数学学科必修4模块第二单元教学设计方案 第七学时~第八学时:第二方案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及定义 教学目标 1.知识与技能: 掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义 2.过程与方法: (1)通过向量数量积物力背景的了解,体会物理学和数学的关系 (2)通过向量数量积定义的给出,体会简单归纳与严谨定义的区别 (3)通过向量数量积分配率的学习,体会类比,猜想,证明的探索式学习方法 3.情感、态度与价值观: 通过本节探究性学习,让学生尝试数学研究的过程。 教学重点、难点 重点:平面向量数量积的定义 难点:数量积的性质及运算率 教学方法 探究性设计方法,提出问题,创设情境,引导学生参与教学过程 四、教学过程 教学 教学内容 师生互动设计意图 环节 引入 以物理学中的做功为背景引入 教师提出由旧知识 问题:观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量?问题,学引出新内 什么影响了功的大小?如何精确的给出数学中的定义? 生思考容;同时 力做的功:W=|F·|s|cos0,e是F与S的夹角 联系物理 学和数 学,理解 具体和 般的关系 e 定义问题:给θ一个精确定义 教师引导让学生自 形成问题:定义向量的一种乘积运算,使得做功公式符合这种运学生 己体会数 算 注意 学的概括 两个非零向量夹角的概念 1.两向量性、严谨 已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=0 必须同起性及可操 作性 2.0的取 (0≤0≤丌)叫a与b的夹角 值范围 说明 3.数量积 的定义公 (1)当0=0时,a与b同向 式形式; (2)当0=x时,a与b反向; 注意特 殊向量零
a b 数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案 第七学时～第八学时:第二方案 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义 一、教学目标 1.知识与技能： 掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义 2.过程与方法： （1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系 （2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别 （3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法 3.情感、态度与价值观： 通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。 二、教学重点、难点 重点：平面向量数量积的定义 难点：数量积的性质及运算率 三、教学方法： 探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程 四、教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 引入 以物理学中的做功为背景引入 问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？ 什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？ 力做的功：W = |F||s|cos，是 F 与 s 的夹角 教师提出 问题，学 生思考 由旧知识 引出新内 容；同时 联系物理 学和数 学，理解 具体和一 般的关系 定义 形成 问题：给一个精确定义 问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运 算 一、两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b ，作 OA ＝ a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ （０≤θ≤π）叫 a 与 b 的夹角 奎屯 王新敞 新疆 说明： （1）当θ＝０时， a 与 b 同向； （2）当θ＝π时， a 与 b 反向； 教师引导 学生， 注意： 1.两向量 必须同起 点； 2. 的 取 值范围； 3.数量积 的定义公 式形式； 4.注意特 殊向量零 让学生自 己体会数 学的概括 性、严谨 性及可操 作性
(3)当0=x时,a与b垂直,记a⊥b 向量 (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的。范围0 ≤0≤180° e=180° 、平面向量数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量a与b,它们的夹角是0,则数量 a|b|cose叫a与b的数量积,记作a·b,即有a.b= a|b|cos0,(0≤0≤丌),并规定0与任何向量的数量积为 0 定义 问题:根据向量数量积的定义进行变形分析,总结性质(考学生自己养成学生 深化虑特殊情况) 回顾、探自己动 结论:两个向量的数量积的性质: 索、根据脑、动手 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。 已有知识探索总结 得到问题的习惯 1、e.a=a,e= a cost 的答案 2、a⊥b→a·b=0 3、aa=|a|或1|a=vVaa 4、cos6 a‖b 、|a.b|≤|a||b 问题:在以往接触的实数运算中,有很多运算率,结合实数 乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率 问题:数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗? 如何验证 结论:向量数量积满足的运算率 gb=ba (a+b)c=a.C +bc:
（3）当θ＝ 2 时， a 与 b 垂直，记 a ⊥ b ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 奎屯 王新敞 新疆 范围 0 ≤≤180 二、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角是θ，则数量 | a || b |cos叫 a 与 b 的数量积，记作 a b ，即有 a b = | a || b |cos，（０≤θ≤π） 奎屯 王新敞 新疆 并规定 0 与任何向量的数量积为 0 奎屯 王新敞 新疆 向量 定义 深化 问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考 虑特殊情况） 结论：两个向量的数量积的性质： 设 a 、b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量 奎屯 王新敞 新疆 1、 e a = a e =| a |cos 2、 a ⊥ b a b = 0 3、 a a = | a | 2 或 | | a a a = 4、cos = | || | a b a b 5、| a b | ≤ | a || b | 问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数 乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率 问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。 结论：向量数量积满足的运算率： a b b a = ； ( ) a b c a c b c + = + ； 学生自己 回顾、探 索、根据 已有知识 得到问题 的答案 养成学生 自己动 脑、动手 探索总结 的习惯 C
2(ab)=( 应用 学生让学生由 举例例1 已知|a|=5,|b|=4,=120°,求a·b 自己动手理论到实 练习1、已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,简单应用际操作, 以及总结逐步熟 ③a与b的夹角是60°时,分别求a·b 数量积的悉、深入 运算规律 练习2、判断正误,并简要说明理由。(若易混淆可调整顺序)(类比多 a·0=0:②0·a=0:③0-AB=B:④|a·b1项式的运 算) =|al|bl:⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0 ⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a, b,c都有(a·b)c=a(b·c);⑧a与b是两个单位 向量,则a2=b2 例2、求证 1).(a+b)2=a+2ab (-62=- -团-) 例3、△ABC为等腰直角三角形,且斜边AC=√2,求 ABBC+BCCA+CABA的值 练习:P109练习A(分组做) 课堂1.平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项 让学生写进一步体 小结2.平面向量的数量积的运算性质(注意结合率和消去率不成立)出基本框会数学的 3.对于平面向量的几种运算进行比较总结 架,然后严谨性 添加具体培养学生 内容 思考的能 力和习惯 作业1、看书反思本节内容; 养成学生 2、P111练习A--1、2、3 看书的习 练习B--2 惯
( ) ( ) ( ) a b a b a b = = 应用 举例 例1、 已知｜ a ｜＝5，｜ b ｜＝4，= 120o ，求 a ·b 练习 1、 已知｜ a ｜＝３，｜ b ｜＝６，当① a ∥ b ，② a ⊥ b ， ③ a 与 b 的夹角是 60°时，分别求 a ·b 奎屯 王新敞 新疆 练习 2、判断正误，并简要说明理由 奎屯 王新敞 新疆 （若易混淆可调整顺序） ① a ·0 ＝0 ；②0·a ＝０；③ 0 － AB ＝ BA ；④｜ a ·b ｜ ＝｜ a ｜｜ b ｜；⑤若 a ≠ 0 ，则对任一非零 b 有 a ·b ≠０； ⑥ a ·b ＝０，则 a 与 b 中至少有一个为 0 ；⑦对任意向量 a ， b ，c 都有（ a ·b ） c ＝ a （ b ·c ）；⑧ a 与 b 是两个单位 向量，则 2 2 a b = 奎屯 王新敞 新疆 例2、 求证： （1）. 2 2 2 ( ) 2 a b a a b b + = + + ; (2). 2 2 ( ) ( ) a b a b a b + − = − ； (3). 1 2 2 2 ( ( ) ) 2 a b a b a b = + − − 例 3 、 ABC 为等腰直角三角形，且斜边 AC= 2 ， 求 AB BC BC CA CA BA + + 的值 练习：P109 练习 A（分组做） 学 生 自己动手 简单应用 以及总结 数量积的 运算规律 （类比多 项式的运 算） 让学生由 理论到实 际操作， 逐步熟 悉、深入 课堂 小结 1. 平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项； 2. 平面向量的数量积的运算性质（注意结合率和消去率不成立） 3. 对于平面向量的几种运算进行比较总结 让学生写 出基本框 架，然后 添加具体 内容 进一步体 会数学的 严谨性， 培养学生 思考的能 力和习惯 作业 1、 看书反思本节内容； 2、 P111 练习 A---1、2、3 练习 B---2 养成学生 看书的习 惯
2.4.2向量数量积的坐标运算 、教学目标 1.知识与技能 掌握平面向量的数量积坐标运算及应用 2.过程与方法: (1)通过平面向量数量积的坐标运算,体会向量的代数性和几何性 (2)从具体应用体会向量数量积的作用 3.情感、态度与价值观 学会对待不同问题用不同的方法分析的态度 教学重点、难点 重点:向量垂直的坐标表示的充要条件,及向量的长度、距离和夹角公式 难点:条件和公式的应用 三、教学方法 用学过的知识带动学生探求新知识 四、教学过程 教学内容 师生互动设计意 图 教学环节复习引入定 平面向量基本定理及向量的坐标表示 学生思考回温故知 向量数量积的定义及性质、运算率 答上节课内容新 向量具有几何性和代数性,上节课根据向量的几何性定教师引导学让学生 义义出了数量积的运算,并掌握了运算率及性质。那么这一定生,从向量的坐标自己联 形义如何由它的代数性反映出来? 出发,根据数量积系旧知 成 的定义推导出数识推导 量积的坐标运新内 算。从而很容易容,体 那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来? 推导出三个公式会自己 和一个条件 创作的 乐趣 结论:已知两个非零向量a=(x1,y =(x2,y2) 则 xx2+ y,y2 从中总结出三个公式(向量的长度、距离、夹角公式)及 个条件(向量垂直的充要条件) 向量的长度、距离和夹角公式
2.4.2 向量数量积的坐标运算 一、教学目标 1.知识与技能： 掌握平面向量的数量积坐标运算及应用 2.过程与方法： （1）通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性； （2）从具体应用体会向量数量积的作用 3.情感、态度与价值观： 学会对待不同问题用不同的方法分析的态度 二、教学重点、难点 重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 奎屯 王新敞 新疆 难点：条件和公式的应用 三、教学方法 用学过的知识带动学生探求新知识 四、教学过程 教 学 环 节 教学内容 师生互动 设计意 图 复 习 引 入 平面向量基本定理及向量的坐标表示 向量数量积的定义及性质、运算率 学生思考回 答上节课内容 温故知 新 定 义 形 成 向量具有几何性和代数性，上节课根据向量的几何性定 义出了数量积的运算，并掌握了运算率及性质。那么这一定 义如何由它的代数性反映出来？ 那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？ 结论：已知两个非零向量 ( , ) 1 1 a = x y ， ( , ) 2 2 b = x y 则 a b 1 2 1 2 = x x + y y 从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及 一个条件（向量垂直的充要条件） 向量的长度、距离和夹角公式 教师引导学 生，从向量的坐标 出发，根据数量积 的定义推导出数 量 积 的 坐 标 运 算 。从而很容易 推导出三个公式 和一个条件 让学生 自己联 系旧知 识推导 新 内 容，体 会自己 创作的 乐趣
(1)设a=(x,y),则a=x2+y2或a=x2+y2,(长 度公式) (2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x1,y)、(x2,y2),那么|a=(x1-x2)2+(y1-y2)2(距 离公式) (3) cose a·b xx+ y,y a|·|b (0≤≤x)(夹角公式) 向量垂直的充要条件 设a=(x1y1),b=(x2,y2), 则a⊥b台x1x2+yy2=0 定 对于从前的射影的概念,我们进行重新的认识 学生主导发现问教学 义向量在轴上的正射影: 题,教师引导提出中,学 深作图 和解决问题 生不太 化 容易 注意:射影是可正解的 可负可为零的也不经 常用到 的概 念,变 定义:|b|cos叫做向量b在a所在轴上的正射影 作例题 正射影也是一个数量,不是向量:当0为锐角时正射影为正值 形式有 当0为钝角时正射影为负值:当0为直角时正射影为0:当0 利于加 深印象 0时正射影为b|:当0=180时正射影为-|b|。 挖掘向量在轴上的正射影的定义,和我们这两节的向量数量 积有什么关系?(或找出其本质) 练习:P108例1 用例1.已知=(3,-1),b=(1,-2),求ab,|a,1b1,主要体会向量代熟练准 应 数运算的方便和确的运 举 例(a,b 简便,以及几何性用向量 质的直观 数量积 例2.求证菱形的两条对角线互相垂直 进行 算,并 练习.已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求证AB⊥AC 对某些 例3.已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求∠BAC的 结论性
（1）设 a = (x, y) ，则 2 2 2 | a | = x + y 或 2 2 | a |= x + y 奎屯 王新敞 新疆 (长 度公式) （2）如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( , ) 1 1 x y 、( , ) 2 2 x y ，那么 2 1 2 2 1 2 | a |= (x − x ) + ( y − y ) (距 离公式) (3) cos = | a | | b | a b 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 x y x y x x y y + + + = （ 0 ）(夹角公式) 向量垂直的充要条件 设 ( , ) 1 1 a = x y ， ( , ) 2 2 b = x y ， 则 a b ⊥ x1 x2 + y1 y2 = 0 定 义 深 化 对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识 向量在轴上的正射影： 作图 定义：| b |cos叫做向量 b 在 a 所在轴上的正射影 奎屯 王新敞 新疆 正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值； 当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为 0；当 = 0时正射影为| b |；当 = 180时正射影为−| b | 奎屯 王新敞 新疆 挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量 积有什么关系？（或找出其本质） 练习：P108 例 1 学生主导发现问 题，教师引导提出 和解决问题 注意：射影是可正 可负可为零的 教 学 中，学 生不太 容易理 解的， 也不经 常用到 的 概 念，变 作例题 形式有 利于加 深印象 应 用 举 例 例 1.已知 a =（3，-1）， b =（1，-2），求 ab ，| a |，| b |， 奎屯 王新敞 新疆 例 2.求证菱形的两条对角线互相垂直. 练习.已知点 A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证 AB AC ⊥ 例 3.已知点 A（1，2），B（3，4），C（5，0），求 BAC 的 主要体会向量代 数运算的方便和 简便，以及几何性 质的直观 熟练准 确的运 用向量 数量积 进行运 算，并 对某些 结论性
正弦值 的内容 有所了 练习.已知a=(3,4),求:(1)a的单位向量: (2)与a垂直的单位向量:(3)与a平行的单位向量 课1.数量积的定义、性质、运算率 主要学 让学生 堂2.几种特殊情况的讨论(注意事项) 生总结, 掌握最 小教师提出问题:向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘教师不 主要的 结及数量积的运算,那么它们的区别和联系是什么?尤其是数做过多 内容; 乘和数量积的运算,同是乘法,有何区别 引导 让大多 作1、看书总结平面向量数量积的注意事项(分别从定义、运 数学生 算率、性质、与数乘的区别总结) 知道还 2、总结一些你认为很有用的式子(可以从例题、习题总结) 有某些 3、P115练习B--2(1)(2)、3 注意事 练习A--1(1)(2) 项 习题A 习题B-4 注意: 1、找向量夹角时,向量必须同起点 2、定义中注意垂直时数量积为0; 3、两个向量的数量积称为内积,写成ab:符号“·”在向量运算中既不能省略,也不能 用 4、数量积不满足结合率和消去率: 在实数中,若a0,且ab=0,则b=0:但是在数量积中,若a0,且ab0,不能推出 b=0因为其中cos有可能为O 已知实数a、b、c(b=0),则ab=bc→a=但是ab=bca=c 在实数中,有(ab)c=a(bc),但是(ab)c≠a(bc) 5、两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定
正弦值 练习.已知 a =(3,4)，求：（1） a 的单位向量； （2）与 a 垂直的单位向量；（3）与 a 平行的单位向量 的内容 有所了 解 课 堂 小 结 1.数量积的定义、性质、运算率 2.几种特殊情况的讨论（注意事项） 教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘 及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数 乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？ 主要学 生总结， 教师不 做过多 引导 让学生 掌握最 主要的 内容； 让大多 数学生 知道还 有某些 注意事 项 作 业 1、 看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运 算率、性质、与数乘的区别总结） 2、 总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结） 3、 P115 练习 B---2（1）（2）、3 练习 A---1（1）（2） 习题 A---2 习题 B---4 注意： 1、 找向量夹角时，向量必须同起点； 2、 定义中注意垂直时数量积为 0； 3、 两个向量的数量积称为内积，写成 ab；符号“· ”在向量运算中既不能省略，也不能 用“×” 4、 数量积不满足结合率和消去率： 在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且 ab=0，不能推出 b=0 奎屯 王新敞 新疆 因为其中 cos有可能为 0 奎屯 王新敞 新疆 已知实数 a、b、c(b0)，则 ab=bc a=c 奎屯 王新敞 新疆 但是 ab = bc a = c 在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定 奎屯 王新敞 新疆