必修4模块第二单元教学设计方案 第九学时~第十学时 2.4.1向量在平面几何中的应用 教学目标 1.知识与技能: 运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析几何中 直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题 2.过程与方法: 通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法—向量法和坐标法 3.情感、态度与价值观: 通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用,增强学生的积极主动的探 究意识,培养创新精神。 二、教学重点难点 理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题 难点:选择适当的方法,将几何问题转化为向量问题加以解决. 三、教学方法 本小节主要是例题教学,要让学生体会思路的形成过程,体会数学思想方法的应用。教 学中,教师创设问题情境,引导学生发现解题方法,展示思路的形成过程,总结解题规律。 指导学生搞好解题后的反思,从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力 四、教学内容安排 教学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 课前复习任务(由学生总结|讨论: 让学生回 复成书面材料) (1)若0为△ABC重心,则顾学过的知识 (1)向量的线性运算是怎样aa+OB+ac=0 有力于本节课 的 (2)水渠横断面是四边形的进行 (2)平面向量共线的含义及 条件是什么? ABCD. DO AB,且 3)平面向量的基本定理及 准 向量的坐标运算有哪些? AD|=|BC|,则这个四边形 (4)平面向量的数量积中有为等腰梯形类比几何元素之 哪些主要内容? 间的关系,你会想到向量运算 备 之间都有什么关系? 1/6
1 / 6 必修 4 模块第二单元教学设计方案 第九学时～第十学时 2.4.1 向量在平面几何中的应用 一、教学目标 1．知识与技能： 运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中 直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题 2．过程与方法： 通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法 3．情感、态度与价值观： 通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探 究意识，培养创新精神。 二、教学重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 三、教学方法 本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教 学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。 指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。 四、教学内容安排： 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 复 习 准 备 课前复习任务（由学生总结 成书面材料） （1）向量的线性运算是怎样 的? （2）平面向量共线的含义及 条件是什么？ （3）平面向量的基本定理及 向量的坐标运算有哪些？ （4）平面向量的数量积中有 哪些主要内容？ 讨论： （1）若 O 为 ABC 重心,则 OA + OB + OC = 0 （2）水渠横断面是四边形 ABCD , DC = 1 2 AB , 且 | AD |= | BC |,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之 间的关系,你会想到向量运算 之间都有什么关系? 让学生回 顾学过的知识 有力于本节课 的进行
平移、全等、相似、长度、「讨论(让学生回顾学过的知 让学生掌 夹角等几何 识,有利于本课的顺利进行:握用向量方法 性质可以由 (1)向量运算与几何中的结解平面几何问 向量线性运 新算及数量积 论”若a=b,则dHb1,且题的步骤: 建立平面几何 表示出来:例如,向量数量ab所在直线平行或重合”相与向量的联系 积对应着几何中的长度如类比,你有什么体会?(2)用向量表示问 图:平行四边行ABCD中,由学生举出几个具有线性运题中涉及的几 课设AB=a,AD=b,则算的几何实例(3)向量平行、何元素,将平面 AC=AB+BC=a+b(平 垂直的判定方法 几何问题转化 为向量 DB=AB-AD=a-b 通过向量运算 研究几何运算 =ADP(长 之间的关系,如 入|度).向量AD,AB的夹角 距离、夹角等 为∠DAB 把运算结果 翻译"成几何 关系 例1:如图2-55,已知平行问题1证明AECF是平行四 通过分步 四边形ABCD中,E、F在对边形的方法有什么? 设问,引导学生 角线BD上,并且BE=FD,求学生思考,回答 展开思维过程, 证AECF是平行四边形。 问题2选择合适的方法,问让学生体会分 如何转化为向量条件表示?析、解决问题的 应小结:本题的关键选择适当|学生思考回答,完成证明(选 方法 名学生板书) 的基底,把四边形AECF的间题3由学生总结解题方法 组对边表示出来 例2:求证平行四边形对角问题4如何证明? 本题所用 线互相平分 学生思考,回答 方法比较特殊 老师点评学生思路:要证明两学生不易想到, 举 条对角线互相平分,可以证明教师在分析学 小结:法一注重向量的坐标AM=MC,BM=MD,或生提供的思路 运算和解析法的运用:法 的基础上,点出 选取基底AB和AD,设未AM=AC,BM=BD 方法,又不直接 知数,列向量方程,解方程前一种方法可以建立平面直学生再去探索, 说怎么做,引导 组的待定系数得结论,体现 了方程思想的运用。 角坐标系,将向量用坐标表示让学生体验思 后即可:;后一种方法就是课本路的形成过程, 提供的方法 学会分析问题 师生共同讨论交流,由教师给的方法 出证明过程 2/6
2 / 6 新 课 引 入 平移、全等、相似、长度、 夹角等几何 性质可以由 向量线性运 算及数量积 表示出来： 例如，向量数量 积对应着几何中的长度.如 图： 平行四边行 ABCD 中， 设 AB＝ a , AD ＝b ，则 AC AB BC a b = + = + （平 移）， DB AB AD a b = − = − ， 2 2 2 AD b AD = =| | （长 度）．向量 AD ， AB 的夹角 为 DAB 讨论（让学生回顾学过的知 识，有利于本课的顺利进行）： （１）向量运算与几何中的结 论＂若 a b = ，则 | | | | a b = ，且 ab, 所在直线平行或重合＂相 类比，你有什么体会？（２） 由学生举出几个具有线性运 算的几何实例．（3）向量平行、 垂直的判定方法 让学生掌 握用向量方法 解平面几何问 题的步骤： 建立平面几何 与向量的联系， 用向量表示问 题中涉及的几 何元素，将平面 几何问题转化 为向量． 通过向量运算 研究几何运算 之间的关系，如 距离、夹角等． 把运算结果＂ 翻译＂成几何 关系． 应 用 举 例 例 1：如图 2-55，已知平行 四边形 ABCD 中，E、F 在对 角线 BD 上，并且 BE=FD，求 证 AECF 是平行四边形。 小结：本题的关键选择适当 的基底，把四边形 AECF 的一 组对边表示出来 问题 1 证明 AECF 是平行四 边形的方法有什么？ 学生思考，回答 问题 2 选择合适的方法，问 如何转化为向量条件表示？ 学生思考，回答，完成证明（选 一名学生板书） 问题 3 由学生总结解题方法 通过分步 设问，引导学生 展开思维过程， 让学生体会分 析、解决问题的 方法 例 2：求证平行四边形对角 线互相平分． 小结：法一注重向量的坐标 运算和解析法的运用：法二 选取基底 AB 和 AD ，设未 知数，列向量方程，解方程 组的待定系数得结论，体现 了方程思想的运用。 问题 4 如何证明？ 学生思考，回答 老师点评学生思路：要证明两 条对角线互相平分，可以证明 AM MC BM MD = = , ，或 1 1 , 2 2 AM AC BM BD = = 。 前一种方法可以建立平面直 角坐标系，将向量用坐标表示 后即可；后一种方法就是课本 提供的方法。 师生共同讨论交流，由教师给 出证明过程 本题所用 方法比较特殊， 学生不易想到， 教师在分析学 生提供的思路 的基础上，点出 方法，又不直接 说怎么做，引导 学生再去探索， 让学生体验思 路的形成过程， 学会分析问题 的方法
例3:已知正方形ABCD(图问题5如何证明?能否用坐 本题用坐 2-57),P为对角线AC上任标法完成?学生思考,回答|标法。尤其是第 意一点,PE⊥AB于点E, 老师点评学生思二种方法用向 PF⊥BC于点F,连接DP,路:要证明两条直线(段)互量坐标法证明 EF。求证DP⊥EF 相垂直,可以证明比较简单,可见 knkm=-1,也可以证明两选定方法是关 向量数量积为0.前一种方法键:,学生可从中 小结:结合图形特点,选定可以建立平面直角坐标系,点体会,形成思维 正交基底,用坐标表示向量|用坐标表示用斜率公式即可:习惯 进行运算解决几何问题,体后一种方法就是课本提供的 现几何问题代数化的特点,方法,将向量用坐标表示后进 淋漓尽致。向量作为桥梁工 师生共同讨论交流,由教 具使得运算简练标致,又体师指导学生给出证明过程 现了数学的美。有关长方形 正方形、直角三角形等平行、 垂直等问题常用此法。 练习1.求证:平行四边形由向量的数量积的性质,线段进一步巩固所 课两条对角线的平方和等于四的长的平方可看做相应向量学知识,归纳方 条边的平方和 自身的内积 练习2.如图,在平行四边要证四边形OBCA为矩形,只 练|形oBc4中,O1=a,需证一角为直角 OB=6, a+bHa-bl 习 求证四边形OBCA为矩形 本节主要研究了用向量知识师生交流共同完成 帮助学生 归纳‖解决平面几何问题:掌握向 总结知识,归纳 小结|量法和坐标法,以及用向量 方法 解决平面几何问题的步骤 布置条习小组、2B组L学生独立完成 巩固所学 方法,规范解题 作业」2 步骤 2.4.2向量在物理中的应用举例 教学目标 1.知识与技能: 运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决简单的物理问题. 2.过程与方法 通过应用举例,让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实 际问题,培养学生的探究意识和应用意识,体会向量的工具作用 3.情感、态度与价值观 通过本节的学习,让学生体验向量在物理问题中的工具作用,增强学生的积极主动的探究意 识,培养创新精神 二、教学重点难点: 重点:利用向量方法解决与物理相关的实际问题 3/6
3 / 6 例 3：已知正方形 ABCD（图 2-57），P 为对角线 AC 上任 意一点， PE AB ⊥ 于点 E， PF BC ⊥ 于点 F，连接 DP， EF。求证 DP ⊥ EF。 小结：结合图形特点，选定 正交基底，用坐标表示向量 进行运算解决几何问题，体 现几何问题代数化的特点， 数形结合的数学思想体现的 淋漓尽致。向量作为桥梁工 具使得运算简练标致，又体 现了数学的美。有关长方形、 正方形、直角三角形等平行、 垂直等问题常用此法。 问题 5 如何证明？能否用坐 标法完成？学生思考，回答 老师点评学生思 路：要证明两条直线（段）互 相 垂 直 ， 可 以 证 明 DP EF k k = −1 ，也可以证明两 向量数量积为 0。前一种方法 可以建立平面直角坐标系，点 用坐标表示用斜率公式即可； 后一种方法就是课本提供的 方法，将向量用坐标表示后进 行向量的数量积运算即可。 师生共同讨论交流，由教 师指导学生给出证明过程 本题用坐 标法。尤其是第 二种方法用向 量坐标法证明 比较简单，可见 选定方法是关 键，学生可从中 体会，形成思维 习惯。 课 堂 练 习 练习 1． 求证：平行四边形 两条对角线的平方和等于四 条边的平方和． 练习 2．如图，在平行四边 形 OBCA 中 ， OA a = ， OB b = ， | | | | a b a b + = − ， 求证四边形 OBCA 为矩形 由向量的数量积的性质，线段 的长的平方可看做相应向量 自身的内积 要证四边形 OBCA 为矩形，只 需证一角为直角． 进一步巩固所 学知识，归纳方 法 归纳 小结 本节主要研究了用向量知识 解决平面几何问题；掌握向 量法和坐标法，以及用向量 解决平面几何问题的步骤 师生交流共同完成 帮助学生 总结知识，归纳 方法 布置 作业 练习：A 组 1、2 及 B 组 1 作业：习题 2-4A1 及习题 2-4B1 学生独立完成 巩固所学 方法，规范解题 步骤 2.4.2 向量在物理中的应用举例 一、教学目标： 1．知识与技能： 运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题. 2．过程与方法： 通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实 际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用. 3．情感、态度与价值观： 通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意 识，培养创新精神。 二、教学重点难点： 重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题
难点:选择适当的方法,建立以向量为主的数学模型,把物理问题转化为数学问题 教学方法 本小节主要是例题教学,要让学生体会思路的形成过程,体会数学思想方法的应用。教 学中,教师创设问题情境,引导学生发现解题方法,展示思路的形成过程,总结解题规律 指导学生搞好解题后的反思,从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力 教学内容安排 四、教学内容安排: 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入,设置情景 讨论:出示相关的图片资料或多媒体演示, 让学生回顾学过 引导学生回顾用向量法解设置问题情景 的知识有力于本节课 决平面几何问题的基本思两个人提一个旅行包,夹角越大越费的进行 维过程,为学习用向量方法力 解决物理以及生活中的问 复题奠定理论与方法的基础小越省力 在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越 观察思考、探索思路 同导学生从数学的角度解释这些现象,探讨 向量知识来表示问题中的物理量,并利用 向量的线性关系表示各物理量之间的关系 准 段设F|=1F21|①当0逐渐增大时, F1的大小怎样变化,为什么? ②θ为何值时,|F1|最小?最小值是多 ③0为何值时,|F1|=G?为什么?(F=F1+ F2) 物理中的向量: 讨论:力是向量,在不考虑作用点的情况下 用向量知识研究 ①物理中有许多量,比如可利用向量运算法则进行计算。 物理中的相关问题的 力、速度、加速度、位移都 质点在运动中每一时刻都有一个速“四环节”1.把物 具有大小和方向,因而它们度向量。例如,“东北风30m/s”可用图 理问题转化为数学问 新 都是向量 2-64中的有向线段来表示 力 ②力、速度、加速度、位 题.2.建立以向量为 移的合成就是向量的加法 主题的数学模型.3 而它们也符合向量加法 求出数学模型的有关 的三角形法则和平行四边 理论参数 形法则.力、速度、加速度 值.4.回到问题的初 位移的分解也就是向量的 始状态,解释相关的 分解,运动的叠加也用到了 向量的加法 物理现象. ③动量mv是数乘向量 ④力所做的功就是作用力 F与物体在力F的作用下所 产生的位移s的数量积 ⑤用向量研究物理问题的 方法:首先把物理问题转化 4/6
4 / 6 难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题 三、教学方法 本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教 学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。 指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。 教学内容安排： 四、教学内容安排： 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 复 习 准 备 复习引入，设置情景 引导学生回顾用向量法解 决平面几何问题的基本思 维过程，为学习用向量方法 解决物理以及生活中的问 题奠定理论与方法的基础. 讨论：出示相关的图片资料或多媒体演示， 设置问题情景 两个人提一个旅行包,夹角越大越费 力. 在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越 小越省力. 观察思考、探索思路 引引导学生从数学的角度解释这些现象，探讨 用向量知识来表示问题中的物理量，并利用 向量的线性关系表示各物理量之间的关系. 设｜ F1 ｜=｜ F2 ｜ ①当 θ 逐渐增大时， |F1|的大小怎样变化，为什么？ ②θ 为何值时，｜F1｜最小？最小值是多 少？ ③θ 为何值时，|F1|=|G|？为什么？(F= F1+ F2) 让学生回顾学过 的知识有力于本节课 的进行 新 课 引 入 物理中的向量： ① 物理中有许多量,比如 力、速度、加速度、位移都 具有大小和方向，因而它们 都是向量. ② 力、速度、加速度、位 移的合成就是向量的加法, 因而它们也符合向量加法 的三角形法则和平行四边 形法则. 力、速度、加速度、 位移的分解也就是向量的 分解,运动的叠加也用到了 向量的加法. ③ 动量 mv 是数乘向量. ④ 力所做的功就是作用力 F 与物体在力 F 的作用下所 产生的位移 s 的数量积. ⑤ 用向量研究物理问题的 方法:首先把物理问题转化 讨论：力是向量，在不考虑作用点的情况下 可利用向量运算法则进行计算。 一质点在运动中每一时刻都有一个速 度向量。例如，“东北风 30 m s/ ”可用图 2-64 中的有向线段来表示。 用向量知识研究 物理中的相关问题的 “四环节”： 1.把物 理问题转化为数学问 题.2.建立以向量为 主题的数学模型.3. 求出数学模型的有关 解 ------ 理 论 参 数 值.4.回到问题的初 始状态,解释相关的 物理现象
成数学问题,即将物理量之 间的关系抽象成数学模型, 然后利用建立起来的数学 模型解释和回答相关的物 理现象 ⑥探究:学生举出几个关 于力、速度、加速度、位移 的例子 例1:如图2-63所示,求两问题1证明AECF是平行四边形的方法有本题所用方法是建 个力F、F2的合力F的大什么? 立以向量为主的数学 应小(精确到01N)和方学生思考,回答 模型,把物理问题转 可(精确到分) 问题2选择合适的方法,问如何转化为向化为数学问题来解 量条件表示? 决。并通过两种方法 生思考,回答,完成证明(选一名学生板对比引导学生探索, 小结:本题的关键选择适当书) 体验思路的形成过 用的基底,把四边形AECF的问题3由学生总结解题方法 程,学会分析问题的 组对边表示出来 方法 举「例2:河水从东向西流,流问题3如何解?学生思考,回答 本题所用方法是 速为2m/s,一轮船以 老师点评学生思路:由学生思建立以向量为主的数 2m/s垂直于水流方向向考轮船实际航行的速度是水流速和船速的学模型,把物理问题 北横渡,求轮船实际航行的合速度,转化为向量加法运算 转化为数学问题来解 例|方向和航速(精确到0 lm/s)(图2-65) 练习1.某人在静水中游泳,解决此类行船问题的关键在于”水速+船速 进一步巩固所学 速度为43km/h(如果他=船实际速度”,注意到速度是一个向量,既知识,归纳方法 径直游向河对岸,水流速度|有大小,又有方向 为4km/h,那么他实际上沿 什么方向前进?速度大小为 多少?(2)他必须朝哪个方向 游才能沿与水流垂直的方 向前进?实际前进的速度大 小为多少? 练练习2如图,用两根分别长 5√2m和10m的绳子将100N 的物体吊在水平屋顶 解决此类问题要先依题意将物理向量用有 上,平衡后G点距屋顶的/向线段来表示,利用向量加法的平行四边形 离恰好为5m,求A处受力|法则将物理问题转化为数学中向量加法, 的大小 然后由已知条件进行计算 本节主要研究了用向量知 师生交流共同完成用向量知识研究物帮助学生总结知识 识解决物理问题:掌握向量|理中的相关问题的“四环节”∵1把物理问归纳方法 归纳小结 法和坐标法,以及用向量解题转化为数学问题2建立以向量为主题的 决物理问题的步骤 数学模型.3.求出数学模型的有关解 理论参数值.4.回到问题的初始状态,解释 相关的物理现象 5/6
5 / 6 成数学问题,即将物理量之 间的关系抽象成数学模型, 然后利用建立起来的数学 模型解释和回答相关的物 理现象. ⑥ 探究：学生举出几个关 于力、速度、加速度、位移 的例子. 应 用 举 例 例 1：如图 2-63 所示，求两 个力 F1、F2的合力 F 的大 小（精确到 0.1N ）和方 向（精确到分） 小结：本题的关键选择适当 的基底，把四边形 AECF 的 一组对边表示出来 问题 1 证明 AECF 是平行四边形的方法有 什么？ 学生思考，回答 问题 2 选择合适的方法，问如何转化为向 量条件表示？ 学生思考，回答，完成证明（选一名学生板 书） 问题 3 由学生总结解题方法 本题所用方法是建 立以向量为主的数学 模型，把物理问题转 化为数学问题来解 决。并通过两种方法 对比引导学生探索， 体验思路的形成过 程，学会分析问题的 方法。 例 2：河水从东向西流，流 速 为 2 m s/ ， 一轮 船 以 2 m s/ 垂直于水流方向向 北横渡，求轮船实际航行的 方向和航速（精确到 0 .1 m s/ ）（图 2-65） 问题 3 如何解？学生思考，回答 老师点评学生思路： 由学生思 考轮船实际航行的速度是水流速和船速的 合速度，转化为向量加法运算。 本题所用方法是 建立以向量为主的数 学模型，把物理问题 转化为数学问题来解 决。 课 堂 练 习： 练习 1．某人在静水中游泳, 速度为 4 3km/h ⑴如果他 径直游向河对岸,水流速度 为 4km/h ,那么他实际上沿 什么方向前进?速度大小为 多少?⑵他必须朝哪个方向 游才能沿与水流垂直的方 向前进?实际前进的速度大 小为多少? 练习 2．如图,用两根分别长 5 2 10 m m 和 的绳子将 100N 的物体吊在水平屋顶 上,平衡后 G 点距屋顶的距 离恰好为 5m ,求 A 处受力 的大小. 解决此类行船问题的关键在于＂水速+船速 =船实际速度”,注意到速度是一个向量,既 有大小,又有方向. 解决此类问题要先依题意将物理向量用有 向线段来表示,利用向量加法的平行四边形 法则,将物理问题转化为数学中向量加法, 然后由已知条件进行计算. 进一步巩固所学 知识，归纳方法 归 纳 小 结 本节主要研究了用向量知 识解决物理问题；掌握向量 法和坐标法，以及用向量解 决物理问题的步骤 师生交流共同完成用向量知识研究物 理中的相关问题的“四环节”： 1.把物理问 题转化为数学问题.2.建立以向量为主题的 数学模型.3.求出数学模型的有关解------ 理论参数值.4.回到问题的初始状态,解释 相关的物理现象. 帮助学生总结知识， 归纳方法
练习:123页练习A组1、2学生独立完成 巩固所学方法,规范 布|及B组1、2 解题步骤 置作业 作业:123页练习A组3、4 及B组3 6/6
6 / 6 布 置 作 业 练习：123 页练习 A 组 1、2 及 B 组 1、2 作业：123 页练习 A 组 3、4 及 B 组 3 学生独立完成 巩固所学方法，规范 解题步骤