2012人教A版高中数学必修四25平面向量应用举例练习题(带解析) 选择题 1.一物体受到相互垂直的两个力f、1的作用,两力大小都为55N,则两个力的合力的大小 为() A.10√3N 5√6N 【答案】C 【解析】根据向量加法的平行四边形法则,合力f的大小为x5√=56(N 2河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水 中的速度大小为() A. 10m/s m/s 【答案】B 【解析】设河水的流速为v,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则|v1|=2,v v2=v-v1,vv1=0 Iv,I 00-0+ =04=226 3(2010山东日照一中)已知向量a=(x1,y),b=(x2,y),若|a|=2,|b|=3,ab=-6,则 的值为(
2012 人教 A 版高中数学必修四 2.5 平面向量应用举例练习题（带解析） 一、选择题 1.一物体受到相互垂直的两个力 f 1、f 2的作用，两力大小都为 5 N，则两个力的合力的大小 为( ) A．10 N B．0N C．5 N D． N 【答案】C 【解析】根据向量加法的平行四边形法则，合力 f 的大小为 ×5 ＝5 (N)． 2.河水的流速为 2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水 中的速度大小为( ) A．10m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12m/s 【答案】B 【解析】设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则|v1 |＝2，|v| ＝10，v⊥v1 . ∴v2＝v－v1，v·v1＝0， ∴|v2 |＝ ＝ ＝ ＝2 . 3.(2010·山东日照一中)已知向量 a＝(x1，y1 )，b＝(x2，y2 )，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则 的值为( ) A． B．－ C．
【答案】B 【解析】因为|a|=2,|b|=3,又ab=|o|b|cos(a,b)=2x3xcos(a,b)=-6,可得 Cos(a,b)=-1.即a,b为共线向量且反向,又|a|=2,|b|=3,所以有3(x:,y1)=-2(x2, y)=x=一3,=一3,所以+n=三(x+y2)_2 3,从而选B MTV 4已知一物体在共点力F1=(g2,g2),F2=(g5,g2)的作用下产生位移S=(2g5,1),则共点力 对物体做的功W为 A. Ig2 B. Ig5 【答案】D 【解析】W=(F1+F2)=(g2+1g5,2g2)(21g5,1=(1,22}(2g5,1)=2g5+2g2=2,故选D 5在△ABC所在的平面内有一点P,满足P汁pP=AB则△PBC与△ABC的面积之比 是() 【答案】C 【解析】由P+p+PC=AB,得p++B汁P=0,即P=2A所以点P是CA Pc 边上的三等分点,如图所示,故s:BAC= 6点P在平面上作匀速直线运动,速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(-10,10),则5 秒后点P的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m)() (-2,4) B.(-30,25) (5,-10)
D．－ 【答案】B 【解析】因为|a|＝2，|b|＝3，又 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得 cos〈a，b〉＝－1.即 a，b 为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以有 3(x1，y1 )＝－2(x2， y2 )⇒x1＝－ x2，y1＝－ y2，所以 ＝ ＝－ ，从而选 B. 4.已知一物体在共点力 F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移 S＝(2lg5,1)，则共点力 对物体做的功 W 为( ) A．lg2 B．lg5 C．1 D．2 【答案】D 【解析】W＝(F1＋F2 )·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选 D. 5.在△ABC 所在的平面内有一点 P，满足 ＋ ＋ ＝ ，则△PBC 与△ABC 的面积之比 是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ＋ ＋ ＝ ，得 ＋ ＋ ＋ ＝0，即 ＝2 ，所以点 P 是 CA 边上的三等分点，如图所示．故 ＝ ＝ . 6.点 P 在平面上作匀速直线运动，速度 v＝(4，－3)，设开始时点 P 的坐标为(－10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)( ) A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10)
【答案】C 【解析】5秒后点P的坐标为 7.已知向量a,e满足:a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有|a-tel≥|a-el,则( B.a⊥(a-e) C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e) 【答案】C 【解析】由条件可知-te|2|a-e|对t∈R恒成立,又:lel=1, t2-2aet+2ae-120对t∈R恒成立, 即△=4ae)2-8ae+4≤0恒成立 (ae-1)2s0恒成立, 而(ae-1)≥0,ae-1=0. 即ae=1=e2,,e(a-e)=0,即e⊥(a-e) 8已知|=1,10B=√,⊥DB,点C在∠AOB内,∠AOC=30°,设0mn B,则n=( 【答案】B 【解析】∵ oC OtmI O42+ n Od OB=m, OC. OB=mOA 0B+n. 0B=3n, m pc oA 填空题 1已知a=(1,2),b=1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是
【答案】C 【解析】5 秒后点 P 的坐标为： (－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)． 7.．已知向量 a，e 满足：a≠e，|e|＝1，对任意 t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( ) A．a⊥e B．a⊥(a－e) C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e) 【答案】C 【解析】由条件可知|a－te| 2 ≥|a－e| 2对 t∈R 恒成立，又∵|e|＝1， ∴t 2－2a·e·t＋2a·e－1≥0 对 t∈R 恒成立， 即 Δ＝4(a·e) 2－8a·e＋4≤0 恒成立． ∴(a·e－1)2 ≤0 恒成立， 而(a·e－1)2 ≥0，∴a·e－1＝0. 即 a·e＝1＝e 2，∴e·(a－e)＝0，即 e⊥(a－e)． 8.已知| |＝1，| |＝ ， ⊥ ，点 C 在∠AOB 内，∠AOC＝30°，设 ＝m ＋n ，则 ＝( ) A． B．3 C．3 D． 【答案】B 【解析】∵ · ＝m| | 2＋n · ＝m， · ＝m · ＋n·| | 2＝3n， ∴ ＝ S＝1，∴ ＝3. 二、填空题 1.已知 a＝(1,2)，b＝(1,1)，且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是________．
【答案】A-5且A0 【解析】∵a与a+λb均不是零向量,夹角为锐角, a(a+λb)>0,∴5+3>0,∴A 当a与a+λb同向时,a+Ab=ma(m>0) 即(1+A,2+A)=(m2m) +2=m,得1m=i 且A≠0. 2已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点,且|AB|=2,则aOE= 【答案】-2 【解析】:1AB|=2√10A|=|08=2 ∠AOB=120° OB=|O4|O2cos120°=-2 三、解答题 1.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB 求证:AD⊥CE. 【答案】见解析 【解析】以C为原点,CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系 设AC=a,则Aa 12 a3o+ 230=0,. ADICE 2△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交 AC于F,连结DF,求证:∠ADB=∠FDC 【答案】见解析 【解析】如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,设A(02),C2,0),则 D(1,0)
【答案】λ>－ 且 λ≠0 【解析】∵a 与 a＋λb 均不是零向量，夹角为锐角， ∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－ . 当 a 与 a＋λb 同向时，a＋λb＝ma(m>0)， 即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)． ∴ ，得 ， ∴λ>－ 且 λ≠0. 2.已知直线 ax＋by＋c＝0 与圆 O：x 2＋y 2＝4 相交于 A、B 两点，且|AB|＝2 ，则 · ＝ ________. 【答案】-2 【解析】∵|AB|＝2 ，|OA|＝|OB|＝2， ∴∠AOB＝120°. ∴ · ＝| |·| |·cos120°＝－2. 三、解答题 1.已知△ABC 是直角三角形，CA＝CB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE＝2EB. 求证：AD⊥CE. 【答案】见解析 【解析】以 C 为原点，CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系． 设 AC＝a，则 A(a,0)，B(0，a)，D ，C(0,0)，E . ∴ ＝ ， ＝ . ∵ · ＝－a· a＋ · a＝0，∴AD⊥CE. 2.△ABC 是等腰直角三角形，∠B＝90°，D 是 BC 边的中点，BE⊥AD，垂足为 E，延长 BE 交 AC 于 F，连结 DF，求证：∠ADB＝∠FDC. 【答案】见解析 【解析】如图，以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设 A(0,2)，C(2,0)，则 D(1,0)， ＝(2，－2)
设求=A 则BF=B+A=(0,2)+(2A,-2A)=(2A,2-2A) 又D=(-1,2) 由题设BF⊥DA,∴.BF 2A+2(2-2A)=0,∴A BF- DE BF B 又Dc=(1,0), c0s∠ADB=:.D cos∠FDC= 又∠ADB、∠FDC∈(0,m),∴∠A ADB=∠FDC 3(2010江苏,15)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),c(-2,-1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长 (2)设实数t满足(AB-toc)oC=0,求t的值 【答案】(1)两条对角线长分别为4和20,(2) 【解析】(1)由题设知AB=(3,5),A=(-1,1,则AB+求C=(2,6),AB-求C=(4,4) 所以A+求|=2√10,|AB-求C|=4E 故所求的两条对角线长分别为4和2√10 (2)由题设知C=(-2,-1),AB-t0C=(3+2t5+t) (AB-toCC=0,得(3+2t5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t= 4.一条宽为Jkm的河,水流速度为2km/h,在河两岸有两个码头A、B,已知AB=√km, 船在水中最大航速为4km/h,问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼 岸B码头?用时多少? 【答案】船实际航行速度大小为4km/h,与水流成120°角时能最快到达B码头,用时半小时
设 ＝λ ， 则 ＝ ＋ ＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)， 又 ＝(－1,2) 由题设 ⊥ ，∴ · ＝0， ∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝ . ∴ ＝ ，∴ ＝ － ＝ ， 又 ＝(1,0)， ∴cos∠ADB＝ ＝ ， cos∠FDC＝ ＝ ， 又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC. 3.(2010·江苏，15)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数 t 满足( －t )· ＝0，求 t 的值． 【答案】（1）两条对角线长分别为 4 和 2 .（2）- 【解析】(1)由题设知 ＝(3,5)， ＝(－1,1)，则 ＋ ＝(2,6)， － ＝(4,4)． 所以| ＋ |＝2 ，| － |＝4 . 故所求的两条对角线长分别为 4 和 2 . (2)由题设知 ＝(－2，－1)， －t ＝(3＋2t,5＋t)． 由( －t )· ＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而 5t＝－11，所以 t＝－ . 4.一条宽为 km 的河，水流速度为 2km/h，在河两岸有两个码头 A、B，已知 AB＝ km， 船在水中最大航速为 4km/h，问该船从 A 码头到 B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼 岸 B 码头？用时多少？ 【答案】船实际航行速度大小为 4km/h，与水流成 120°角时能最快到达 B 码头，用时半小时
【解析】如图所示,设求为水流速度,为航行速度,以AC和AD为邻边作 BACED且当 AE与AB重合时能最快到达彼岸.根据题意AC⊥AE,在Rt△ADE和ACED中, DE|=14C|=2,|D=4,∠AED=90° I AE J-=25 sin∠EAD= ∠EAD=30°,用时0.5h 答:船实际航行速度大小为4km/h,与水流成120°角时能最快到达B码头,用时半小时 5在 ZABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD,求证:M,N,C三点共线 【答案】见解析 【解析】M=BN-BM 因为=,丽=3丽=3(+ 所以丽=+配一 由于MC=BC-BN=BC-2B 可知MC=3AD,即 AC I MA 又因为MC、MN有公共点M,所以M、N、C三点共线 6如图所示,正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,PECF是矩形,用向量方法证明PA 【答案】见解析 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为
【解析】如图所示，设 为水流速度， 为航行速度，以 AC 和 AD 为邻边作▱ACED 且当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸．根据题意 AC⊥AE，在 Rt△ADE 和▱ACED 中， | |＝| |＝2，| |＝4，∠AED＝90°. ∴| |＝ ＝2 ， sin∠EAD＝ ，∴∠EAD＝30°，用时 0.5h. 答：船实际航行速度大小为 4km/h，与水流成 120°角时能最快到达 B 码头，用时半小时． 5.在▱ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN＝ BD，求证：M，N，C 三点共线． ． 【答案】见解析 【解析】 ＝ － . 因为 ＝ ， ＝ ＝ ( ＋ )， 所以 ＝ ＋ － ， ＝ － . 由于 ＝ － ＝ － ， 可知 ＝3 ，即 ∥ . 又因为 MC、MN 有公共点 M，所以 M、N、C 三点共线 6.如图所示，正方形 ABCD 中，P 为对角线 BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量方法证明 PA ＝EF. 【答案】见解析 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为
a,则A0,a.设D=A0,则20P￥4Ea 所以(a-4(于下 因为E|2=A2-√a+a,1p=2-√+a,所以B=|, 即PA=EF 7如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AC,E是垂足,F是DE的中点, 求证AF⊥BE 【答案】见解析 【解析】∵AB=AC,且D是BC的中点, A C. DE E F是DE的中点 ER( BD+ DA =ABD+AD+EF·BD+E AE·BD+EFBD+EF·DE (+DE)BD+EF·BD+EF·DE ·Bb+DBD+·BD+E·DE DE·DC-÷DE DE DEDC-DE·DE DE (DC-DE)=DE EC=0 4F⊥BE∴AF⊥
a，则 A(0，a)．设| |＝λ(λ>0)，则 F ，P ，E ， 所以 ＝ ， ＝ ， 因为| | 2＝λ 2－ aλ＋a 2，| | 2＝λ 2－ aλ＋a 2，所以| |＝| |， 即 PA＝EF. 7.如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AC，E 是垂足，F 是 DE 的中点， 求证 AF⊥BE. 【答案】见解析 【解析】∵AB＝AC，且 D 是 BC 的中点， ∴ ⊥ ，∴ · ＝0. 又 ⊥ ，∴ · ＝0. ∵ ＝ ，F 是 DE 的中点， ∴ ＝－ . ∴ · ＝( ＋ )·( ＋ ) ＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＝ · ＋ · ＋ · ＝( ＋ )· ＋ · ＋ · ＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＝ · － · － · ＝ · － · ＝ ·( － )＝ · ＝0. ∴ ⊥ ，∴AF⊥BE