第一諜时任意角的三角函数的定义 知识与技能 1.掌握任意角的三角函数的定义 2.已知角a终边上一点,会求角a的各三角函数值 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一) 过程与方法 1理解并掌握任意角的三角函数的定义 2树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 3通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分析、探究 解决问题的能力 情感态度与价值观: 1使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函 数值)的一种联系方式 2学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神 教学重点:三角函数的定义;三角函数的定义域及其确定方法:三角函数值在各个象限内的 符号以及诱导公式 教学难点:任意角三角函数的定义 复习引入 思考:我们已经学过锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的 函数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? ∠A邻边 ∠A对边 图1 -第1页(共6页)
——————————————第 1 页 （共 6页）—————————————— 第一课时 任意角的三角函数的定义 知识与技能： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 过程与方法： 1 理解并掌握任意角的三角函数的定义； 2 树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3 通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、 解决问题的能力。 情感态度与价值观： 1 使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函 数值）的一种联系方式 2 学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的 符号以及诱导公式一 教学难点：任意角三角函数的定义． 一．复习引入 思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的 函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？
结论:在Rt△ABC中,设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦, 余弦,正切依次为:sinA=-,cosA=-,lmnA= 锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数 思考1:角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角a的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象 限在a的终边上任取一点Panb),它与原点的距离r=√a+b2>0.过P作x轴的垂线, 垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b 则 sinas mp b OPr OM a cosa tan a= MP=b OM a 思考2:对于确定的角a,这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变 呢?为什么? 根据相似三角形的知识,对于确定的角a,三个比值不以点P在a 的终边上 的位置的改变而改变大小 我们可以将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上,这样就 P(a, b) 可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数: MP OM MP sina =b: cosa a: tan d= OM a 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆 称为单位 上述P点就是a的终边与单位圆的交点,锐角a的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示 二新课讲授 1.任意角的三角函数的定义 结合上述锐角a的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数 第2页(共6页)
——————————————第 2 页 （共 6页）—————————————— O M P(a,b) Y x 1 O M A(1,0) P(a,b) Y x 结论：在 Rt△ABC 中，设 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c，锐角 A 的正弦， 余弦，正切依次为： , , a b a sinA cosA tanA c c b = = = 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数 思考 1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象 限.在 的终边上任取一点 P a b ( , ) ,它与原点的距离 2 2 r a b = + 0 .过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线段 MP 的长度为 b . 则 sin MP b OP r = = ; cos OM a OP r = = ; tan MP b OM a = = . 思考 2：对于确定的角 ，这三个比值是否会随点 P 在 的终边上的位置的改变而改变 呢？为什么? 根据相似三角形的知识，对于确定的角 ，三个比值不以点 P 在 的终边上 的位置的改变而改变大小. 我们可以将点 P 取在使线段 OP 的长 r =1 的特殊位置上，这样就 可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： sin MP b OP = = ; cos OM a OP = = ; tan MP b OM a = = . 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆 称为单位 圆. 上述 P 点就是 的终边与单位圆的交点, 锐角 的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 二新课讲授 1.任意角的三角函数的定义 结合上述锐角 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数
如图,设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 )y叫做a的正弦(sine),记做sina, 即sina=y; (2)x叫做a的余弦( cosine),记做cosa, 即cosa=x (3)2叫做a的正切( tangent),记做tana, 即tana=(x≠0) 思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点函数值是什么? 说明:(1)当a=x+kz(k∈z)时,a的终边在y轴上,终边上任意一点的横坐标x都等于 0,所以tana=无意义除此情况外,对于确定的值a,上述三各值都是唯一确定的实数 (2)当α是锐角时,此定义与初中定义相同:当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为 既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点P(x,y),从而就必然能够最终算出三 角函数值. (3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 我们将这种函数统称为三角函数 2.利用定义求角的三角函数值 例1.求一的正弦,余弦和正切值 解:在直角坐标系中,作∠AOB=5r ∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为 所 以 5丌 sin 思考:如果将一变为 例2.已知角a的终边过点P(-3,-4),求角a的正弦,余弦和正切值 思考:如何根据例题1解答 第3页(共6页)
——————————————第 3 页 （共 6页）—————————————— O A(1,0) P(x,y) Y x 5 3 A(1,0) O B Y x 如图,设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P x y ( , ) ,那么: (1) y 叫做 的正弦(sine),记做 sin , 即 sin = y ； （2） x 叫做 的余弦(cossine),记做 cos , 即 cos = x ； （3） y x 叫做 的正切(tangent),记做 tan , 即 tan ( 0) y x x = . 思考 3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么? 说明:(1)当 ( ) 2 kkZ = + 时， 的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ，所以 tan y x = 无意义,除此情况外，对于确定的值 ，上述三各值都是唯一确定的实数. (2)当 是锐角时，此定义与初中定义相同；当 不是锐角时，也能够找出三角函数，因为， 既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点 P x y ( , ) ，从而就必然能够最终算出三 角函数值. (3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数， 我们将这种函数统称为三角函数. 2.利用定义求角的三角函数值 例 1.求 5 3 的正弦,余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作 5 3 AOB = , AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 1 3 ( , ) 2 2 − ，所 以 5 3 5 1 5 sin ,cos , tan 3 3 2 3 2 3 = − = = − 思考：如果将 5 3 变为 7 6 呢？ 例 2．已知角 的终边过点 0P ( 3, 4) − − ，求角 的正弦,余弦和正切值. 思考：如何根据例题 1 解答
思考:一般的,设角a终边上任意一点的坐标为(xy),它与原点的距离为r则 sina=,cosa=x,tana=y,你能自己给出证明吗 思考如果将题目中的坐标改为(-3a,-4a),题目又应该怎么做? 3.三角函数的定义域和函数值符号 探究 请根据上述任意角的三角函数定义,先将正弦,余弦和正切函数在弧度制下的定义域填 入下表,再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表 函数定义域 y=cos a y=tana{ala≠+kx,k∈Z} sInm, csco 例3,求证:当下列不等式组成立时,角a为第三象限角,反之也对 ∫sinao 证明:如果sina0,所以角a的终边可能位于第一或第三象限 所以,角a的终边只能位于第三象限,时第三象限角 反过来,请同学们自己证明 第4页(共6页)
——————————————第 4 页 （共 6页）—————————————— 思考：一般的，设角 a 终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为 r,则 sin ,cos , tan y x y a a a r r x = = = ，你能自己给出证明吗？ 思考 如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？ 3．三角函数的定义域和函数值符号 探究： 请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填 入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表 函 数 定 义 域 y = sin R y = cos R y = tan { | , } 2 kkZ + 例 3, 求证：当下列不等式组成立时，角 a 为第三象限角，反之也对 sin 0 tan 0 a a 证明：如果 sin 0 a 成立，那么角 a 的终边可能位于第三或第四象限，也可能与 y 轴的非负 半轴重合;如果 tan 0 a ，所以角 a 的终边可能位于第一或第三象限 所以，角 a 的终边只能位于第三象限，时第三象限角 反过来，请同学们自己证明
变式训练(一)判断下列各式的符号1.sin340·c0s265°2.sin4tan(-=) (二)求函数y=√Sina+tana的定义域 4诱导公式 由三角函数的定义,可以知道,终边相同的角的同一三角函数的值相等,由此得到一组 公式sin(a+k·2r)= SIna cos(a+k·2r)= cos a tan(a+k·2)=tana 利用公式一,可以把任意角的三角函数值,转化为求0到2丌的三角函数值 例4确定下列三角函数值的符号: (1)cos250° (2) sin(- (3)tan(-672) (4) tan 37 15丌 变式训练(-)求下列各式的值1.cos-3+tan( 2.sin420cos750+sin(-690)cos(-660) 三归纳小结: 1.任意角的三角函数的定义 2.三角函数的定义域及三角函数值的符号 3.诱导公式 四布置作业 课本习题1.2A组第3,7,9题 五课后反思 六板书设计 第5页(共6页)
——————————————第 5 页 （共 6页）—————————————— 变式训练（一）判断下列各式的符号 1. 0 0 sin 340 cos 265 2. 23 sin 4 tan( ) 4 − （二）求函数 y a a = + sin tan 的定义域 4.诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组 公式 sin( 2 ) sin a k a + = cos( 2 ) cos a k a + = tan( 2 ) tan a k a + = 利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求 0 到 2 的三角函数值 例 4.确定下列三角函数值的符号： （1） 0 cos 250 （2） sin( ) 4 − （3） 0 tan( 672 ) − （4） tan3 变式训练（一）求下列各式的值 1. 25 15 cos tan( ) 3 4 + − 2. 0 0 0 0 sin 420 cos750 sin( 690 )cos( 660 ) + − − 三.归纳小结： 1. 任意角的三角函数的定义 2. 三角函数的定义域及三角函数值的符号 3. 诱导公式 四 布置作业 课本习题 1.2A 组第 3,7,9 题 五 课后反思 六 板书设计
1.2任意角的三2.利用定义求角的三角函数3三角函数的定义域和函4诱导公式 角函数的定义值 数值符号 例4确定下列三角函数 复习引入 例3,求证:当下列不值的符号 例1.求一的正弦,余弦和正 二新课讲授 等式组成立时,角a为(1)cos250 1.任意角的三角函切值 第三象限角,反之也 数的定义 对 (1)锐角三角函数坐例2.已知角a的终边过点 (3)tan(-672°) 标化 P(-3-4),求角a的正弦,sina0 课堂小结 数的定义 四布置作业 第6页(共6页)
——————————————第 6 页 （共 6页）—————————————— 1.2. 任意 角 的三 角函数的定义 一 复习引入 二 新课讲授 1.任意角的三 角函 数的定义 (1)锐角三角函数坐 标化 （2）任意角三角函 数的定义 2.利用定义 求角的 三角函数 值 例 1.求 5 3 的正弦,余弦和正 切值 例 2．已知角 的终边过点 0P ( 3, 4) − − ，求角 的正弦, 余弦和正切值. 3．三角函数的定义域和函 数值符号 例 3, 求证：当下列不 等式组成立时，角 a 为 第三象限角，反之也 对 sin 0 tan 0 a a 4.诱导公式一 例 4.确定下列三角函数 值的符号： （ 1 ） 0 cos 250 （ 2 ） sin( ) 4 − （ 3 ） 0 tan( 672 ) − （4） tan3 三.课堂小结 四 布置作业