【拓展提升】 、选择题 √2 cos a 1.a是第二象限角,P(x,√5)为其终边上一点,且 4,则Sna的值为( 10 cOS a 2.是第二象限角,且 ,则2是() A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 0,则a的取值范围是 5.函数y=Smx+anx的定义域为 6.sn2·cos3tan4的值为 (正数,负数,0,不存在) 、解答题 7已知角a的终边上一点P的坐标为(-√3,y)(y≠0),且 sina=-y 求ca和tana 参考答案 选择题: 、填空题 x|x≠k丌+,k∈2 6.负数 三、解答题 sin C= 7.解:由题意,得: y+y 解得:y=±5,所C0a=√6 ta
【学习反思】 【拓展提升】 一、选择题 1. 是第二象限角，P（ x ， 5 ）为其终边上一点，且 x 4 2 cos = ，则 sin 的值为（ ） A. 4 10 B. 4 6 C. 4 2 D. 4 10 − 2. 是第二象限角，且 2 cos 2 cos = − ，则 2 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3、如果 , 4 2 那么下列各式中正确的是（ ） A. cos tan sin B. sin cos tan C. tan sin cos D. cos sin tan 二、填空题 4. 已知 的终边过（ 3a − 9， a + 2 ）且 cos 0，sin 0 ，则 的取值范围是 。 5. 函数 y = sin x + tan x 的定义域为 。 6. sin 2 cos3 tan 4 的值为 （正数，负数，0，不存在） 三、解答题 7.已知角α的终边上一点 P 的坐标为（ − 3, y ）（ y 0 ），且 2 sin y 4 = ，求 cos tan 和