2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习目标:1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点)2.会运用向量坐标运算 求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点) [自主预习·探新知] 1.平面向量数量积的坐标表示: 设向量a=(,y),b=(X,y),a与b的夹角为0 数量积 ·b=x+y巧 向量垂直 a⊥b土kk≡0 2向量模的公式:设a=(x,n),则|a=√+n 3.两点间的距离公式:若A(x,),Bx,y),则AB=√k-x+B- 4.向量的夹角公式:设两非零向量a=(,y),b=(X,y),a与b夹角为O,则 cos 6 b lall 内起+ 基础自测] 1.思考辨析 (1)两个非零向量a=(X,n),b=(,y),满足一=0,则向量a,b的夹角 为0°.() (2)已知a=(x,y),b=(x,y),a⊥b台题一五巧=0.() (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.() [解析](1)×.因为当x巧一巧=0时,向量a,b的夹角也可能为180° (2)×,a⊥b台xx2+yy=0 (3)×.因为两向量的夹角有可能为180° [答案](1)×(2)×(3) 2.已知a=(2,-1),b=(2,3),则a·b= 12V5[a·b=2×2+(-1)×3=1,a+b=(4,2),|a+b=V+2=2V. 3.已知向量a=(1,3),b=(-2,m),若a⊥b,则m 2B为a⊥b,所以a·b=1×(-2)+3m=0, 2 解得m==.] 4.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为 65[因为a·b=3×5+4×12=63,|a|=√32+4=5,|b √5+12=13
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量坐标运算 求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．平面向量数量积的坐标表示： 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ. 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 2.向量模的公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x 2 1＋y 2 1. 3．两点间的距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB → |＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2 . 4．向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 夹角为 θ，则 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x 2 1＋y 2 1 x 2 2＋y 2 2 . [基础自测] 1．思考辨析 (1)两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足 x1y2－x2y1＝0，则向量 a，b 的夹角 为 0°.( ) (2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0.( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) [解析] (1)×.因为当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a，b 的夹角也可能为 180°. (2)×.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)×.因为两向量的夹角有可能为 180°. [答案] (1)× (2)× (3)× 2．已知 a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则 a·b＝________，|a＋b|＝________. 1 2 5 [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝ 4 2＋2 2＝2 5.] 3．已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若 a⊥b，则 m＝________. 2 3 [因为 a⊥b，所以 a·b＝1×(－2)＋3m＝0， 解得 m＝ 2 3 .] 4．已知 a＝(3,4)，b＝(5,12)，则 a 与 b 夹角的余弦值为________． 63 65 [因为 a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝ 3 2＋4 2＝5，|b|＝ 5 2＋122＝13
所以与b夹角的余弦值为a1b份5-时 [合作探究·攻重难] 平面向量数量积的坐标运算 》例卫(1)如图2-4-4,在矩形ABCD中,AB=E,BC=2,点E为BC的中点,点F在 边CD上,若AB·AF=V2,则AE·B的值是 图2-4 ①求a的坐标 ②若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c [思路探究](1)建 系 求有关点、向 量的坐标 求数量积 (2)①先由a=1b设点a坐标,再由a·b=10求A ②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值 (1)V2[(1)以A为坐标原点,AB为x轴、AD为y轴建立平面直角 坐标系 则B(√ ,c(√V2,2),E(2 E 可设R(x,2),因为B.A=(VE,0)·(x,2)=VEx=√, 所以x=1,所以 √2,2)=√2 (2)①设a=Ab=(4,24)(4>0) 则有a·b=A+4A=10,∴A=2 a(b·c)=0a=0, (a·b)c=10(2,-1) [规律方法]数量积运算的途径及注意点 1进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有 两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算:二是先利用数量积的运算律 将原式展开,再依据已知计算
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 所以 a 与 b 夹角的余弦值为 a·b |a||b| ＝ 63 5×13＝ 63 65.] [合 作 探 究·攻 重 难] 平面向量数量积的坐标运算 (1)如图 244，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在 边 CD 上，若AB → ·AF → ＝ 2，则AE → ·BF → 的值是________． 图 244 (2)已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10. ①求 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c. [思路探究] (1) 建系 → 求有关点、向 量的坐标 → 求数量积 (2) ①先由 a＝λb 设点 a 坐标，再由 a·b＝10 求 λ. ②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值． (1) 2 [(1)以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴建立平面直角 坐标系， 则 B( 2，0)，D(0,2)，C( 2，2)，E( 2，1)． 可设 F(x,2)，因为AB → ·AF → ＝( 2，0)·(x,2)＝ 2x＝ 2， 所以 x＝1，所以AE → ·BF → ＝( 2，1)·(1－ 2，2)＝ 2. (2)①设 a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)， 则有 a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a＝(2,4)． ②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0， (a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．] [规律方法] 数量积运算的途径及注意点 1 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有 两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律 将原式展开，再依据已知计算
2对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应 点的坐标即可求解 [跟踪训练 1.(1)设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量e=(3,2),则向量(a+2b)·c=( A.(-15,12) B.0 D.-11 2)已知a=(2,-1),b=(32),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c 10(21)[(1)依题意可知,a+2b=(1,-2+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+ 2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3 (2)设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5, X 所以 解得 所以 3x+2y=5 c=(分 类型2 向量模的坐标表示 例2(1)设平面向量a=(L,2,b=(-2,y),若B∥b,则/2a-b等于 B.5 C.35 D.45 2)若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求 ①向量a的模 ②与a平行的单位向量的坐标 ③与a垂直的单位向量的坐标 【导学号:84352253】 [思路探究]综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解. (1)D[(1)由y+4=0知 4,b=(-2,-4) ∴2a-b=(4,8),∴|2a-b=4V5故选 (2)①∵∴a=AB=(2,1)-(-2,4)=(4,-3), |a|=y42+
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 2 对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应 点的坐标即可求解. [跟踪训练] 1．(1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝( ) A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11 (2)已知 a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量 c，满足 a·c＝2，b·c＝5，则向量 c ＝________. (1)C (2) 9 7 ， 4 7 [(1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋ 2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3. (2)设 c＝(x，y)，因为 a·c＝2，b·c＝5， 所以 2x－y＝2， 3x＋2y＝5， 解得 x＝ 9 7 ， y＝ 4 7 ， 所以 c＝ 9 7 ， 4 7 .] 向量模的坐标表示 (1)设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于 ( ) A．4 B．5 C．3 5 D．4 5 (2)若向量 a 的始点为 A(－2,4)，终点为 B(2,1)，求： ①向量 a 的模； ②与 a 平行的单位向量的坐标； ③与 a 垂直的单位向量的坐标. 【导学号：84352253】 [思路探究] 综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解． (1)D [(1)由 y＋4＝0 知 y＝－4，b＝(－2，－4)， ∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4 5.故选 D. (2)①∵a＝AB → ＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a|＝ 4 2＋ －3 2＝5
②与a平行的单位向量是±=±(4,-3), 即坐标为 减( ③设与a垂直的单位向量为e=(m,m),则a·e=4m-3n=0,: 又∵|e|=1,∴m+n2=1. 3 解的5 3 [规律方法]求向量的模的两种基本策略 字母表示下的运算: 利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题 2坐标表示下的运算 若a=x,y,则 a|2=x2+y,于是有|l|=x+ [跟踪训练] 2.若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a-b的最小值为 VE[由已知得a-b=(3x-2,4-3), 所以|a-b|=√3x-22+4-3x 当x=1时,|ab取最小值为V2.] 类型围 向量的夹角与垂直问题 [探究问题] 1.设a,b都是非零向量,a=(X,n),b=(X,y),是a与b的夹角,那么c 如何用坐标表示? 提示:Cs0=a·b 五石+y ab+片·十 2.已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于? 提示:由已知得a-b=(1-x,4) ∵a⊥(a-b),∴a·(a-b ∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9. 》例(1)已知向量a=(2,1),b=(1,B),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 ②与 a 平行的单位向量是± a |a| ＝± 1 5 (4，－3)， 即坐标为 4 5 ，－ 3 5 或 － 4 5 ， 3 5 . ③设与 a 垂直的单位向量为 e＝(m，n)，则 a·e＝4m－3n＝0，∴ m n ＝ 3 4 . 又∵|e|＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得 m＝ 3 5 ， n＝ 4 5 或 m＝－ 3 5 ， n＝－ 4 5 ， ∴e＝ 3 5 ， 4 5 或 e＝ － 3 5 ，－ 4 5 .] [规律方法] 求向量的模的两种基本策略 1 字母表示下的运算： 利用|a| 2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. 2 坐标表示下的运算： 若 a＝ x，y ，则 a·a＝a 2＝|a| 2＝x 2＋y 2，于是有|a|＝ x 2＋y 2 . [跟踪训练] 2．若向量 a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a－b|的最小值为________． 2 [由已知得 a－b＝(3x－2,4－3x)， 所以|a－b|＝ 3x－2 2＋ 4－3x 2 ＝ 18x 2－36x＋20＝ 18 x－1 2＋2， 当 x＝1 时，|a－b|取最小值为 2.] 向量的夹角与垂直问题 [探究问题] 1．设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹角，那么 cos θ 如何用坐标表示？ 提示：cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x 2 1＋y 2 1· x 2 2＋y 2 2 . 2．已知向量 a＝(1,2)，向量 b＝(x，－2)，且 a⊥(a－b)，则实数 x 等于？ 提示：由已知得 a－b＝(1－x,4)． ∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0. ∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9. (1)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，k)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值
范围是 A.(-2,+∞) D.(-2,2) (2)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求|AD 与点D的坐标 【导学号:84352254】 a·b)0, [思路探究]()可利用a,b的夹角为锐角台 求解 a≠Ab (2)设出点D的坐标,利用B与BC共线,AD⊥BC列方程组求解点D的坐标 (1)B[(1)当a与b共线时,2k-1=0,如=,此时a,b方向相同,夹角为0°,所 以要使a与b的夹角为锐角,则有ab)0且ab不同向由a…b=2+60得-2,且k42, 即实数k的取值范围是一2 +∞,选B. (2)设点D的坐标为(x,y),则A=(x-2,y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y ∴D在直线BC上,即BD与BC共线 ∴存在实数A,使B=ABC, 即(x-3,y-2)=1(-6,-3) x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.① 又∵AD⊥BC,∴AD·BC=0, 即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0 6(x-2)-3(y+1)=0,② 即2x+y-3=0. 由①②可得 即D点坐标为(1,1),AD=(-1,2), |AD=√-12+2=V
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 范围是( ) A．(－2，＋∞) B． － 2， 1 2 ∪ 1 2 ，＋∞ C．(－∞，－2) D．(－2,2) (2)已知在△ABC 中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD 为 BC 边上的高，求|AD → | 与点 D 的坐标. 【导学号：84352254】 [思路探究] (1)可利用 a，b 的夹角为锐角⇔ a·b>0， a≠λb 求解． (2)设出点 D 的坐标，利用BD → 与BC → 共线，AD → ⊥BC → 列方程组求解点 D 的坐标． (1)B [(1)当 a 与 b 共线时，2k－1＝0，k＝ 1 2 ，此时 a，b 方向相同，夹角为 0°，所 以要使 a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0 且a，b 不同向．由a·b＝2＋k>0 得 k>－2，且 k≠ 1 2 ， 即实数 k 的取值范围是 －2， 1 2 ∪ 1 2 ，＋∞ ，选 B. (2)设点 D 的坐标为(x，y)，则AD → ＝(x－2，y＋1)，BC → ＝(－6，－3)，BD → ＝(x－3，y－ 2)． ∵D 在直线 BC 上，即BD → 与BC → 共线， ∴存在实数 λ，使BD → ＝λBC → ， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)， ∴ x－3＝－6λ， y－2＝－3λ， ∴x－3＝2(y－2)，即 x－2y＋1＝0.① 又∵AD⊥BC，∴AD → ·BC → ＝0， 即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，② 即 2x＋y－3＝0. 由①②可得 x＝1， y＝1， 即 D 点坐标为(1,1)，AD → ＝(－1,2)， ∴|AD → |＝ －1 2＋2 2＝ 5
综上,|AD=√5,D(,1).] 母题探究:1.将例3(1)中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”“锐角”改为“钝 角”,求实数k的取值范围 [解]当a与b共线时,-2k-1=0,k= 此时a与b方向相反,夹角为180°, 所以要使a与b的夹角为钝角,则有a·b<0 且a与b不反向. 由a·b=-2+k<0得k<2. 由a与b不反向得k≠ 所以k的取值范围(∞,-(2 2.将例3(1)中的条件“锐角”改为“4”,求k的值 2+k [解] √5·√+ VE 2+k 整理得3k2-8k-3=0, 解得k=一或3 [规律方法]1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤: (1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积 (2)求模,利用/a/=P+y计算两向量的模 (3)求夹角余弦值.由公式c0s=+求夹角余弦值 √x+·√+ (4)求角.由向量夹角的范围及cos0求0的值 2.涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥ba·b=xx+巧巧=0来解决 [当堂达标·固双基] 1.设向量a=(1,0,b=2,2,则下列结论中正确的是() 【导学号:84352255】 A.|a|=|b B.a·b= √2 C.a∥b D.a-b与b垂直
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 综上，|AD → |＝ 5，D(1,1)．] 母题探究：1.将例 3(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”“锐角”改为“钝 角”，求实数 k 的取值范围． [解] 当 a 与 b 共线时，－2k－1＝0，k＝－ 1 2 ， 此时 a 与 b 方向相反，夹角为 180°， 所以要使 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b＜0 且 a 与 b 不反向． 由 a·b＝－2＋k＜0 得 k＜2. 由 a 与 b 不反向得 k≠－ 1 2 ， 所以 k 的取值范围是 －∞，－ 1 2 ∪ － 1 2 ，2 . 2．将例 3(1)中的条件“锐角”改为“ π 4 ”，求 k 的值． [解] cos π 4 ＝ a·b |a||b| ＝ 2＋k 5· 1＋k 2 ， 即 2 2 ＝ 2＋k 5· 1＋k 2，整理得 3k 2－8k－3＝0， 解得 k＝－ 1 3 或 3. [规律方法] 1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤： (1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝ x 2＋y 2计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式 cos θ＝ x1x2＋y1y2 x 2 1＋y 2 1· x 2 2＋y 2 2 求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及 cos θ 求 θ 的值． 2．涉及非零向量 a，b 垂直问题时，一般借助 a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0 来解决． [当 堂 达 标·固 双 基] 1．设向量 a＝(1,0)，b＝ 1 2 ， 1 2 ，则下列结论中正确的是( ) 【导学号：84352255】 A．|a|＝|b| B．a·b＝ 2 2 C．a∥b D．a－b 与 b 垂直
DA项,al=1,|b=2,故l≠b1:B项,a·b=1×2+0×2=2:C项,1x ≠0×2:D项,a-b=2,- =0,故选D.] 2.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为() 6m3 B D 4m2 B[a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,|a|=2+-12=√10,|b √2 设a与b的夹角为0,则cos0=a·b0·V2又0≤≤x,= 3.设a=(2,4),b=(1,1),若b⊥(a+mb),则实数m= 【导学号:84352256】 3[a+mb=(2+m,4+m), ∴b⊥(a+mb) (2+m)×1+(4+m)×1=0, 得 4.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)·b,则|c= 82[易得a·b=2×(-1)+4×2=6, 所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8), 所以|c 5.平面直角坐标系xOy中,O是原点(如图2-4-5).已知点A(16,12),B(-5,15) A 图2-4-5 (1)求|O (2)求∠OAB 【导学号:84352257】 [解](1)由OA=(16,12), AB=(-5-16,15-12) 得|OA=√16+12
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 D [A 项，|a|＝1，|b|＝ 2 2 ，故|a|≠|b|；B 项，a·b＝1× 1 2 ＋0× 1 2 ＝ 1 2 ；C 项，1× 1 2 ≠0× 1 2 ；D 项，a－b＝ 1 2 ，－ 1 2 ，(a－b)·b＝ 1 2 × 1 2 － 1 2 × 1 2 ＝0，故选 D.] 2．已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则 a 与 b 的夹角为( ) A． π 6 B． π 4 C． π 3 D． π 2 B [a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝ 3 2＋ －1 2＝ 10，|b|＝ 1 2＋ －2 2 ＝ 5， 设 a 与b 的夹角为 θ，则 cos θ＝ a·b |a|·|b| ＝ 5 10· 5 ＝ 2 2 .又 0≤θ≤π，∴θ＝ π 4 .] 3．设 a＝(2,4)，b＝(1,1)，若 b⊥(a＋mb)，则实数 m＝________. 【导学号：84352256】 －3 [a＋mb＝(2＋m,4＋m)， ∵b⊥(a＋mb)， ∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0， 得 m＝－3.] 4．已知平面向量 a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若 c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________. 8 2 [易得 a·b＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以 c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)， 所以|c|＝ 8 2＋ －8 2＝8 2.] 5．平面直角坐标系 xOy 中，O 是原点(如图 245)．已知点 A(16,12)，B(－5,15)． 图 245 (1)求|OA → |，|AB → |； (2)求∠OAB. 【导学号：84352257】 [解] (1)由OA → ＝(16,12)， AB → ＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)， 得|OA → |＝ 162＋122＝20
152 (2)Cos Z0AB-=COs (AO, AB) A0·AB 其中A0·AB=-OA·AB [16×(-21)+12×3]=300, 00 故cos∠OAB= 15 ∠OAB=45°
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 |AB → |＝ －21 2＋3 2＝15 2. (2)cos∠OAB＝cos〈AO → ，AB → 〉 ＝ AO → ·AB → |AO → ||AB → | . 其中AO → ·AB → ＝－OA → ·AB → ＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300， 故 cos∠OAB＝ 300 20×15 2 ＝ 2 2 ， ∴∠OAB＝45°
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 END
朝花夕拾杯中酒 和任何人呵呵呵 END