1.2.1任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
1复习引入 我们已经学习过锐角的三角函数,如图: C B BC AB BC sin a COS A tan a Ac Ac AB 你能在直角坐标条中亲表示锐角三角函教吗?
1.复习引入 我们已经学习过锐角的三角函数，如图： 你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗? sin BC A AC = cos AB A AC = tan BC A AB = A B C
2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数 设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半 轴重合那么它的终边在第一象限 a的终边上任意一点P的坐标为ab),它与原点的 距离是r=√a2+b2>0 过P作x轴的垂线,垂足为M,则 线段OM的长度为a P(a 线段MP的长度为b 0 Mx
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半 轴重合,那么它的终边在第一象限. α的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的 距离是_______________ 过P作x轴的垂线,垂足为M,则 线段OM的长度为___ 线段MP的长度为___ 2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数 2 2 r a b = + 0 M y O x α P(a,b) a b
sInd= cOSC tan d= 将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上 MP sIn a= OP 以原点O为 OM 圆心,以单 P(a, b) C03a=OP=a位长度为 M∥Pb半径的圆 M(1,0 tan d= OM 称为单位
M y O x α P(a,b) sin ,cos , tan MP b OM a MP b OP r OP r OM a = = = = = = P(a,b) M A(1,0) x y α 1 将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上 sin , cos , tan MP b OP OM a OP MP b OM a = = = = = = 以原点O为 圆 心, 以 单 位长度为 半径的圆 称 为 单 位 圆
3利用单位圆定义任意角的三角函数 设Q是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(xy) 1)y叫儆的正孩,记作Sn, sinay (2)x叫做的佘孩,记作C0sU, 即 COSOFX (3)叫做正切,记作tam, A(1,0 即 tan a x≠0 a≠+kx(k∈Z 2
P(x,y) A(1,0) x y α 3.利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y) (1) y叫做α的正弦,记作sinα, 即 sinα=y (2) x叫做α的余弦,记作cosα, 即 cosα=x y x (3) 叫做α正切,记作tanα, 即 tan 0 ( ) y x x = ( ) 2 k k Z +
4三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数 弧度制下角的集合与实数集R之间建立 了—对应关系 三角函数可以看成自变量为实数的函数
4.三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数 弧度制下,角的集合与实数集R之间建立 了一一对应关系 三角函数可以看成自变量为实数的函数
5典型例题 例1求的正弦、余弦和正切值 解:在直角坐标系中作出∠AOB=3z 5丌 SIn 、V3 5丌1 5丌 COS 32 5丌 tan B 22 练
5 1 . 3 例 求 的正弦、余弦和正切值 y x B A 5 3 O 1 3 , 2 2 − 5 sin 3 3 2 = − 5 1 cos 3 2 = 3 5 tan 3 = − 5 = 3 AOB 解: 在直角坐标系中,作出 5.典型例题 练
例2已知角的终边经过点P(3,4,求角的正弦、 余弦和正切值 解 :OP=√(-3)+(-4)=5 设角的终边与单位圆交于点P(x)分别过点P P作x轴的垂线MP、MP0则 MoP=4, MP=-yJOM=3,OM=-x y-MPl SIn a=y=i= 10P Mo/M 010 Op PW(-3,-4
例2 已知角α的终边经过点P0 (-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值 解: ( ) ( ) 2 2 OP0 = − + − = 3 4 5 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、 P0作x轴的垂线MP、M0P0 ,则 0 0 0 M P MP y OM OM x = = − = = − 4, , 3, y O x M0 M P0 (-3,-4) P(x,y) 0 0 0 sin 1 4 ; 5 y MP y OP M P OP − = = = = − = −
-OM OMoI coSC=x三 10P OP 35 0 tan d= x cosa 3
0 0 3 cos ; 1 5 x OM OM x OP OP − = = = = − = − sin 4 tan cos 3 y x = = =
知道终边上任意一点P(xy),就可以求出角 a的三角函数值 r=√x2+y2 P(,) MP x slnc三 OP r M OM y cOSa OP r tan d MP y OM x 练
知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 α的三角函数值. y O x M P(x,y) α sin , MP x OP r = = tan MP y OM x = = cos , OM y OP r = = 2 2 r x y = + 练