平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教案 教学目标 1.知识目标 (1)掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 (2)掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式 (3)掌握两个平面向量的夹角的坐标公式 (4)能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系 2.能力目标: (1)培养学生的动手能力和探索能力; (2)通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化,使学生进一步体会数形 结合的思想; 3.情感目标 引导学生探索归纳,感受、理解知识的产生和发展过程,激发学习数学的兴 教学重点 平面向量数量积的坐标表示,以及有关的性质 教学难点 平面向量数量积的坐标运算的综合应用 教学方法 启发引导式,讲练结合,多媒体辅助教学 教学过程设计 §2.42平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(板书) 教学过程 设计意图 课题引入 复习回顾: 1.平面向量数量积的定义 由旧知识入 ab=lalblcos 0, e e [o, 手,引导学生复习 已学过的知识,以 2.数量积的几点性质 便向新知识进行探 a⊥b→a.b=0 a|=√x2+y2 a·b la|. b
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教案） 教学目标 1． 知识目标： ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式； ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； 2．能力目标： ⑴培养学生的动手能力和探索能力； ⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形 结合的思想； 3．情感目标： 引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴 趣. 教学重点 平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质 教学难点 平面向量数量积的坐标运算的综合应用 教学方法 启发引导式，讲练结合，多媒体辅助教学 教学过程设计 §2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（板书） 教学过程 设计意图 一、课题引入 复习回顾： 1. 平面向量数量积的定义 a b = a b cos, 0, 2．数量积的几点性质 a b ⊥ a b = 0 2 2 | a |= x + y cos = | a | | b | a b 由 旧 知 识 入 手，引导学生复习 已学过的知识，以 便向新知识进行探 索
教学过程 设计意图 、新课讲授 .平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a=(x12y1),b=(x2,y2),怎样用a和b的 先让学生自主 坐标表示a·b? 推导平面向量数量 积的坐标表示形 设向量i,分别为平面直角坐标系的x轴、y轴上的单位向 式,体会知识的形 成过程 量,则有 然后老师演示 a=x,i+yj, b=x2 i+y,j 学生推导的过程 师生共同分享学生 =(x i+VioXx,i+y,J) 的成果,构建和谐 的学习氛围 x1x21+x1y21·J+x2y11·J+y1y2J 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 平面向量数量积的坐标表示的性质 向量垂直的判定 设a=(x,y),b=(x,y),则a⊥6→x2+y=0引导学生归纳出坐 标表示的性质,让 学生构建完整的知 向量的模 识系统,充分展现 生互动 (1)设a=(x,y),则|d|2= 或|a|= (2)设点A的坐标为(x1,y1)、点B的坐标为(x2,y2) 则AB=(3-x,y-y),那么AB=√(x-)+(x-男) (平面内两点间的距离公式) 两向量夹角的余弦 (0≤6≤x) d|·b x+十
教学过程 设计意图 二、新课讲授 1．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 ( , ) 1 1 a = x y ， ( , ) 2 2 b = x y ，怎样用 a 和 b 的 坐标表示 a b ？ 设向量 i, j 分别为平面直角坐标系的 x 轴、 y 轴上的单位向 量，则有 a x i y j = 1 + 1 ，b x i y j = 2 + 2 ∴ ( )( ) 1 1 2 2 a b = x i + y j x i + y j 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 = x x i + x y i j + x y i j + y y j 1 2 1 2 = x x + y y 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2． 平面向量数量积的坐标表示的性质 向量垂直的判定 设 ( , ) 1 1 a = x y ， ( , ) 2 2 b = x y ，则 a b ⊥ x1 x2 + y1 y2 = 0 向量的模 （1）设 a = (x, y) ，则 2 2 2 | a | = x + y 或 2 2 | a |= x + y . （2）设点 A 的坐标为 ( , ) 1 1 x y 、点 B 的坐标为 ( , ) 2 2 x y ， 则 2 1 2 1 AB x x y y = − − ( , ) ，那么 2 1 2 2 1 2 AB = (x − x ) + (y − y ) (平面内两点间的距离公式) 两向量夹角的余弦 cos= | a | | b | a b 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 x y x y x x y y + + + = （ 0 ） 先让学生自主 推导平面向量数量 积的坐标表示形 式，体会知识的形 成过程. 然后老师演示 学生推导的过程， 师生共同分享学生 的成果，构建和谐 的学习氛围. 引导学生归纳出坐 标表示的性质，让 学生构建完整的知 识系统，充分展现 师生互动
教学过程 设计意图 3.例题讲解 已知=(1、3b=(3-D求b与的夹角 先让学生尝试 解答,体会自主应 用新知识解决问题 解 b=(-Dx3+3x(0=23 的过程,然后给出 (功2+(/) 详细解答 b√3)+(-D2=2 叫|1|b2x2√3 0<b<咒 例2 已知A(1,2),B(2,3),C(- 试判断△A 的形状,并给出证明 解:如图所示,△ABC是直角三角形 先让学生画出 简图,直观感知三 证明如下: 角形的形状,然后 BB=0AC=(35 B23|引导学生分析解 AB·AC=1×(3+1×3=0 A(1 答.注重培养学生 观察一一猜测 证明的思维方法 AB⊥A ∴△ABC是直角三角形 通过不同解法 的分析,培养学生 分析问题解决问题 的能力
教学过程 设计意图 3．例题讲解 例 1 已知a = (−1, 3),b = ( 3, −1),求ab, a, b,a与b的夹角 解： ∵ ∴ 例 2． 已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(−2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 解：如图所示，△ABC 是直角三角形. 证明如下： ∵ ， ∴ ∴ ∴ △ABC 是直角三角形 先让学生尝试 解答，体会自主应 用新知识解决问题 的过程，然后给出 详细解答. 先让学生画出 简图，直观感知三 角形的形状，然后 引导学生分析解 答.注重培养学生 观察——猜测—— 证明的思维方法. 通过不同解法 的分析，培养学生 分析问题解决问题 的能力
教学过程 设计意图 例题变式 在直角△ABC中,OA=(2,3),OB=(1,k),,求实数k的值 先放手让学生 解:①若∠AOB=90°,则OA⊥OB 自主探索,然后结 合几何画板演示, 213=0 让学生观察,寻找 解决问题的思路, 培养学生应用分类 讨论的思想方法解 ②若∠OB=90°,则AO⊥AB 决问题的能力 而 (23AB OA=(1k-3 -3=0 ③若∠OBA=90°,则BO⊥B4 而 〔1)B 3- 0 3士 2 、评价练习 已知a=(43)b=(56)则3{-4b=() 让学生通过练 习,自主反思与评 价,进而对学习过 2.已知a(34),b=(-512)则a与b夹角的余弦为() 程进行积极的监控 与调节 B. D. 13 a=(2,3)b=(-24),则 4.已知a=(2,1)b=(,3)且a⊥b则A= 5a=(2,3)b=-3,5)则a在b方向上的投影为
13 5 63 65 教学过程 设计意图 例题变式： 在直角△ABC 中， OA = (2，3),OB = (1，k) ，，求实数 k 的值； 解：①若 ，则 ∴ ∴ ②若 ，则 而 ∴ ∴ ③若 ，则 而 ∴ ∴ 三、评价练习 1.已知 a b = − = ( 4,3), (5,6) 则 2 3 a 4a b= − （ ） A.23 B.57 C.63 D.83 2. 已知 a 3,4 ,b= 5,12 ( ) (− ) 则 a b 与 夹角的余弦为（ ） A. B. 65 C D. 13 3. a= 2,3 ,b=( 2,4), ( ) − 则 (a+b a-b = )( ) __________。 4.已知 a= 2,1 ,b= 3 a b ( ) (，)且 ⊥ 则 ＝__________。 5. a=(2,3),b=(-3,5) 则 a b 在 方向上的投影为_________ 先放手让学生 自主探索，然后结 合几何画板演示， 让学生观察，寻找 解决问题的思路， 培养学生应用分类 讨论的思想方法解 决问题的能力. 让学生通过练 习，自主反思与评 价，进而对学习过 程进行积极的监控 与调节
教学过程 设计意图 四、课堂小结 使学生对所学 (握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的知识有一个完整的 运算 印象,使知识系统 (2)掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式:化、条理化 (3)掌握两个平面向量的夹角的坐标公式; (4)能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关 系 让学生加深平 五、课外作业 面向量数量积坐标 ①课本P108的习题2.4A组的第9,11题 形式的理解,巩固 ②补充练习:已知向量a=(2,-1,b=(x,1)若a与b的夹角为钝角,则和发展所学知识 λ取值范围是多少?
教学过程 设计意图 四、课堂小结 ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算； ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式； ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关 系； 使学生对所学 知识有一个完整的 印象，使知识系统 化、条理化. 五、课外作业 ①课本 P108 的习题 2.4 A 组的第 9，11 题 ②补充练习：已知向量 a=(-2,-1),b=(λ,1)若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ取值范围是多少? 让学生加深平 面向量数量积坐标 形式的理解，巩固 和发展所学知识