平面向量应用举例练习题 、选择题 1.一物体受到相互垂直的两个力、的作用,两力大小都为5√3N,则两 个力的合力的大小为() A.10√3N B. ON 5√61 D 2.河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸, 则小船在静水中的速度大小为() A. 10m/s B. 2\26m/s C. 4 6m/s D12m/s 3.(2010山东日照一中)已知向量a=(x1,y),b=(x2,y2),若l=2,b=3, ab=-6,则工》的值为() B 4.已知一物体在共点力F1=(g2,lg2),F2=(g5,1g2)作用下产生位移S =(2g5,1),则共点力对物体做的功W为() A B. lg5 5.在△ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC与 ABC的面积之比是() B 2 6.点P在平面上作匀速直线运动,速度U=(4,-3),设开始时点P的坐标 为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(速度单位:ms,长度单位:m)) A.(-24) B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10) 7.已知向量a,e满足:a≠e,le=1,对任意t∈R,恒有a-l≥a-e,则 A.a⊥e B.a⊥(a-e)C.e⊥(a-e)D.(a+e)⊥(a-e) 8.已知4=1,10B=3,OA⊥B,点C在∠AOB内,∠AOC=30°,设
平面向量应用举例练习题 一、选择题 1．一物体受到相互垂直的两个力 f1、f2 的作用，两力大小都为 5 3N，则两 个力的合力的大小为( ) A．10 3N B．0N C．5 6N D. 5 6 2 N 2．河水的流速为 2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10m/s 的速度驶向对岸， 则小船在静水中的速度大小为( ) A．10m/s B．2 26m/s C．4 6m/s D．12m/s 3．(2010·山东日照一中)已知向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3， a·b＝－6，则x1＋y1 x2＋y2 的值为( ) A. 2 3 B．－ 2 3 C. 5 6 D．－ 5 6 4．已知一物体在共点力 F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移 S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功 W 为( ) A．lg2 B．lg5 C．1 D．2 5．在△ABC 所在的平面内有一点 P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→ ，则△PBC 与 △ABC 的面积之比是( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 6．点 P 在平面上作匀速直线运动，速度 v＝(4，－3)，设开始时点 P 的坐标 为(－10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)( ) A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) 7．已知向量 a，e 满足：a≠e，|e|＝1，对任意 t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则 ( ) A．a⊥e B．a⊥(a－e) C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e) 8．已知|OA→ |＝1，|OB→ |＝ 3，OA→ ⊥OB→ ，点 C 在∠AOB 内，∠AOC＝30°，设OC→
mOA+nOB,则=( 3 填空题 9.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a十+硒b的夹角为锐角,则实数λ的取值范 围是 10.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点,且B= 2√3,则AB= 、解答题 11.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的 点,且AE=2EB 求证:AD⊥CE 12.△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂 足为E,延长BE交AC于F,连结DF,求证:∠ADB=∠FDC 13.(2010·江苏,15)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3), (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长 (2)设实数t满足(B-10O)OC=0,求t的值 14.一条宽为√3km的河,水流速度为2km/h,在河两岸有两个码头A、B, 已知AB=3km,船在水中最大航速为4km/h,问该船从A码头到B码头怎样安 排航行速度可使它最快到达彼岸B码头?用时多少? 15.在ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD,求证 M,N,C三点共线 16.如图所示,正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,PECF是矩形, 用向量方法证明PA=EF
＝mOA→ ＋nOB→ ，则m n ＝( ) A. 1 3 B．3 C．3 3 D. 3 3 2 二、填空题 9．已知 a＝(1,2)，b＝(1,1)，且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范 围是________． 10．已知直线 ax＋by＋c＝0 与圆 O：x 2＋y 2＝4 相交于 A、B 两点，且|AB|＝ 2 3，则OA→ ·OB→ ＝________. 三、解答题 11．已知△ABC 是直角三角形，CA＝CB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上的一 点，且 AE＝2EB. 求证：AD⊥CE. 12．△ABC 是等腰直角三角形，∠B＝90°，D 是 BC 边的中点，BE⊥AD，垂 足为 E，延长 BE 交 AC 于 F，连结 DF，求证：∠ADB＝∠FDC. 13．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)，B(2,3)， C(－2，－1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数 t 满足(AB→－tOC→ )·OC→ ＝0，求 t 的值． 14．一条宽为 3km 的河，水流速度为 2km/h，在河两岸有两个码头 A、B， 已知 AB＝ 3km，船在水中最大航速为 4km/h，问该船从 A 码头到 B 码头怎样安 排航行速度可使它最快到达彼岸 B 码头？用时多少？ 15．在▱ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN＝ 1 3 BD，求证： M，N，C 三点共线． 16．如图所示，正方形 ABCD 中，P 为对角线 BD 上的一点，PECF 是矩形， 用向量方法证明 PA＝EF
17.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AC,E是垂足, F是DE的中点,求证AF⊥BE
17．如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AC，E 是垂足， F 是 DE 的中点，求证 AF⊥BE
平面向量应用举例参考答案 1.[答案]C 解析]根据向量加法的平行四边形法则合力的大小为2×55=5(N). 2.[答案]B [解析]设河水的流速为矶,小船在静水中的速度为U2,船的实际速度为 则|=2,=10,U⊥01n=0-U1,1=0, ∴n=m2-20+a=y100-0+4=104=2V6 3.[答案]B 解析]因为l=2,b=3,又ab= acos(a,b)=2×3×cos(a,b)= 6,可得cos(a,b)=-1即a,b为共线向量且反向,又l=2,=3,所以 有3(x1,y)=-2(x2,y)→x1=-32,=-,腕+n2+y2)~ x2+ 从而选B 答案]D [解析]W=(F1+F2)S=(lg2+lg5,2lg2)(2lg5,1)=(1,2lg2)(2lg5,1)=2lg5+ 2lg2=2,故选 5.[答案]C 「解析]由应+P+P=AB,得应+P+B+P=0,即P=2P,所以点 S△ PBC PC2 P是CA边上的三等分点,如图所示.胡BAC3 6.[答案]C [解析]5秒后点P的坐标为:(-10.10)+5(4,-3)=(10,-5) 丌[答案]C[解析]由条件可知μa-le≥a-e对t∈R恒成立,又∵l
平面向量应用举例参考答案 1．[答案] C [解析] 根据向量加法的平行四边形法则，合力 f 的大小为 2×5 3＝5 6(N)． 2. [答案] B [解析] 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v， 则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.∴v2＝v－v1，v·v1＝0， ∴|v2|＝ v 2－2v·v1＋v 2 1＝ 100－0＋4＝ 104＝2 26. 3．[答案] B [解析] 因为|a|＝2，|b|＝3，又 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝ －6，可得 cos〈a，b〉＝－1.即 a，b 为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以 有 3(x1，y1)＝－2(x2，y2)⇒x1＝－ 2 3 x2，y1＝－ 2 3 y2，所以 x1＋y1 x2＋y2 ＝ － 2 3 (x2＋y2) x2＋y2 ＝－ 2 3 ， 从而选 B. 4．[答案] D [解析] W＝(F1＋F2)·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋ 2lg2＝2，故选 D. 5．[答案] C [解析] 由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋BA→＋PC→ ＝0，即PC→＝2AP→，所以点 P 是 CA 边上的三等分点，如图所示．故S△PBC S△ABC ＝ PC AC＝ 2 3 . 6．[答案] C [解析] 5 秒后点 P 的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)． 7[答案] C[解析] 由条件可知|a－te| 2≥|a－e| 2 对 t∈R 恒成立，又∵|e|＝1
∴-2aet+2ae-1≥0对t∈R恒成立,即△=4ae)2-8ae+4≤0恒成 立.∴(ae-1)2≤0恒成立,而(ae-1)2≥0,∴ae-1=0 即ae=1=e2,∴e(a-e)=0,即e⊥(a-e) 8.[答案]B [解析]∵:OO!=mO+ nOA.OB=m mO|O4cos30° OC. OB=mOA- OB+nJOB=3n,, 3n 10C--( m23 、填空题 9.[答案]A>-且λ≠0 解析]∵a与a+硒b均不是零向量,夹角为锐角, ∴a(a+b)>0,∴5+3>0,∴A>-2当a与a+b同向时,a+1b=ma(m>0) 即(1+λ,2+4)=(m,2m) 1+=m 1=0 得 ∴1>-3且≠0 2+1=2m m=1 [答案] 「解析]∵AB=2√3,|O4=OB=2,∴∠AOB=120° ∴OAOB=O4 OB cosl20°=-2 三、解答题 11.[证明]以C为原点,CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系 设AC=a,则A(a0),BO,a),D0, ∴我 2 C=-aa+3a=0,∴AD⊥CE 2.证明姬图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,设
∴t 2－2a·e·t＋2a·e－1≥0 对 t∈R 恒成立，即 Δ＝4(a·e) 2－8a·e＋4≤0 恒成 立．∴(a·e－1)2≤0 恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0. 即 a·e＝1＝e 2，∴e·(a－e)＝0，即 e⊥(a－e)． 8．[答案] B [解析] ∵OC→ ·OA→ ＝m|OA→ | 2＋nOA→ ·OB→ ＝m， OC→ ·OB→ ＝mOA→ ·OB→ ＋n·|OB→ | 2＝3n，∴ m 3n ＝ |OC→ |·|OA→ |·cos30° |OC→ |·|OB→ |·cos60° ＝1，∴ m n ＝3. 二、填空题 9． [答案] λ>－ 5 3 且 λ≠0 [解析] ∵a 与 a＋λb 均不是零向量，夹角为锐角， ∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－ 5 3 .当 a 与 a＋λb 同向时，a＋λb＝ma(m>0)， 即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)． ∴ 1＋λ＝m 2＋λ＝2m ，得 λ＝0 m＝1 ，∴λ>－ 5 3 且 λ≠0. 10． [答案] －2 [解析] ∵|AB|＝2 3，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°. ∴OA→ ·OB→ ＝|OA→ |·|OB→ |·cos120°＝－2. 三、解答题 11．[证明] 以 C 为原点，CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系． 设 AC＝a，则 A(a,0)，B(0，a)，D 0， a 2 ，C(0,0)，E 1 3 a， 2 3 a . ∴AD→ ＝ －a， a 2 ，CE→＝ 1 3 a， 2 3 a . ∵AD→ ·CE→＝－a· 1 3 a＋ a 2 · 2 3 a＝0，∴AD⊥CE. 12． [证明] 如图，以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设
A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2) 设AF=AAC 则BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-24)=(24,2-24),又DA=(-1,2) 由题设B⊥DA,∴BFDA=0,∴-2+2(2-2)=0,∴= ∴亦=B-=,3又b=(10), ∴cos∠ADB= =,cos∠FDC IDAL IDBI i|b15 又∠ADB、∠FDC∈(0,π),∴∠ADB=∠FDC 13.[解析](1)由题设知=(3,5),我=(-1,1),则+=(26),AB-求 =(44.所以+和1=2V0,团-求=42 故所求的两条对角线长分别为4和210 (2)由题设知D=(-2,-1),我B-1OC=(3+25+1 由(B-100)=0,得(3+25+1(-2,-1)=0,从而51=-11,所以t 14.[解析]如图所示,设A为水流速度,AD为航行速度,以AC和AD为 邻边作ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸.根据题意AC⊥AE,在 R△ADE和ACED中
A(0,2)，C(2,0)，则 D(1,0)，AC→＝(2，－2) 设AF→＝λAC→ ， 则BF→＝BA→＋AF→＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又DA→ ＝(－1,2) 由题设BF→⊥DA→ ，∴BF→·DA→ ＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝ 2 3 . ∴BF→＝ 4 3 ， 2 3 ，∴DF→ ＝BF→－BD→ ＝ 1 3 ， 2 3 ，又DC→ ＝(1,0)， ∴cos∠ADB＝ DA→ ·DB→ |DA→ |·|DB→ | ＝ 5 5 ，cos∠FDC＝ DF→ ·DC→ |DF→ |·|DC→ | ＝ 5 5 ， 又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC. 13．[解析] (1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→ ＝(2,6)，AB→－AC→ ＝(4,4)．所以|AB→＋AC→ |＝2 10，|AB→－AC→ |＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2和 2 10. (2)由题设知OC→ ＝(－2，－1)，AB→－tOC→ ＝(3＋2t,5＋t)． 由(AB→－tOC→ )·OC→ ＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而 5t＝－11，所以 t ＝－ 11 5 . 14． [解析] 如图所示，设AC→为水流速度，AD→ 为航行速度，以 AC 和 AD 为 邻边作▱ACED 且当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸．根据题意 AC⊥AE，在 Rt△ADE 和▱ACED 中
==2,=4,∠AED=9:面=bP2-bF=2, sin∠EAD=,∴∠EAD=30°,用时0.5h 答:船实际航行速度大小为4kmh,与水流成120°角时能最快到达B码头, 用时半小时 [证明]MN=BN-BM 因为BM=BA,BN=3BD=(BA+BO,所以M=3BA+BC-BA, BC-BA.由于MC=BC-BM=BC-BA 可知=3M,即M∥M又因为MC、MN有公共点M,所以MN、C 点共线 [分析]本题所给图形为正方形,故可考虑建立平面直角坐标系,用向量坐标 来解决,为此只要写出序和E的坐标,证明其模相等即可. [证明]建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为 则A(0,a).设DP=4(4>0),则 (2.0,3),,3 所以济=(2a,-),(3,a-2 因为=2-Va+a2,p=2-V2a+a2,所以的=, 即PA=EF
|DE→ |＝|AC→|＝2，|AD→ |＝4，∠AED＝90°.∴|AE→|＝ |AD→ | 2－|DE→ | 2＝2 3， sin∠EAD＝ 1 2 ，∴∠EAD＝30°，用时 0.5h. 答：船实际航行速度大小为 4km/h，与水流成 120°角时能最快到达 B 码头， 用时半小时． 15． [证明] MN→ ＝BN→－BM→ . 因为BM→ ＝ 1 2 BA→，BN→＝ 1 3 BD→ ＝ 1 3 (BA→＋BC→ )，所以MN→ ＝ 1 3 BA→＋ 1 3 BC→－ 1 2 BA→， ＝ 1 3 BC→－ 1 6 BA→. 由于MC→ ＝BC→－BM→ ＝BC→－ 1 2 BA→， 可知MC→ ＝3MN→ ，即MC→ ∥MN→ .又因为 MC、MN 有公共点 M，所以 M、N、C 三点共线． 16 [分析] 本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标 来解决，为此只要写出PA→和EF→的坐标，证明其模相等即可． [证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 a，则 A(0，a)．设|DP→ |＝λ(λ>0)，则 F 2 2 λ，0 ，P 2 2 λ， 2 2 λ ，E a， 2 2 λ ， 所以EF→＝ 2 2 λ－a，－ 2 2 λ ，PA→＝ － 2 2 λ，a－ 2 2 λ ， 因为|EF→| 2＝λ 2－ 2aλ＋a 2，|PA→| 2＝λ 2－ 2aλ＋a 2，所以|EF→|＝|PA→|， 即 PA＝EF
A [证明]∵AB=AC,且D是BC的中点, ⊥B,∴DB=0.又⊥花,D症=0 B=DC,F是DE的中点,∴E=-1DE ∴庇=(在+(B+DE =B+花DE+EB+EDE 在B+EB+EDE lD+ DE). BD+EF BD+ EF DI =ADBD+ DE BD+ EF.BD+EF. DE =DE. DC--DE. DC--DE DE dc- DE DE (DC - DE=DEEC=0 ∴AF⊥BE,∴AF⊥BE
17． [证明] ∵AB＝AC，且 D 是 BC 的中点， ∴AD→ ⊥BC→ ，∴AD→ ·BD→ ＝0.又DE→ ⊥AC→ ，∴DE→ ·AE→＝0. ∵BD→ ＝DC→ ，F 是 DE 的中点，∴EF→＝－ 1 2 DE→ . ∴AF→·BE→＝(AE→＋EF→)·(BD→ ＋DE→ ) ＝AE→·BD→ ＋AE→·DE→ ＋EF→·BD→ ＋EF→·DE→ ＝AE→·BD→ ＋EF→·BD→ ＋EF→·DE→ ＝(AD→ ＋DE→ )·BD→ ＋EF→·BD→ ＋EF→·DE→ ＝AD→ ·BD→ ＋DE→ ·BD→ ＋EF→·BD→ ＋EF→·DE→ ＝DE→ ·DC→ － 1 2 DE→ ·DC→ － 1 2 DE→ ·DE→ ＝ 1 2 DE→ ·DC→ － 1 2 DE→ ·DE→ ＝ 1 2 DE→ ·(DC→ －DE→ )＝ 1 2 DE→ ·EC→＝0. ∴AF→⊥BE→，∴AF⊥BE