2.4《平面向量的数量积》教学设计 【教学目标】 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题: 4.掌握向量垂直的条件 【导入新课】 复习引入 1.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个非零实数A 使b=λa 2.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量a,有且只有一对实数,k2使a=A1e1+2e2 3.平面向量的坐标表示 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平 面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+y 把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y) 4.平面向量的坐标运算 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2) b=(x1-x2,y-y2) (x, ay) 若A(x1,y),B(x2y2),则AB=(x2-x1,y2-y1) 5.a∥b(b≠0)的充要条件是xy2-x2y1=0 6.线段的定比分点及入 P1,P2是直线l上的两点,P是1上不同于P1,P2的任一点,存在实数λ, 使PP=PP2,λ叫做点P分PP2所成的比,有三种情况:
2.4《平面向量的数量积》教学设计 【教学目标】 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入： 1．向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使 b =λ a . 2．平面向量基本定理：如果 1 e ， 2 e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量 a ，有且只有一对实数λ1，λ2 使 a =λ1 1 e +λ2 2 e . 3．平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ，由平 面向量基本定理知，有且只有一对实数 x 、 y ，使得 a xi yj = + . 把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a x y = ( , ). 4．平面向量的坐标运算 若 ( , ) 1 1 a = x y ， ( , ) 2 2 b = x y ，则 a + b ( , ) 1 2 1 2 = x + x y + y ， a −b ( , ) 1 2 1 2 = x − x y − y ，a = (x,y) . 若 ( , ) 1 1 A x y ， ( , ) 2 2 B x y ，则 ( ) 2 1 2 1 AB = x − x , y − y 5． a ∥ b ( b 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6．线段的定比分点及λ P1， P2 是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 P1， P2 的任一点，存在实数λ， 使 P1P=λ PP2 ，λ叫做点 P 分 P1P2 所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分)A0时,PP与PP同向共线,这时称点P为PP的内分点 ②当1<0(≠-1)时,BP与PP反向共线,这时称点P为PP的外分点 9线段定比分点坐标公式的向量形式: 在平面内任取一点O,设OP=a,OP2=b 可得OP a+1b 1 10.力做的功:W=|Fs|cos,θ是F与s的 夹角 新授课阶段 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=0(0≤0≤丌)叫a与 b的夹角 说明:(1)当θ=0时,a与b同向 (2)当0=x时,a与b反向; (3)当O=z 时,日与b垂直,记a⊥b; (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0°≤0≤180° e=180 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是0,则 数量 al cose叫a与b的数量积,记作郾b,即有ab=|al|lb|cos6
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分点坐标公式： 若点 P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ 为实数，且 P1P ＝λ PP2 ，则点 P 的坐标为 （ + + + + 1 , 1 1 2 1 2 x x y y ），我们称 λ 为点 P 分 P1P2 所成的比. 8. 点 P 的位置与 λ 的范围的关系： ①当 λ＞０时， P1P 与 PP2 同向共线，这时称点 P 为 P1P2 的内分点. ②当 λ＜０( −1 )时， P1P 与 PP2 反向共线，这时称点 P 为 P1P2 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式： 在平面内任取一点 O，设 OP1 ＝ａ，OP2 ＝ｂ， 可得 OP = a b a b + + + = + + 1 1 1 1 . 10．力做的功：W = |F||s|cos，是 F 与 s 的 夹角. 新授课阶段 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作 OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与 ｂ的夹角. 说明：（1）当 θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当 θ＝π 时，ａ与ｂ反向； （3）当 θ＝ 2 时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 0≤≤180 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则 数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作 ab，即有 ab = |a||b|cos， C
(0≤0≤).并规定O与任何向量的数量积为0 探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定 (2)两个向量的数量积称为内积,写成ab;今后要学到两个向量的外积a×b,而ab 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省 略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若a0,且al=0,则b=0;但是在数量积中,若O,且ab=0,不能 推出l=0.因为其中cos有可能为0 (4)已知实数a、b、c(b0),则ab=bc→a=c.但是ab=b节 如右图:ab=| al lbl cosB=|b10A|,bc=| bl l cl cosa Ibl lOAI →ab=bc但a≠c (5)在实数中,有(ab)c=a(bc),但是(ab)c≠a(bc) 显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量, 而一般a与c不共线 3.“投影”的概念:作图 定义:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影 投影也是一个数量,不是向量:当0为锐角时投影为正值:当θ为钝角时投影为负值:当 0为直角时投影为0;当0=0时投影为|b:当0=180°时投影为-|b. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|bcos的乘积 5.两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量 已a=ae cos °abab
（０≤θ≤π）.并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定. （2）两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积 a×b，而 ab 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省 略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且 ab=0，不能 推出 b=0.因为其中 cos有可能为 0. （4）已知实数 a、b、c(b0)，则 ab=bc a=c.但是 ab = bc a = c 如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA| ab = bc 但 a c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量， 而一般 a 与 c 不共线. 3．“投影”的概念：作图 定义：|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 −|b|. 4．向量的数量积的几何意义： 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 a⊥b ab = 0
3°当a与b同向时,ab=|ab:当a与b反向时,ab=-|allb.特别的aa=|a2 或|a=√aa la‖b 5°|ab≤|a|lb 例1已知|a=5,|b=4,a与b的夹角0=120°,求a·b 例2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60求(a+2b)(a-3b) 例3已知|a=3,|b=4,且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直 例4判断正误,并简要说明理由 ①a·0=0:②0·a=0:③0-AB=BA:④丨a·b丨=|al|b:⑤若a 0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任 意向量a,b,c都有(a·b)c=a(b·c);⑧a与b是两个单位向量,则a2 解:上述8个命题中只有③⑧正确 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有0·a=0:对于②:应有0·a=0: 对于④:由数量积定义有|a·b|=丨a·|b|· I cos 8≤丨a|b 这里0是a与b的夹角,只有θ=0或θ=丌时,才有|a·b|=|a·bl 对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0: 对于⑥:由a·b=0可知a⊥b可以都非零 对于⑦:若a与c共线,记a=Ac. 则a·b=(Ac)·b=A(c·b)=A(b·c), (a·b)·c=A(b·c)c=(b·c)Ac=(b·c)a 若a与c不共线,则(a·b)c≠(b·c)a 评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例6已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60 时,分别求a·b 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角O=0°, a·b=|a|·|bcos0°=3×6×1=18 若a与b反向,则它们的夹角O=180°
3 当 a 与 b 同向时，ab = |a||b|；当 a 与 b 反向时，ab = −|a||b|. 特别的 aa = |a| 2 或 | a |= a a 4 cos = | a || b | a b 5 |ab| ≤ |a||b| 例 1 已知|a|=5， |b|=4， a 与 b 的夹角 θ=120o，求 a·b. 例 2 已知|a|=6， |b|=4， a 与 b 的夹角为 60o 求(a+2b)·(a-3b). 例 3 已知|a|=3， |b|=4， 且 a 与 b 不共线，k 为何值时，向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 例 4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为 0；⑦对任 意向量ａ，ｂ，с 都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ ２＝ ｂ ２ . 解：上述 8 个命题中只有③⑧正确； 对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有 0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜， 这里 θ 是ａ与ｂ的夹角，只有 θ＝０或 θ＝π 时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜； 对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与 с 共线，记ａ＝λс. 则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与 с 不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ. 评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例 6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是 60° 时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角 θ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角 θ＝180°
a·b=|al| bI cosl80°=3×6×(-1) ②当a⊥b时,它们的夹角O=90° ∴a·b=0 ③当a与b的夹角是60°时,有 a·b=| a bcos60°=3×6×=9 述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°,因此,当a小 b时,有0°或180°两种可能 课堂小结 (略) 作业 (略) 拓展提升 1已知向量a=(√3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=√3,则b=() 3 B D.(1.0) 2.设A,B两点的坐标分别为(-10),(1,0).条件甲:AC·BC=0:条件乙:点C的坐 标是方程x2+y2=1的解则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3已知|p上=2√2q=3,p与q的夹角为,则以a=5p+24,b=p-39为邻边的平 四边形的较短的对角线长为 A.√15 15 C.14 16 4把点A(2,2)按向量(-2,2)平移到点B,此时点B在OC的延长线上,且 OB|=2|BC|, 则点C的坐标为 5把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移,得到y=2x2的图象,且
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角 θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是 60°时，有 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× 2 1 ＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ ｂ时，有 0°或 180°两种可能. 课堂小结 （略） 作业 （略） 拓展提升 1.已知向量 a = ( 3,1) ，b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b = 3 ，则 b = （ ） A．（ 3 1 , 2 2 ） B．（ 1 3 , 2 2 ） C．（ 1 3 3 , 4 4 ） D．（ 1, 0 ） 2. 设 A,B 两点的坐标分别为 (−1,0),(1,0) .条件甲： AC BC = 0 ；条件乙：点 C 的坐 标是方程 1 2 2 x + y = 的解.则甲是乙的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知 | | 2 2,| | 3, p q p = = 与 q 的夹角为 4 ，则以 a p q b p q = + = − 5 2 , 3 为邻边的平 行 四边形的较短的对角线长为 （ ） A. 15 B. 15 C. 14 D. 16 4.把点 A(2, 2) 按向量 ( 2, 2) − 平移到点 B ，此时点 B 在 OC 的延长线上，且 | | 2 | | OB BC = ， 则点 C 的坐标为 . 5.把函数 2 4 5 2 y = x − x + 的图象按向量 a 平移,得到 2 y = 2x 的图象,且
a⊥b,C=(1,-1) bc=4,则b= 6不共线向量a,b的夹角为小于120的角,且|a=1b=2,已知向量c=a+2b,求|c 的取值范围 7.已知向量a,b满足|ab=1,且a-kb=√3|ka+b|,其中k>0 (1)试用k表示a·b,并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角O的值 (2)当a·b取得最大值时,求实数,使|a+λb|的值最小,并对这一结果作出几何 解释 8.已知向量a=(cos3xin3x)b=(c0sx,-sim3)xe[z,z 64 (1)求a·b及;|a+b; (2)求函数f(x)= n(a (∈R且λ≠0)的最小值
a b ⊥ , c = (1,−1) ， b c = 4 ,则 b = . 6.不共线向量 a ，b 的夹角为小于 120 的角，且 | | 1,| | 2 a b = = ，已知向量 c a b = + 2 ，求 | | c 的取值范围. 7. 已知向量 a b, 满足 | | | | 1 a b = = ，且 | | 3 | | a kb ka b − = + ，其中 k 0 . （1）试用 k 表示 a b ，并求出 a b 的最大值及此时 a 与 b 的夹角 的值； （2）当 a b 取得最大值时，求实数 ，使 | | a b + 的值最小，并对这一结果作出几何 解释. 8. 已知向量 3 3 (cos ,sin ), (cos , sin ), [ , ] 2 2 2 2 6 4 x x x x a b x = = − . （1）求 a b 及； | | a b + ； （2）求函数 ( ) ( ) ( | | a b f x R a b = + 且 0) 的最小值
参考答案 1提示:设b=(x,y)y≠0),则有√x+y=√3且x2+y2=1(y≠0 2提示:设点C的坐标为(x,y).AC·BC=0台(x+1)x-1)+y2=0 ∴AC·BC=0分x2+y2=1,∴甲是乙的充要条件 3提示:经验证,知以a+b为对角线时,其长度较短,a+b=6p-q 4(0,2)提示:点B的坐标为(0,4),设点C的坐标为(x,y),则OB=-2BC,可求 得点C的坐标为(0,2) 5(3,-1)提示:由函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移,得到y=2x2的图 m-3n=0 象,可得a=(-1,-3);设b=(m,n),由a⊥b和b·c=4得: m-n=4·解之得 m=3.n=-1 6解:|cP=a+2bP=a+4a·b+4|b=17+8cos0(其中b为a与b的夹角) ∵0 1、1 ∴a·b=-(k+)≤ 此时cosa1 44(k>0),ab的最大值为-,此时a与b的夹角的原多2z (2)由题意,ab=-5,故a+bF=x2-2+1=(1-2+4 当A=时,|a+Ab|的值最小,此时|a+b|b=0,这表明当(a+b)⊥b 842:(1)ab=cos> -sin xsin +-=cos 2x 22 a+b月(cos=+cos,sin 22-,)=1(cos+cos,)+(in,-sin3)2 +2(cos-coS--sin -sin -)=v2+2 cos 2x=2 cosx
参考答案 1 提示：设 b x y y = ( , )( 0) ，则有 3 3 x y + = 且 2 2 x y y + = 1( 0) . 2 提示：设点 C 的坐标为 ( , ) x y . AC BC = 0 2 ( 1)( 1) 0 x x y + − + = , ∴ AC BC = 0 1 2 2 x + y = ，∴甲是乙的充要条件. 3 提示：经验证，知以 a b + 为对角线时，其长度较短， a b p q + = − 6 . 4 (0, 2) 提示：点 B 的坐标为 (0, 4) ，设点 C 的坐标为 ( , ) x y ，则 OB BC = −2 ，可求 得点 C 的坐标为 (0, 2) . 5 (3,−1) 提示：由函数 2 4 5 2 y = x − x + 的图象按向量 a 平移,得到 2 y = 2x 的图 象，可得 a = − − ( 1, 3) ；设 b m n = ( , ) ，由 a b ⊥ 和 b c = 4 得： 3 0 4 m n m n − − = − = ，解之得 m n = = − 3, 1. 6 解： 2 2 2 2 | | | 2 | | | 4 4 | | 17 8cos c a b a a b b = + = + + = + （其中 为 a 与 b 的夹角）. ∵ 0 120 , ∴ 1 cos 1 2 − , ∴ 13 | | 5 c , ∴ | | c 的取值范围为 ( 13,5) . 7 解：（1） 2 2 2 1 | | 3 | | ( ) 3( ) ( 0) 4 k a kb ka b a kb ka b a b k k + − = + − = + = − . ∴ 1 1 1 ( ) 4 2 a b k k = − + − ,此时 1 cos 2 = − ， 2 3 = . ∴ 2 1 ( 0) 4 k a b k k + = − ， a b 的最大值为 1 2 − ，此时 a 与 b 的夹角 的值为 2 3 . （2）由题意， 1 2 a b = − ，故 2 2 2 1 3 | | 1 ( ) 2 4 a b + = − + = − + ， ∴当 1 2 = 时， | | a b + 的值最小，此时 1 | | 0 2 a b b + = ，这表明当 1 ( ) 2 a b b + ⊥ . 8 解：（1） 3 3 3 cos cos sin sin cos( ) cos 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x a b x = − = + = ； 3 3 3 3 2 2 | | | (cos cos ,sin sin ) | (cos cos ) (sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x a b + = + − = + + − 3 3 2 2(cos cos sin sin ) 2 2cos 2 2cos 2 2 2 2 x x x x = + − = + = x x
(2)f(x)= 1 cos 2 =人(cosx 2 cos x 孓2cosx 函数, ①当>0时,f(x)的最小值为f()=0 √3 ②当0时,f(x)的最小值为0;当λ<0时,∫(x)的最小值为2
（2） cos 2 1 ( ) (cos ) 2cos 2cos x f x x x x = = − , ∵ [ , ] 6 4 x , ∴ 1 cos 2 cos x x − 是减 函数， ①当 0 时， f x( ) 的最小值为 ( ) 0 4 f = ； ②当 0 时， f x( ) 的最小值为 3 ( ) 6 6 f = . 综上，当 0 时， f x( ) 的最小值为 0 ；当 0 时， f x( ) 的最小值为 3 6