高中数学人教版必修4:2.4《平面向量的数量积》导学案 【学习目标】 1、知道平面向量数量积的含义及其物理意义 2、知道平面向量数量积积与投影的关系; 3、会运用平面向量的数量积及其运算律 【重点难点】 ▲重点:向量数量积的定义及运算律 难点:数量积的应用 【知识链接】 1、向量的线性运算; 2、向量a=(x1y1),b=(x2y2)共线x1y2-x2y1=0 【学习过程】 阅读课本第103页到第105页的内容,尝试回答以下问题 知识点1:平面向量数量积的物理背景及其含义 问题1、物体在力F作用下产生位移S,那么力F所做的功W 力和位移是矢 量,功是标量,类比我们引入两个向量的数量积的概念 已知两个非零向量a与b,我们把叫做a与b的数量积,记作a·b,即 其中是a与b的夹角 问题2、请叙述投影的定义 问题3、由投影的定义,你能叙述a·b的几何意义吗? 问题4、设a与b是非零向量则: (1)a⊥b (2)当a与b同向时,a·b= 当a与b反向时,a·b 特别地a·a
高中数学人教版必修 4： 2.4《平面向量的数量积》导学案 【学习目标】 1、知道平面向量数量积的含义及其物理意义； 2﹑知道平面向量数量积积与投影的关系； 3、会运用平面向量的数量积及其运算律. 【重点难点】 ▲重点：向量数量积的定义及运算律 ▲难点：数量积的应用 【知识链接】 1、 向量的线性运算； 2、向量 ( , ) 1 1 a = x y ， ( , ) 2 2 b = x y 共线 x1 y2 − x2 y1 = 0. 【学习过程】 阅读课本第 103 页到第 105 页的内容，尝试回答以下问题： 知识点 1:平面向量数量积的物理背景及其含义 问题 1﹑物体在力 F 作用下产生位移 S，那么力 F 所做的功 W = _________ .力和位移是矢 量，功是标量，类比我们引入两个向量的数量积的概念： 已知两个非零向量 a 与 b ，我们把___________叫做 a 与 b 的数量积,记作 a b• ，即________ _________,其中 是 a 与 b 的夹角. 问题 2、请叙述投影的定义. 问题 3、由投影的定义，你能叙述 a • b 的几何意义吗？ 问题 4﹑设 a 与 b 是非零向量则： （1） a ⊥ b ______ ； （2）当 a 与 b 同向时， a • b =_____________；当 a 与 b 反向时， a • b =_______________. 特别地 a • a =____________, a =_____________;
(3) ;(4)cos6= a·b 问题5、引进了向量的数量积运算后,我们来看一看它们的运算律 已知a、b、c和实数λ,则 (1)a·b (2).(aa) (3)(a+b)·c= 问题6、尝试用数量积的运算律证明下列等式 (1)(a+b)=a+2a·b+b:(2) 例1、已知同=5,=2,与的夹角为120,求(+2(a-35)的值 知识点2:平面向量数量积的坐标表示,模,夹角 阅读课本第106页到107页的内容,尝试回答以下问题: 问题1、已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢? (提示:a=x1i+y1j,b=x21+y2 问题2.由问题1,若a=(x),则团=一,或园 问题3、如果a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a与b的夹角,则cosb 例2、在△ABC中,已知A(-2),B(-3,1),C(5,2),求AB·AC,cos∠BAC
（3） a • b _____ a b ； （4） a b a • b cos = . 问题 6、尝试用数量积的运算律证明下列等式： （1） ( ) 2 2 2 a b a a b b + = + • + 2 ；（2） ( ) ( ) 2 2 a b a b a b + • − = − ； 例 1、已知 a = 5， b = 2 ， a 与 b 的夹角为 120 ，求 (a b a b + • − 2 3 ) ( ) 的值. 知识点 2: 平面向量数量积的坐标表示，模，夹角 阅读课本第 1 06 页到 107 页的内容，尝试回答以下问题： 问题 1、已知两个非零向量 ( , ) 1 1 a = x y ， ( , ) 2 2 b = x y ，怎样用 a 与 b 的坐标表示 a • b 呢？ （提示： a x i y j = 1 + 1 ，b x i y j = 2 + 2 ） 问题 2﹑由问题 1，若 a = (x, y) ，则 2 a =____，或 a =_________. 问题 3、如果 ( , ) 1 1 a = x y ， ( , ) 2 2 b = x y ， 是 a 与 b 的夹角，则 cos = _____ . 例 2、在 ABC 中，已知 A(1,−2) ， B(−3,1) ，C(5,2) ，求 AB• AC,cosBAC
【基础达标】 A、已知同=8同=6.D和q的夹角是60,求p A2、已知=6,e为单位向量,当a与e之间夹角分别为5°,90°,135时,分别求出a在 e方向上的投影 B3、已知a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,-2),求a·b,(a+b)·(a-b),a·(b+c), B、已知=4,1=3,(2=52+b=-6,求ab的夹角O C5、在△4BC中,设AB=c,BC=a,CA=b,且a·b=b·c=c·a,试判断△BC的形 状
【基础达标】 A1、已知 p q = = 8, 6, p 和 q 的夹角是 60 ，求 p q• . A2﹑已知 a = 6，e 为单位向量，当 a 与 e 之间夹角 分别为 45 ,90 ,135 时，分别求出 a 在 e 方向上的投影. B3、已知 a =（2,3）， b =（− 2,4），c =（−1,−2），求 a • b，（a + b）•（a − b），a • (b + c) ， 2 (a + b) . B4、已知 a = 4， b = 3，(2a −3b)(2a + b) = 61 ，求 a • b 的夹角 . C5、在 ABC 中，设 AB = c,BC = a,CA = b ，且 a • b = b • c = c • a ，试判断 ABC 的形 状
06已知a·b是两个非零向量,且满足团==应-b,求a与a+b的夹角 【小结】 【当堂检测】 A1、已知△ABC中,BC=540=8.C=60,求 BC. CA B2、求证:A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形 【课后反思】 本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是
D6、已知 a • b 是两个非零向量，且满足 a = b = a − b ，求 a 与 a + b 的夹角 【小结】 【当堂检测】 A1、已知 ABC 中， BC AC C 5, 8, 60 = = = ,求 BC CA • . B2、求证：A(1，0)，B(5，-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形. 【课后反思】 本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是