第一章三角函数 111任意角 【学习目标】 1.了解任意角的概念:正确理解正角、零角、负角的概念 2.正确理解终边相同的角的概念,并能判断其为第几象限角,熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 复习引入 问题1:回忆初中我们是如何定义一个角的? 所学的角的范围是什么? 问题2:在体操、跳水中,有“转体720”这样的动作名词,这里的“720”,怎么刻画? 、建构数学 1.角的概念 角可以看成平面内一条绕着它的从一个位置到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的 射线旋转的开始位置和终止位置称为角的 和 2.角的分类 按 方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做 如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个 它的 和 重合。这 样,我们就把角的概念推广到了 ,包括 3.终边相同的角 所有与角a终边相同的角,连同角a在内,可构成一个,即任一与角a终边相同的角 都可以表示成 4.象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便,使角的 重合,角的 重合。那么,角的 除端点外)落在第几象限,我 们就说这个角是 如果角的终边落在坐标轴上,则称这个角为
1 第一章 三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题 1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题 2：在体操、跳水中，有“转体 0 720 ”这样的动作名词，这里的“ 0 720 ”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_________重合。这 样，我们就把角的概念推广到了___________，包括_______、________和________。 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角， 都可以表示成 ______. 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的 ___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我 们就说这个角是__________________。 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________
象限角的集合 (1)第一象限角的集合: (2)第二象限角的集合 (3)第三象限角的集合: (4)第四象限角的集合 轴线角的集合 (1)终边在x轴正半轴的角的集合: (2)终边在x轴负半轴的角的集合 (3)终边在y轴正半轴的角的集合 (4)终边在y轴负半轴的角的集合: (5)终边在x轴上的角的集合: (6)终边在y轴上的角的集合: (7)终边在坐标轴上的角的集合 三、课前练习 在直角坐标系中画出下列各角,并说出这个角是第几象限角 30°1500-600390-3900,-120° 【典型例题】 例1(1)钟表经过10分钟,时针和分针分别转了多少度? (2)若将钟表拨慢了10分钟,则时针和分针分别转了多少度?
2 象限角的集合 （1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ 轴线角的集合 （1）终边在 x 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在 x 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在 y 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在 y 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在 x 轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在 y 轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________ 三、课前练习 在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。 0 0 0 0 0 0 30 ,150 , 60 ,390 , 390 , 120 − − − 【典型例题】 例 1 （1）钟表经过 10 分钟，时针和分针分别转了多少度？ （2）若将钟表拨慢了 10 分钟，则时针和分针分别转了多少度？
例2在0到360°的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判断它们是第几象限角 (1)650 (2)-15 (3)-240 (4)-990°15 例3已知a与2400角的终边相同,判断是第几象限角。 例4写出终边落在第一、三象限的角的集合。 例5写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界) (1) 【拓展延伸】
3 例 2 在 0 0 到 0 360 的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。 （1） 0 650 （2） 0 −150 （3） 0 − 240 （4） 0 ' − 990 15 例 3 已知 0 与240 角的终边相同，判断 2 是第几象限角。 例 4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。 例 5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界） （1） （2） （3） 【拓展延伸】
已知角α是第二象限角,试判断一为第几象限角? 【巩固练习】 1、设a=-60°,则与角a终边相同的角的集合可以表示为 2、把下列各角化成a+k·360(0≤a<360°,k∈Z)的形式,并指出它们是第几象限的角。 (1)1200 (2)-55 (3)1563 (4)-1590° 3、终边在y轴上的角的集合 终边在直线y=x上的角的集合 终边在四个象限角平分线上的角的集合 4、终边在30°角终边的反向延长线上的角的集合 5、若角a的终边与45°角的终边关于原点对称,则a 若角a,β的终边关于 直线x+y=0对称,且a=-60°,则B 6、集合A={a|a=k.90-36,k∈Z}, B={|-1800<B<180°},则A∩B ∝是第一象限角,则a的终边在 【课后训练】 1、分针走10分钟所转过的角度为 针转过的角度为 2、若900<B<a<135°,则a-B的范围是 ,a+B的范围是
4 已知角 是第二象限角，试判断 2 为第几象限角？ 【巩固练习】 1、设 0 = −60 ，则与角 终边相同的角的集合可以表示为___________________. 2、把下列各角化成 360 (0 360 , ) 0 0 0 + k k Z 的形式，并指出它们是第几象限的角。 （1） 0 1200 （2） 0 − 55 （3） 0 1563 （4） 0 −1590 3、终边在 y 轴上的角的集合_______________________________;终边在直线 y = x 上的角的集合 ______________________;终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________. 4、 终边在 0 30 角终边的反向延长线上的角的集合___________________________. 5、 若角 的终边与 0 45 角的终边关于原点对称，则 = ___________ ；若角 ， 的终边关于 直线 x + y = 0 对称，且 0 = −60 ，则 = ____________ . 6、集合 { | 90 36 , } 0 0 A = = k − k Z ， { | 180 180 } 0 0 B = − ，则 A B = _________ . 7、若 2 是第一象限角，则 的终边在_______________________________ 【课后训练】 1、 分针走 10 分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________. 2、若 0 0 90 135 ，则 − 的范围是_________， + 的范围是________
3、(1)与-35°30终边相同的最小正角是 (2)与715°终边相同的最大负角是 (3)与1000终边相同且绝对值最小的角是 (4)与-1778°终边相同且绝对值最小的角是 4、与-15终边相同的在-1080≤B<-3600之间的角B为 5、已知角a,B的终边相同,则a-B的终边在 6、若B是第四象限角,则1800-B是第象限角;180+B是第象限角 7、若集合A={a|k·1800+30<a<k1800+900,k∈Z}, 集合B={B|k.360-45°<B<k·360+45,k∈2}, 则A∩B= 8、已知集合M={锐角},N=小于90的角},P={第一象限的角,下列说法:(1)PcN, (2)N∩P=M,(3)MsP,(4)(M∪N)P其中正确的是 9、角a小于180°而大于-180°,它的7倍角的终边又与自身终边重合,求角a 10、已知a与60°角的终边相同,分别判断,2a是第几象限角 【课堂小结】
5 3、（1）与 35 30' 0 − 终边相同的最小正角是________; （2）与 0 715 终边相同的最大负角是_______________; （3）与 0 1000 终边相同且绝对值最小的角是__________; （4）与 0 −1778 终边相同且绝对值最小的角是___________. 4、与 0 −15 终边相同的在 0 0 −1080 −360 之间的角 为_______________________. 5、已知角 , 的终边相同，则 − 的终边在___________________________. 6、若 是第四象限角，则 − 0 180 是第_____象限角； + 0 180 是第____象限角。 7、若集合 { | 180 30 180 90 , } 0 0 0 0 A = k + k + k Z ， 集合 { | 360 45 360 45 , } 0 0 0 0 B = k − k + k Z ， 则 A B = _____________. 8、已知集合 M ={锐角}， { 90 } N = 小于 0的角 ，P ={第一象限的角} ，下列说法：（1） P N ， （2） N P = M ，（3） M P ，（4） (M N) P 其中正确的是____________. 9、角 小于 0 180 而大于 0 −180 ，它的 7 倍角的终边又与自身终边重合，求角 。 10、已知 与 0 60 角的终边相同，分别判断 2 ， 2 是第几象限角。 【课堂小结】
【布置作业】 112弧度制 【学习目标】 3.理解弧度制的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数 4.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式,会利用弧度制解决某些简单的实际问题 5.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系 【学习重点、难点】 弧度的概念,弧度与角度换算 【自主学习】 、复习引入 请同学们回忆一下初中所学的1的角是如何定义的? 、建构数学 弧度制 角还可以用为单位进行度量 叫做1弧度的角,用符号表示,读作 2.弧度数:正角的弧度数为 负角的弧度数为,零角的弧度数为如果半 径为r的圆心角所对的弧的长为l,那么,角a的弧度数的绝对值是 。这里,a的正 负由 决定 3.角度制与弧度制相互换算 4.角的概念推广后,在弧度制下, 之间建立起一一对应的关系 每个角都有唯一的一个实数(即 与它对应;反过来,每一个实数也都有 )与它对应 5.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式: 角a的弧度数的绝对值|a|_ (l为弧长,r为半径)
6 【布置作业】 1.1.2 弧度制 【学习目标】 3． 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数 4． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 5． 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系 【学习重点、难点】 弧度的概念，弧度与角度换算 【自主学习】 一、复习引入 请同学们回忆一下初中所学的 0 1 的角是如何定义的？ 二、建构数学 1．弧度制 角还可以用__________为单位进行度量， ___________________________________叫做 1 弧度的角，用符号_____表示，读作________。 2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____如果半 径为 r 的圆心角所对的弧的长为 l ，那么，角 的弧度数的绝对值是_________。 这里， 的正 负由____________________________________决定。 3．角度制与弧度制相互换算 360°＝_________ rad 180°＝_________ rad 1°＝_________ rad 1 rad ＝_________°≈ _________° 4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的关系: 每个角都有唯一的一个实数(即_______________)与它对应;反过来,每一个实数也都有 ________________(即_______________)与它对应。 5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： 角 的弧度数的绝对值 | |______________ （ l 为弧长， r 为半径）
弧长公式: 扇形面积公式 【典型例题】 例1.把下列各角从弧度化为度 (1) (2)z (3)一 (4)2 (5)3.5 6 例2.把下列各角从度化为弧度 (1)-750°(2)-1440°(3)67030(4)2520(5)11°15 例3.(1)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rd,求该扇形的面积 (2)已知扇形周长为4cm,求扇形面积的最大值,并求此时圆心角的弧度数。 例4.已知一扇形周长为C(C>0),当扇形圆心角为何值时,它的面积最大?并求出最大面积
7 弧长公式：____________________________ 扇形面积公式：____________________________ 【典型例题】 例 1．把下列各角从弧度化为度。 （1） 5 3 （2） 12 （3） 6 5 − （4） 2 （5） 3.5 例 2．把下列各角从度化为弧度。 （1） 0 − 750 （2） 0 −1440 （3） 0 ' 67 30 （4） 0 252 （5） 11 15' 0 例 3．（1）已知扇形的周长为 8cm ，圆心角为 2rad ，求该扇形的面积。 （2）已知扇形周长为 4cm ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。 例 4．已知一扇形周长为 C(C 0) ，当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积
【巩固练习】 特殊角的度数与弧度数的对应 度数 弧度数 2、若角α=3,则角a的终边在第象限;若a=-6,则角a的终边在第象限。 3、将下列各角化成a+2kx,(0≤a<2n),k∈Z的形式,并指出第几象限角。 (1)a=19x (2)a=-3150(3)a= (4)a= 4、圆的半径为10,则2的圆心角所对的弧长为;扇形的面积为 5、用弧度制表示下列角终边的集合 (1)轴线角(2)角平分线上的角(3)直线y=√3x上的角
8 【巩固练习】 1、特殊角的度数与弧度数的对应。 度数 弧度数 2、若角 = 3 ，则角 的终边在第____象限；若 = −6 ，则角 的终边在第___象限。 3、将下列各角化成 + 2k,(0 2 )， k Z 的形式，并指出第几象限角。 （1） 3 19 = （2） 0 = −315 （3） 3 22 = （4） 2 23 = 4、圆的半径为 10 ，则 2 的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________。 5、用弧度制表示下列角终边的集合。 （1）轴线角 （2）角平分线上的角 （3）直线 y = 3x 上的角
6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,那么该圆弧的圆心角等于 【课堂小结】 【布置作业】
9 6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____。 【课堂小结】 【布置作业】